Experimenta con lo que te da curiosidad.

Al hacer la búsqueda

Al comprobar el número central, puedes descartar de una vez la mitad que no contiene la respuesta.

La búsqueda binaria puede usarse cuando los datos están ordenados. En esta actividad los números ya están ordenados y la comparación excluye el costo de ordenarlos. Si el objetivo está al principio, la búsqueda secuencial puede encontrarlo antes.

Más sobre el principio · NIST: búsqueda binaria

Al desglosar la espera

La velocidad de transferencia del archivo y el tiempo de espera de la respuesta son factores distintos.

Tiempo total = una latencia de ida y vuelta + tamaño del archivo × 8 ÷ velocidad de conexión. Es un modelo simple de transferencia a velocidad constante, sin establecimiento de la conexión ni congestión. Las descargas reales dependen de múltiples intercambios de datos, del procesamiento del servidor, de la congestión y de las pérdidas durante la transmisión.

Más sobre el principio · Cloudflare: latencia de red

Al hacer la comparación

Cuanto menor es el pH, mayor es el valor aproximado de la concentración de iones de hidrógeno.

Aquí se calcula [H₃O⁺] ≈ 10^−pH mol/L. La definición rigurosa del pH se basa en la actividad en lugar de la concentración. El pH neutro de 7 corresponde a 25 °C. El pH por sí solo no permite determinar la seguridad de la solución ni la fuerza intrínseca del ácido. 0~14 es el intervalo que se explora en esta actividad. Hay soluciones cuyo pH queda fuera de ese intervalo.

Más sobre el principio · OpenStax: pH y pOH

Al agrupar las moléculas

Las moléculas que se pueden agrupar en la proporción requerida determinan cuántas moléculas de agua se formarán.

Cada grupo requiere 2 moléculas de H₂ y 1 de O₂. El número de grupos posibles es el menor de estos valores, la parte entera de (número de moléculas de hidrógeno ÷ 2) y el número de moléculas de oxígeno. Si el número de moléculas de hidrógeno es impar, sobra 1 molécula de hidrógeno y pueden sobrar moléculas de ambos tipos. El experimento no reproduce la velocidad, las condiciones ni el rendimiento de una reacción real.

Más sobre el principio · OpenStax: reactivo limitante y rendimiento de reacción

Al cambiar los valores del circuito

Si la resistencia es constante, la corriente es proporcional al voltaje y la potencia es proporcional al cuadrado del voltaje.

Se calcula con la ley de Ohm I = V ÷ R y la fórmula de la potencia P = V² ÷ R. Es un modelo de corriente continua con un solo resistor de resistencia constante. En materiales, bombillas y dispositivos electrónicos reales, la resistencia puede variar con la temperatura y el estado de funcionamiento. La actividad muestra en pantalla la relación entre las magnitudes y no incluye instrucciones de cableado real.

Más sobre el principio · OpenStax: ley de Ohm · Potencia y energía eléctrica

Al cambiar la posición

La energía cinética aumenta en la misma cantidad en que disminuye la energía potencial.

El modelo supone una aceleración de la gravedad de 9.8 m/s² y ausencia de fricción y de resistencia del aire. Si h es la altura inicial y p la proporción recorrida, la energía potencial es mgh(1 − p), la energía cinética es mghp y la rapidez es √(2ghp). El suelo es la referencia para la energía potencial y el 100 % corresponde al instante justo anterior al impacto. El modelo excluye la transformación de energía en deformación, calor y sonido tras el impacto.

Más sobre el principio · OpenStax: energía potencial gravitatoria · NASA: conservación de la energía

Al cambiar los valores

Cuando los ingresos son similares, la media y la mediana se aproximan.

La media se obtiene sumando todos los valores y dividiendo el total entre el número de personas. La mediana es el valor central al ordenar los datos de menor a mayor. Con seis personas se usa la media de los dos valores centrales. La medida más representativa depende de la distribución y de la pregunta.

Al cambiar los valores

Una misma composición puede causar otra impresión al cambiar los colores.

El color de fondo cambia la impresión de las superficies amplias y el color de énfasis cambia dónde se posa la mirada. La diferencia de luminosidad entre el texto y el fondo influye en la facilidad de lectura. El valor mostrado es el contraste calculado a partir de la luminancia relativa de ambos colores.

Al colocar los libros

Los números agrupan los libros por tema e indican dónde encontrarlos en el estante.

La KDC es un sistema que clasifica los libros por tema. Aquí practicas el orden con los números de clasificación de los temas generales. En las bibliotecas reales, el orden de los libros con el mismo número de clasificación se determina con los demás elementos de la signatura, como el código de autor, y con las reglas de cada biblioteca.

Al cambiar los valores

Con el interés compuesto, tanto el capital inicial como los intereses acumulados generan nuevos intereses.

Monto con interés simple = capital inicial × (1 + tasa anual × plazo), monto con capitalización anual = capital inicial × (1 + tasa anual)^plazo. Para el cálculo, divide la tasa expresada en % entre 100. Este cálculo didáctico excluye impuestos, comisiones y variaciones de precios y no predice la rentabilidad de productos reales.

Más sobre el principio · Investor.gov: cómo funciona el interés compuesto

Al cambiar los valores

Si el spam es poco frecuente, incluso una tasa baja de falsos positivos puede aplicarse a muchos mensajes legítimos.

Alertas correctas = 10,000 × proporción de spam × tasa de detección, falsas alertas = 10,000 × proporción de mensajes legítimos × tasa de falsos positivos. La proporción de spam entre las alertas es alertas correctas ÷ total de alertas. Con la misma eficacia de detección, los resultados varían según la frecuencia inicial del spam.

Más sobre el principio · OpenStax: probabilidad y probabilidad condicional

Al cambiar los valores

Cuanto más se acerca la población al límite del entorno, menos margen tiene para crecer.

El modelo logístico usa dN/dt = rN(1 − N/K). N es el número de individuos, K es la capacidad de carga fija del entorno y r es el coeficiente de crecimiento. Aquí se muestra la solución de la ecuación en tiempo continuo. Es un modelo sencillo que excluye las migraciones y los cambios estacionales o en la disponibilidad de alimento, y no predice el comportamiento de ecosistemas reales.

Más sobre el principio · OpenStax: ecuación logística

Al cambiar los valores

Cuanto más se parecen el ancho y el largo, mayor es el área que puedes cercar con la misma longitud de cerca.

Ancho + largo = perímetro ÷ 2, y área = ancho × largo. Entre los rectángulos de perímetro fijo, el cuadrado, que tiene el mismo ancho y largo, es el de mayor área. Área máxima = (perímetro ÷ 4)² es el valor de referencia para la comparación.

Más sobre el principio · OpenStax: comparación de áreas con el mismo perímetro

Al cambiar los valores

Cuanto mayor es el denominador de la escala, más espacio real representa la misma longitud en el mapa.

A escala 1 : S, distancia real (km) = longitud en el mapa (cm) × S ÷ 100,000. Para obtener el área real del cuadrado, eleva al cuadrado la longitud real de un lado (km). Se excluyen las distorsiones de la proyección cartográfica y la pendiente del terreno. Ampliar el mapa en pantalla no cambia automáticamente los números de la escala de impresión.

Más sobre el principio · USGS: guía de mapas y escalas

Al cambiar los valores

Para la misma posición estacional del Sol, el ángulo de la luz solar es distinto en los hemisferios norte y sur.

Altura al mediodía solar ≈ 90° − |latitud − declinación solar|. La longitud de la sombra de una vara de 1 m colocada verticalmente sobre una superficie horizontal se calcula como 1 ÷ tan(altura). A una altura de 90°, la longitud de la sombra es 0. Se excluyen la refracción atmosférica y el relieve, y se usan valores representativos de la declinación estacional.

Más sobre el principio · NOAA: fórmulas para calcular la posición solar

Al cambiar los valores

Si duplicas tanto el ancho como el alto, se cuadruplican el número de píxeles y el tamaño de los datos.

Datos de píxeles (bytes) = píxeles de ancho × píxeles de alto × bits por píxel ÷ 8. Aquí, 1 MB equivale a 1,000,000 bytes. Se excluyen la cabecera del archivo, la paleta, el relleno al final de cada fila y la compresión, por lo que el tamaño de un archivo de imagen real puede variar. Los 8 bits permiten representar, por ejemplo, niveles de gris. En el formato de 32 bits de este ejemplo, los 8 bits adicionales representan la transparencia.

Más sobre el principio · Microsoft: datos de píxeles y estructura de almacenamiento de mapas de bits

Al cambiar los valores

Si se duplica el volumen de la disolución, la concentración se reduce a la mitad y la cantidad de soluto se mantiene.

Concentración inicial × volumen inicial = concentración final × volumen final. Usa la misma unidad para ambos volúmenes. El modelo supone que el soluto no reacciona ni se evapora, que la mezcla es completa y que los volúmenes de la disolución y del agua se pueden sumar directamente.

Más sobre el principio · OpenStax: concentración y dilución de disoluciones

Al cambiar los valores

Al sumar las intensidades de dos sonidos del mismo nivel, el nivel sube unos 3 dB.

Nivel combinado de N sonidos = nivel de un solo sonido + 10 × log₁₀(N). Se supone que los sonidos tienen el mismo nivel en el punto de observación y que son independientes, sin una relación de fase constante. El modelo excluye la suma de ondas en fase y el cálculo del volumen percibido, y no ofrece recomendaciones sobre la audición.

Más sobre el principio · Universidad de Manchester: suma de intensidades de distintos sonidos

Al cambiar los valores

Aunque tengas más dinero, si los precios suben más rápido, podrás comprar menos con la misma cantidad de dinero.

Monto nominal = monto inicial × (1 + tasa de crecimiento del monto)^plazo, monto a precios iniciales = monto nominal ÷ (1 + tasa de inflación)^plazo. La tasa de crecimiento anual ajustada por inflación se calcula como (1 + tasa de crecimiento del monto) ÷ (1 + tasa de inflación) − 1. Para los cálculos, divide las tasas expresadas en % entre 100. Este modelo didáctico usa tasas hipotéticas constantes y excluye los impuestos, las comisiones y las diferencias individuales de consumo.

Más sobre el principio · Banco Central Europeo: inflación y poder adquisitivo

Al cambiar los valores

Al cruzar Aa con Aa, una de las cuatro combinaciones es aa. La probabilidad teórica de obtener una semilla arrugada es del 25%.

Es un modelo de dominancia completa de un solo gen en el que cada progenitor transmite uno de sus dos alelos con la misma probabilidad. Las cuatro casillas representan combinaciones igualmente probables. La proporción 3 : 1 no está garantizada en cada grupo de cuatro descendientes. Cada fecundación es un suceso aleatorio independiente. Hay rasgos que no siguen esta regla, y la dominancia no implica que un alelo sea mejor ni más frecuente.

Más sobre el principio · OpenStax: leyes de Mendel y cuadro de Punnett

Al cambiar los valores

Si duplicas el número de tramos de soporte, la fuerza se reduce a la mitad y la distancia de tiro se duplica. El trabajo necesario para elevar el mismo objeto a la misma altura es el mismo.

Fuerza de tiro = masa × aceleración de la gravedad ÷ número de tramos de soporte, distancia de tiro = número de tramos de soporte × altura, trabajo realizado = fuerza × distancia de tiro. Es un modelo ideal en el que la aceleración de la gravedad se fija en 9.8 m/s², se desprecian la masa y la fricción de la cuerda y las poleas y el objeto se eleva a velocidad constante. El esquema ilustra cómo se reparte la fuerza y no indica cómo montar la cuerda en la práctica.

Más sobre el principio · OpenStax: poleas y ventaja mecánica

Al cambiar los valores

El Sol sigue iluminando la mitad de la Luna, pero desde la Tierra vemos esa mitad iluminada desde distintos ángulos y por eso cambia la forma que vemos.

La sombra de la Tierra sobre la Luna produce un eclipse lunar. Las fases lunares tienen otro origen. Esta actividad usa un modelo en el que la Luna recorre una órbita circular a velocidad constante y el mes sinódico medio dura 29.53 días. La proporción iluminada se calcula como 50 × (1 − cos del ángulo de posición), y los días transcurridos como 29.53 × ángulo de posición ÷ 360. El modelo no sirve como calendario para predecir la posición real de la Luna, la fecha lunar, si habrá un eclipse lunar ni la hora de observación.

Más sobre el principio · NASA: fases de la Luna y cara iluminada

Al cambiar los valores

Con la misma proporción, si cuadruplicas el tamaño de la muestra, el margen de error se reduce a la mitad. El margen no disminuye en la misma proporción en que aumenta la muestra.

Margen de error (%p) = 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ tamaño de la muestra) × 100, donde p es el porcentaje de respuestas a favor dividido entre 100. Es una aproximación normal para una población muy grande y una muestra obtenida mediante selección aleatoria e independiente. La aproximación pierde precisión cuando la muestra es pequeña o cuando la proporción se acerca al 0% o al 100%. Si repites la encuesta y construyes los intervalos con el mismo método, alrededor del 95% de ellos contendrá la proporción real. Esto no implica que la probabilidad de que este intervalo concreto contenga la proporción real sea del 95%. Aumentar el tamaño de la muestra no corrige el sesgo de respuesta ni los problemas derivados de los grupos que quedan fuera de la encuesta.

Más sobre el principio · NIST: intervalos de confianza para proporciones y aproximación normal

Al cambiar los valores

Con el mismo sensor y desde el mismo punto, una distancia focal mayor estrecha el encuadre. Si reduces la anchura del sensor, también se reduce el ángulo de visión.

El ángulo de visión horizontal = 2 × arctan(anchura del sensor ÷ (2 × distancia focal)). La anchura encuadrada = distancia al sujeto × anchura del sensor ÷ distancia focal. Introduce la anchura del sensor y la distancia focal en la misma unidad. El ángulo de visión se convierte a grados para mostrarlo. Se usa un modelo ideal de cámara estenopeica que representa las rectas como rectas y omite la distorsión y los cambios del ángulo de visión debidos al enfoque. La distancia al sujeto se mide desde el centro de proyección del modelo y no desde el extremo frontal de un objetivo real. Cambiar de objetivo desde el mismo punto modifica el ángulo de visión. El cambio de perspectiva que altera el tamaño relativo de los objetos cercanos y lejanos se produce al cambiar el punto de toma.

Más sobre el principio · Edmund Optics: distancia focal y ángulo de visión

Al probar distintas combinaciones

Con las mismas condiciones, el resultado varía según se aplique AND, OR, XOR o NOT.

Este modelo lógico solo usa dos valores, 0 y 1. AND da 1 cuando A y B valen ambas 1. OR da ese mismo resultado cuando al menos una vale 1, y XOR, cuando sus valores son distintos. NOT da 1 si A vale 0, y 0 si A vale 1. El modelo muestra cómo se evalúan las condiciones y omite las tensiones y los tiempos de funcionamiento de los circuitos reales.

Más sobre el principio · OpenStax: condiciones y operaciones lógicas · Analog Devices: lógica XOR

Al hacer avanzar el tiempo

En el equilibrio, las cantidades de A y B pueden ser distintas. Como las velocidades de conversión en ambos sentidos son iguales, cada cantidad permanece constante.

Este es un modelo hipotético cerrado en el que A ↔ B se convierten en proporción 1 : 1. La velocidad de conversión es la cantidad de cada sustancia × su coeficiente de conversión. Los coeficientes son constantes y la suma se mantiene en 100. En el equilibrio, la cantidad de B = 100 × coeficiente directo ÷ (coeficiente directo + coeficiente inverso). La conversión continúa en ambos sentidos mientras el cambio neto se acerca a 0. El modelo omite la complejidad de las velocidades de reacción asociada a las sustancias reales, la temperatura y las etapas de reacción.

Más sobre el principio · OpenStax: equilibrio químico y equilibrio dinámico

Al subir de nivel

Si en cada nivel se transfiere el 10 %, dos niveles más arriba llega el 1 % de la energía inicial.

Energía del nivel elegido = energía de los productores × (porcentaje de transferencia ÷ 100)^{número de niveles}. La energía que no se transfiere se convierte en calor durante la actividad vital o sigue otras vías a través de restos sin consumir, excrementos o cadáveres, entre otros. La energía no desaparece. Los nutrientes circulan en el ecosistema, mientras que la energía entra, fluye y finalmente se dispersa en el entorno como calor.

Más sobre el principio · OpenStax: flujo de energía en los ecosistemas

Al repartir el trabajo

A fabrica ambos productos más rápido y sacrifica menos unidades de Y al producir X.

Para fabricar 1 unidad de X, A renuncia a 0.5 unidades de Y y B a 1 unidad de Y. Quien tiene el menor coste de oportunidad posee la ventaja comparativa en X. Si A dedica a X el 75 % de su tiempo y B el 0 %, se obtienen 24 de X y 12 de Y, con 4 unidades más de X que al principio. La producción es proporcional al tiempo de trabajo. El ejemplo es hipotético y omite la calidad, los desplazamientos y los costes de coordinación.

Más sobre el principio · OpenStax: ventaja absoluta y ventaja comparativa

Al avanzar las generaciones

El tipo que más contribuye a la siguiente generación representa una proporción cada vez mayor de la población con el paso de las generaciones.

Si la proporción inicial de A es p₀(0~1), los coeficientes de contribución son wA·wB y el número de generaciones es g, la proporción de A es p₀ × wA^g ÷ [p₀ × wA^g + (1 − p₀) × wB^g]. En este modelo didáctico, los dos tipos transmiten sus rasgos sin cambios por reproducción asexual, y el entorno y los coeficientes permanecen constantes. El modelo difiere de los que cruzan genotipos y excluye la variación, la migración y la deriva genética aleatoria. Se limita a comparar proporciones y no predice el número real de individuos. La evolución carece de un objetivo o un destino predeterminado.

Más sobre el principio · UC Berkeley: modelo de proporciones en la selección natural (PDF) · OpenStax: entorno y aptitud relativa

Al aplicar el descuento

Si la cantidad vendida aumenta demasiado poco al bajar el precio, los ingresos por ventas disminuyen.

La elasticidad en el tramo es la variación porcentual de la cantidad vendida dividida por el valor absoluto de la variación porcentual del precio. Para cada variación se usa como base el promedio de los valores antes y después del descuento. Si la elasticidad es menor que 1, los ingresos disminuyen tras el descuento. Si es igual a 1, se mantienen, y si es mayor que 1, aumentan. Si eliges un precio de 27.5 y Q = 100 − 2P, los ingresos son de 1,237.5 tanto antes como después del descuento. El modelo de demanda es lineal e hipotético y omite los costes, la competencia, la estacionalidad y las diferencias entre consumidores. Compara el tramo entre el precio inicial y el precio con descuento y no predice la demanda ni la rentabilidad de productos reales.

Más sobre el principio · OpenStax: método del punto medio y elasticidad-precio · Relación entre elasticidad e ingresos

Al cambiar la altitud

Al aumentar la altitud, disminuye el peso del aire que queda por encima y baja la presión atmosférica.

En este modelo de atmósfera ideal isotérmica, la presión P = P₀ × exp[−Mgh ÷ (RT)]. La presión al nivel del mar P₀ es 1,013.25 hPa, la masa molar del aire M es 0.0289644 kg/mol, la aceleración de la gravedad g es 9.80665 m/s² y la constante de los gases R es aproximadamente 8.31446 J/(mol·K). La variable h es la altitud (m) y T es la temperatura en grados Celsius + 273.15 (K). El modelo mantiene constantes la temperatura, la composición y la gravedad en toda la capa de aire y omite el vapor de agua y los cambios meteorológicos. Difiere del cálculo de la atmósfera estándar, en el que la temperatura disminuye con la altitud, y no puede utilizarse para pronosticar la presión real ni para medir la altitud.

Más sobre el principio · NASA: gas ideal bajo la acción de la gravedad y aproximación isotérmica

Al cambiar de nota

Una octava tiene 12 semitonos. Si subes 12 semitonos, la frecuencia se duplica. Si bajas la misma distancia, se reduce a la mitad.

En el temperamento igual de 12 semitonos, la frecuencia = frecuencia de referencia × 2^{(número de semitonos ÷ 12)}. Por cada semitono de subida, la frecuencia se multiplica aproximadamente por 1.05946. Con el mismo desplazamiento en semitonos, la diferencia en Hz depende de la nota de referencia. Las dos notas sinusoidales se reproducen con la misma amplitud solo al pulsar el botón. Se omiten el timbre, los armónicos y las diferencias de afinación de los instrumentos reales. Duplicar la frecuencia no implica duplicar el volumen percibido.

Más sobre el principio · UNSW: frecuencia de las notas y temperamento igual de 12 semitonos

Al agrupar las repeticiones

Cuanto más larga es cada secuencia del mismo carácter, menos bloques hacen falta para guardar el original.

Este método se llama codificación por longitud de secuencias (RLE). Por ejemplo, AAAAAAAA se guarda como «8, A» y se recupera el original escribiendo A 8 veces. Si A y B se alternan en cada posición, se usan 2 bytes por carácter y el tamaño se duplica. En pantalla, las cantidades se muestran con cifras fáciles de leer. En el modelo de almacenamiento, cada cantidad ocupa 1 byte. Es un modelo didáctico para los caracteres A y B que omite las cabeceras y no reproduce por completo el formato de archivo BMP ni un programa de compresión de uso general. La eficacia del método depende del patrón de los datos.

Más sobre el principio · Microsoft: almacenamiento RLE con recuentos consecutivos y valores de color

Al poner el objeto a flotar

Al aumentar el volumen, aumentan tanto el peso como el empuje máximo. La proporción que queda a flote depende de la relación entre ambas densidades.

Según el principio de Arquímedes, el empuje equivale al peso del líquido desplazado por el objeto. Cuando el objeto flota, el empuje = peso, así que la proporción del volumen sumergido = densidad del objeto ÷ densidad del líquido. Si esta relación es mayor que 1, el objeto no puede flotar en la superficie y la proporción sumergida se muestra como 100 %. Se supone que el objeto tiene una densidad uniforme y es incompresible. El líquido está en reposo y se omiten la tensión superficial, la resistencia del fluido y el contacto con el fondo. La fuerza hacia abajo es el peso menos el empuje una vez que el objeto está totalmente sumergido. Ese valor no indica la velocidad a la que se hunde. N es la unidad de fuerza y se usa una aceleración de la gravedad de 9.80665 m/s².

Más sobre el principio · OpenStax: principio de Arquímedes

Al aumentar el número de personas

Entre 23 personas hay 253 pares que se pueden comparar. Es mucho más probable que dos personas cualesquiera compartan cumpleaños que encontrar un cumpleaños en una fecha concreta.

Para calcular la probabilidad de que coincidan dos cumpleaños, resta de 1 la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos. Con n personas se pueden comparar n(n − 1) ÷ 2 pares. Las coincidencias de los distintos pares no se pueden tratar como sucesos mutuamente independientes, y multiplicar el número de pares por 1/365 tampoco da la probabilidad total. Se supone que los cumpleaños se distribuyen uniformemente entre 365 días y son independientes entre personas. Se excluyen el día bisiesto y las variaciones estacionales de los nacimientos reales. Incluso en un grupo pequeño, la probabilidad aumenta, aunque la coincidencia nunca está garantizada por ese aumento.

Más sobre el principio · UC Berkeley: problema del cumpleaños y suceso complementario (PDF)

Al enfriar el aire

Al bajar la temperatura, disminuye la presión de vapor de saturación y aumenta la humedad relativa. Por debajo del punto de rocío, parte del vapor de agua se condensa.

La humedad relativa es la presión de vapor actual ÷ la presión de vapor de saturación a esa temperatura × 100 %. La presión de vapor de saturación se calcula con la aproximación de Magnus sobre agua líquida, eₛ(T) = 6.112 × exp[17.62T ÷ (243.12 + T)] hPa. El punto de rocío es la temperatura a la que la presión de vapor inicial del aire iguala la presión de vapor de saturación. Si la temperatura objetivo es menor, el exceso de vapor se condensa, la presión de vapor baja al valor de saturación y la humedad relativa se muestra como 100 %. El «exceso sobre la saturación» es la diferencia entre la presión de vapor antes de la condensación y la presión de vapor de saturación a la temperatura objetivo. No representa la masa de las gotas ni la velocidad de condensación. Los puntos de rocío bajo cero también se expresan con referencia al agua líquida y difieren del punto de escarcha. El modelo de equilibrio excluye la sobresaturación, los cambios de presión atmosférica y la velocidad de intercambio térmico.

Más sobre el principio · NPL: punto de rocío y humedad relativa

Al sumar las flechas

Aunque los enlaces sean polares, la suma puede ser 0 si apuntan simétricamente en sentidos opuestos.

Si θ es el ángulo entre dos dipolos de enlace de igual magnitud m, la magnitud del vector resultante es 2m × cos(θ/2). Para entender la polaridad molecular hay que tener en cuenta tanto el ángulo de enlace como la orientación. Este modelo geométrico solo suma los vectores de dos enlaces iguales. No calcula la distribución electrónica ni el momento dipolar de una molécula real completa. El ángulo de 104.5° sirve como ejemplo de una forma angular. Las unidades relativas mostradas no son valores medidos en el agua ni unidades Debye. Los ángulos de enlace reales dependen, entre otros factores, de la disposición de los pares de electrones y no se pueden variar libremente como en el control deslizante.

Más sobre el principio · OpenStax: estructura y polaridad molecular

Al añadir sustrato

Si la mayor parte de la enzima ya está procesando sustrato, añadir más apenas aumenta la velocidad. Al aumentar la cantidad de enzima, también aumenta la velocidad máxima.

Se usa la velocidad inicial del modelo de Michaelis–Menten, v = Vₘₐₓ × [S] ÷ (Kₘ + [S]). La concentración de sustrato [S] y Kₘ se expresan en mM. Kₘ se fija en 2 mM. La velocidad máxima Vₘₐₓ, en unidades de velocidad ficticias, se define como la cantidad relativa de enzima × 10. Si la concentración de sustrato es igual a Kₘ, se alcanza la mitad de la velocidad máxima con cualquier cantidad de enzima. Se supone que el sustrato está en cantidad suficientemente superior a la enzima y que la reacción sigue una cinética de saturación simple. Se excluyen la inhibición, la cooperatividad, el agotamiento del sustrato con el tiempo y la desnaturalización de la enzima. El modelo no predice la cantidad total de producto generado por la enzima ni la velocidad real de un experimento concreto.

Más sobre el principio · MIT: catálisis enzimática y velocidad de reacción (PDF)

Al cambiar las elecciones de ambas personas

Sea cual sea la elección de la otra persona, traicionar da más puntos individuales. Sin embargo, la suma de puntos es menor cuando ambas traicionan que cuando ambas cooperan.

Esta estructura de puntuación se conoce como dilema del prisionero. Ambas personas deciden simultáneamente una sola vez, sin comunicación previa ni compromisos vinculantes. Si cada persona solo tiene en cuenta sus propios puntos, que ambas traicionen es un equilibrio de Nash. En un equilibrio, ninguna puede beneficiarse cambiando su elección por su cuenta. El resultado puede no ser el mejor para todas. Los puntos representan recompensas ficticias y no corresponden a períodos de encarcelamiento. El resultado puede cambiar si se tienen en cuenta la confianza, las represalias o la negociación en interacciones repetidas, o el interés por el bienestar de los demás.

Más sobre el principio · MIT: dilema del prisionero y equilibrio de Nash (PDF)

Al cambiar las condiciones de la cola

Cuanto más se acerca la tasa de llegada a la de atención, menos margen queda para atender a los clientes acumulados y más rápido crece la espera.

Es un modelo M/M/1 en estado estacionario, con un único puesto que atiende por orden de llegada. Se supone que las llegadas siguen un proceso de Poisson independiente, que los tiempos de servicio son independientes y siguen una distribución exponencial, y que hay espacio suficiente para esperar. Si la tasa media de llegada λ y la tasa media de atención μ se expresan en personas/min, el tiempo de espera = 60λ ÷ [μ(μ − λ)] segundos, el tiempo total en el sistema = 60 ÷ (μ − λ) segundos y el número de personas en espera = λ² ÷ [μ(μ − λ)]. Solo si λ < μ existen medias finitas en estado estacionario. En ese caso, λ/μ es la utilización del puesto. Si λ ≥ μ, λ/μ expresa la carga solicitada respecto de la capacidad de atención y no la utilización real. En ese caso no se puede mostrar una media estable. Esto no implica que cada cliente tenga que esperar indefinidamente. El modelo no predice la longitud instantánea de la cola ni la congestión de un establecimiento real, y no contempla reservas, varios puestos ni abandonos durante la atención.

Más sobre el principio · MIT: modelo de colas M/M/1 (PDF)

Al invertir los bits

Con paridad par se añade un bit de comprobación para que la cantidad de 1 sea par. Si se recibe una cantidad impar de 1, se detecta un error.

De izquierda a derecha, los cuatro bits de datos tienen los valores 8, 4, 2 y 1. El bit de comprobación, en el extremo derecho, queda fuera del valor de los datos. Si al final cambia un número impar de los cinco bits transmitidos, se detecta el error. Si cambia un número par, el error puede pasar inadvertido. «Sin detectar» no garantiza que los datos sean correctos. Si solo cambia el bit de comprobación, también se detecta un error y el valor de los datos puede seguir siendo el mismo. Este método por sí solo no permite identificar el bit incorrecto ni recuperar los datos originales. La actividad compara hasta dos inversiones de bits.

Más sobre el principio · MIT: información digital y comprobación de paridad

Al cambiar las condiciones a ambos lados de la membrana

Si la presión hidrostática es igual a ambos lados, el agua fluye en términos netos del lado con menor concentración de soluto al de mayor concentración. Si las concentraciones son iguales, no hay flujo neto por esta causa.

La presión osmótica de una solución ideal diluida de un no electrolito es π = CRT. C se expresa en mol/m³, R vale aproximadamente 8.31446 J/(mol·K) y T es la temperatura en grados Celsius + 273.15 (K). Como numéricamente 1 mM = 1 mol/m³, se calcula la presión en kPa como concentración mostrada × R × T ÷ 1,000. La diferencia de presión osmótica entre el interior y el exterior es la diferencia de presión hidrostática, interior − exterior, necesaria para impedir el flujo neto de agua. Eso no implica que esa diferencia de presión hidrostática exista desde el inicio. La comparación solo usa las concentraciones iniciales y no calcula los cambios de volumen o concentración con el tiempo ni la velocidad del flujo. El modelo no predice el comportamiento complejo de los solutos y del transporte a través de las membranas en células reales ni la respuesta de un organismo concreto.

Más sobre el principio · OpenStax: presión osmótica de las soluciones

Al cambiar la proporción de problemas

La tasa global de éxito es la media de las tasas de cada grupo ponderadas por el número de problemas. Si las proporciones de problemas fáciles difieren, A puede quedar por detrás en el total aunque vaya por delante en cada grupo.

Esta inversión se conoce como paradoja de Simpson. Si a y b son las proporciones de problemas fáciles, entre 0 y 1, la tasa global de A = 90a + 40(1 − a) y la tasa global de B = 80b + 30(1 − b). Con las mismas proporciones, A siempre aventaja a B en 10 %p. Si las proporciones de problemas fáciles son 10 % para A y 90 % para B, las tasas globales de éxito son 45 % para A y 75 % para B. La diferencia por nivel de dificultad y la diferencia global responden a preguntas distintas. Los datos son ficticios y asignan a los dos métodos proporciones diferentes. Por sí solos no permiten determinar qué método causa realmente el éxito. En una comparación real también hay que examinar cómo se formaron los grupos y por qué difiere su composición.

Más sobre el principio · Williams College: media ponderada y paradoja de Simpson (PDF)

Al seguir la transferencia de calor

El calor entregado incluye la energía aportada y el calor extraído del lado frío. Entregar más calor que la energía eléctrica consumida no supone crear energía.

Los límites ideales de una bomba de calor reversible de Carnot son COP de calefacción = T_alta ÷ (T_alta − T_baja), COP de refrigeración = T_baja ÷ (T_alta − T_baja). Las temperaturas se calculan en la escala absoluta K sumando 273.15 a los grados Celsius. El calor entregado al lado caliente = el calor extraído del lado frío + el trabajo aportado. La diferencia entre ambos COP siempre es 1. Se supone que ambos lados son reservorios térmicos que mantienen su temperatura al intercambiar calor y que toda la energía eléctrica se transforma en trabajo. Es un límite teórico que excluye la fricción, las pérdidas de compresión y las diferencias de temperatura necesarias para el intercambio térmico en equipos reales. Los valores mostrados no sirven para predecir el rendimiento ni el coste de funcionamiento de un equipo real de climatización o calefacción.

Más sobre el principio · OpenStax: ecuaciones principales de termodinámica y bombas de calor

Al elegir los electrodos

En el lado con menor potencial estándar de reducción, el metal cede electrones. En el lado con mayor potencial, los iones metálicos los aceptan. En el circuito externo, los electrones van del ánodo al cátodo.

El voltaje estándar de una celda galvánica ideal es el potencial estándar de reducción del cátodo − el potencial estándar de reducción del ánodo. Se elige el sentido espontáneo de la reacción para mostrar la magnitud del voltaje. Con el mismo metal y la misma actividad iónica, no hay diferencia de potencial. A 25 °C se suponen metales sólidos puros y una actividad de 1 para cada ion M²⁺. Los potenciales se comparan con el electrodo estándar de hidrógeno. Los valores de la tabla se redondean a tres decimales. La magnitud del trabajo eléctrico máximo es nFE. Se usan n = 2 mol de electrones/mol de reacción y F = 96,485.33212 C/mol para expresarlo en kJ/mol. Se excluyen los cambios de concentración, la resistencia interna, el sobrepotencial y las reacciones secundarias de las celdas reales. El voltaje difiere de la capacidad, que es la cantidad de carga almacenada. Por sí solo no permite conocer la potencia real ni el tiempo de uso.

Más sobre el principio · OpenStax: potenciales de electrodo y voltaje de celda · Tabla de potenciales estándar de semicelda

Al cambiar la dirección de la luz

Al entrar en un medio con mayor índice de refracción, la luz se desvía hacia la normal. Si va hacia un medio de menor índice, se desvía alejándose de la normal y, si supera el ángulo crítico, se produce reflexión interna total.

El ángulo de refracción se calcula con la ley de Snell, n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂. El ángulo crítico θc = asin(n₂/n₁) solo existe cuando n₁ es mayor que n₂. Si el ángulo de incidencia es igual al crítico, el ángulo de refracción es de 90°, la dirección límite a lo largo de la interfaz. Para que haya reflexión interna total, el ángulo de incidencia debe superar el crítico. «No se cumple la condición» significa que la relación entre los índices de refracción de los dos medios impide la reflexión interna total. Se supone una interfaz plana entre dos medios transparentes y homogéneos, con índices de refracción fijos. Se excluye la dependencia real del índice de refracción respecto de la longitud de onda y la temperatura. La actividad compara la dirección de la luz y no calcula la intensidad de la luz reflejada parcialmente, la polarización ni la absorción. Si se eligen índices iguales, la dirección de la luz no cambia y tampoco se muestra reflexión en la interfaz.

Más sobre el principio · OpenStax: refracción y ley de Snell

Al pasar de un tramo a otro

La tasa media es la proporción de los ingresos totales que se paga en impuestos. La tasa marginal se aplica al siguiente ingreso adicional. Ambas cifras responden a preguntas distintas.

El impuesto progresivo por tramos suma, para cada tramo, los ingresos que caen en él × su tasa. Con 400 unidades de ingreso, el impuesto sobre las primeras 200 es de 0 y sobre las siguientes 200 es de 20, para un total de 20 unidades. A la parte adicional se le aplica el 20 %, por lo que, en el límite entre tramos, se muestra la tasa marginal del «siguiente ingreso». En este modelo todas las tasas están por debajo del 100 %. Por tanto, al aumentar los ingresos también aumentan los ingresos después de impuestos, que no bajan al pasar de tramo. Solo se usan ingresos imponibles y tasas ficticios. Se excluyen las deducciones, los créditos fiscales, las prestaciones sociales y otros impuestos. La actividad permite comparar cómo funciona la tributación por tramos y no sirve para calcular impuestos ni importes netos reales.

Más sobre el principio · IRS: cómo se grava la parte de los ingresos que corresponde a cada tramo

Al comparar las dos ondas

Cuanto más lejos viajan la onda P, más rápida, y la onda S, más lenta, mayor es la diferencia entre sus tiempos de llegada. Para calcular la distancia se necesitan esa diferencia y las dos velocidades.

Al recorrer la misma distancia d, la diferencia entre los tiempos de llegada es Δt = d/vS − d/vP, por lo que d = Δt ÷ (1/vS − 1/vP). La actividad supone que ambas ondas recorren la misma trayectoria recta a velocidades constantes en un sólido homogéneo. La distancia hipocentral se mide desde la estación hasta el punto donde se origina el sismo bajo tierra y difiere de la distancia superficial al epicentro medida en un mapa. Los tiempos de las ondas P y S son los tiempos de recorrido del modelo, que fija el instante de origen en 0. La «distancia para una diferencia de 1 s» es un factor de conversión a distancia y difiere de la velocidad de cada onda. Se excluyen los cambios de velocidad entre capas, la refracción y las trayectorias distintas en el interior real de la Tierra. Para determinar la dirección y la ubicación del hipocentro se necesitan registros de varias estaciones y un modelo más detallado. Esta actividad no predice sismos.

Más sobre el principio · USGS: localización de sismos mediante ondas sísmicas y tiempos de llegada

Al cambiar la regla de reemplazo

La eficacia de la caché depende tanto del número de espacios como de la regla de reemplazo y del orden de las solicitudes. Sigue paso a paso cómo se almacenan los datos de las mismas solicitudes.

FIFO conserva el orden de entrada, incluso cuando hay un acierto de caché. LRU mueve el dato encontrado a la posición de uso más reciente. Si el dato no está en la caché y todos los espacios están ocupados, cada regla reemplaza el dato más antiguo según su propio criterio. Con esta secuencia, FIFO pasa de 3 espacios y 9 fallos a 4 espacios y 10 fallos. Esto se conoce como anomalía de Belady. Con esos mismos 4 espacios, LRU registra 8 fallos. Por sí solo, este resultado no permite afirmar que FIFO funcione siempre mal ni que LRU sea mejor para todas las solicitudes. La tasa de aciertos es el número de aciertos ÷ el número de solicitudes procesadas y queda sin definir si hay 0 solicitudes. El modelo ilustra el mecanismo de reemplazo y trata cada número como un dato del mismo tamaño. Deja fuera el tiempo de validez, el tiempo de comunicación, la capacidad en bytes y el costo de escritura de una caché de navegador real.

Más sobre el principio · MIT — FIFO, LRU y reemplazo en memoria

Al cambiar la complejidad del modelo

Un modelo que pasa por todos los puntos observados puede quedar más lejos de otros puntos de referencia. Compara el error en los puntos usados para el ajuste con el error en los puntos reservados para la comparación.

Los valores observados de x son −1, −0.6, −0.2, 0.2, 0.6 y 1. A y = 3 + 2x se le suma el factor de perturbación × [0.2, −0.2, 0.3, −0.3, 0.2, −0.2]. El polinomio se ajusta minimizando la suma de los errores al cuadrado en esos seis puntos. Los valores de referencia de x son veinte puntos de −0.95 a 0.95, espaciados por 0.1, y los valores de referencia de y se obtienen con 3 + 2x, sin perturbación. La actividad compara el error de referencia con datos ficticios cuyo proceso de generación se conoce. Los puntos de referencia no son observaciones recogidas por separado. El polinomio de grado 5 puede pasar por los seis puntos observados con perturbación, pero puede curvarse mucho entre ellos y aumentar el error de referencia. La conveniencia de un modelo complejo o sencillo depende de los datos. Con una perturbación de 0, los tres modelos se ajustan a la misma recta. Estas cifras no garantizan cuál será el error ante resultados futuros desconocidos.

Más sobre el principio · scikit-learn — Subajuste y sobreajuste

Al cambiar la proporción de las especies

Con el mismo número de especies, la diversidad disminuye cuando unas pocas concentran la mayor parte de la abundancia. El número de especies y la uniformidad de sus proporciones son características distintas.

Si p es la proporción de una especie, la diversidad de Shannon es H = −Σp ln(p), con logaritmo natural. exp(H) es el número efectivo de especies de una distribución uniforme con el mismo valor de H. Un resultado fraccionario es una equivalencia matemática. La equitatividad se expresa como H ÷ ln(número de especies) × 100 y vale 100 % si todas las especies tienen la misma proporción. Con 4 especies, si la primera representa el 25 %, todas representan el 25 %. Si la primera representa el 70 %, cada una de las demás representa el 10 %. El control deslizante avanza en pasos de 5 %, por lo que con 3 especies no se puede seleccionar la proporción uniforme exacta de ⅓. Se comparan distribuciones ideales con proporciones positivas y se dejan fuera el tamaño de la muestra, el error de observación y las relaciones entre especies. Un índice alto no siempre indica que el ecosistema esté sano. La identidad, la rareza y el valor de conservación de las especies deben evaluarse por separado.

Más sobre el principio · Hokkaido University — Índices de diversidad

Al cambiar la duración de las tareas

La ruta crítica es la secuencia de tareas más larga y determina cuándo termina el proyecto. Si solo acortas tareas de la ruta más corta, el tiempo total puede seguir igual.

El tiempo total de finalización es 2 + max(B + D, C + E) + 1. La «Suma de las duraciones» añade los tiempos de las seis tareas y difiere del tiempo transcurrido porque las dos rutas avanzan a la vez. La holgura de cada ruta es la duración de la ruta más larga menos la duración de esa ruta. Es el tiempo que puede retrasarse sin demorar la finalización del conjunto. Con los valores iniciales, la ruta inferior dura 8 min y la superior 7 min, así que la superior tiene 1 min de holgura. Si las dos rutas duran lo mismo, ambas son críticas. Si solo acortas una, aún tendrás que esperar a la otra. Al acortar tareas, puede cambiar la ruta crítica. Este modelo de dependencias supone que los equipos no comparten recursos y que la duración de cada tarea es conocida y fija. El resultado es el tiempo de finalización más temprano, sin considerar conflictos de personal, interrupciones ni incertidumbre en las duraciones.

Más sobre el principio · MIT — Método de la ruta crítica (PDF)

Al cambiar el límite de solubilidad

En unas condiciones dadas, solo se puede disolver una cantidad limitada. Si añades más, el exceso queda sin disolver. Si el límite baja al enfriar, parte de lo disuelto vuelve a formar un sólido.

La cantidad máxima que puede disolverse = solubilidad × masa de agua ÷ 100, la cantidad disuelta = min(cantidad añadida, cantidad máxima que puede disolverse) y el sólido restante = cantidad añadida − cantidad disuelta. El porcentaje mostrado se calcula como masa de sólido disuelto ÷ masa de agua × 100 y difiere del porcentaje en masa calculado sobre la masa total de la disolución. Se supone que ha transcurrido el tiempo suficiente para alcanzar el equilibrio de disolución en cada condición. La disolución está saturada cuando contiene la cantidad máxima de sólido disuelto, incluso si no queda sólido sin disolver. Se dejan fuera la evaporación del agua, la sobresaturación, la velocidad de disolución y el calor de disolución. En esta sustancia ficticia, la solubilidad aumenta con la temperatura. Esta relación no se cumple para todos los sólidos.

Más sobre el principio · OpenStax — Solubilidad y disoluciones saturadas

Al cambiar la rapidez de la variación

Si la misma variación del campo magnético ocurre en menos tiempo, aumenta la magnitud del voltaje inducido medio. Si inviertes el sentido de la variación, también cambia el signo del voltaje.

El flujo magnético mide el campo que atraviesa el plano de la bobina teniendo en cuenta el área y la orientación. En un campo uniforme, Φ = BAcosθ. θ es el ángulo entre la normal al plano de la bobina y el campo magnético. Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida media es ε = −NΔΦ ÷ Δt, donde N es el número de espiras. 1 mWb equivale a 0.001 Wb. El signo se expresa con respecto a la normal elegida y al sentido del bobinado. Un valor negativo indica el sentido y no implica una magnitud menor. El signo negativo de la ley de Lenz indica un sentido que se opone a la variación del flujo magnético. Se supone que todas las espiras tienen la misma área y están sometidas al mismo campo magnético. Se dejan fuera la forma detallada de la señal en el tiempo, la resistencia de la bobina y la autoinducción. Se compara el voltaje medio en el intervalo establecido, sin calcular la corriente ni la potencia reales.

Más sobre el principio · OpenStax — Flujo magnético · Leyes de Faraday y Lenz

Al incluir el costo que faltaba

Cuando hay daños cuyo costo no recae en quienes participan en la transacción, la producción del mercado puede diferir de la que maximiza el beneficio neto para toda la sociedad.

Un costo externo es el que soporta una 3.ª parte que no participa directamente en la transacción. El costo marginal social = costo marginal privado + costo marginal externo. En un mercado competitivo, la cantidad producida si solo se considera el costo privado es q = 120 − costo privado. Si se incluye el costo externo, la cantidad que maximiza el beneficio neto total es q = 120 − costo privado − costo externo. Entre esas dos cantidades, el costo social supera el beneficio adicional. La pérdida de beneficio neto corresponde al área del triángulo y se calcula como ½ × diferencia de producción × costo marginal externo. El costo total de los daños externos de toda la producción y esta pérdida son valores distintos. El modelo trata la cantidad producida como una variable continua y solo incluye la externalidad negativa de la producción. Deja fuera la estimación de daños reales por contaminación, el poder de mercado, el costo de aplicar políticas y las externalidades positivas. La comparación usa un producto ficticio y unidades de costo hipotéticas. Sus resultados no predicen los efectos de regulaciones o impuestos reales.

Más sobre el principio · OpenStax — Economía de la contaminación y de los costos externos

Al cambiar la proporción reflejada

Si el planeta refleja más, absorbe menos energía y disminuye la temperatura de equilibrio a la que emite por radiación la misma cantidad que absorbe. La temperatura en grados Celsius no es proporcional a la cantidad absorbida.

El albedo de Bond a es la fracción de luz solar reflejada considerando todas las longitudes de onda y todo el planeta. El flujo medio absorbido en toda la superficie = S(1 − a) ÷ 4 y el flujo emitido por un cuerpo negro = σT⁴. La temperatura a la que ambos se igualan viene dada por T = [S(1 − a) ÷ (4σ)]^¼. Se usan S = 1,361 W/m² y σ = 5.670374419 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴). La temperatura en grados Celsius es T − 273.15. Es un modelo simple de un planeta esférico con una sola temperatura, que solo absorbe radiación solar y cuya emisividad térmica es 1. Se dejan fuera la atmósfera y el efecto invernadero, las diferencias de temperatura entre el día y la noche y entre latitudes, la retroalimentación del hielo y las nubes, y el tiempo necesario para alcanzar el equilibrio. La temperatura mostrada no representa la temperatura real de la superficie terrestre ni una predicción climática para una región concreta.

Más sobre el principio · NASA — Balance energético de la Tierra · Datos sobre radiación solar y la Tierra

Al elegir distintos caracteres

La sílaba hangul «가» ocupa un solo punto de código y, al almacenarla en UTF-8, ocupa 3 bytes. Los caracteres y el tamaño de almacenamiento se cuentan con criterios distintos.

Un punto de código Unicode es un número que identifica un carácter, y UTF-8 es una codificación que almacena cada valor escalar Unicode en 1~4 bytes. La longitud de una cadena en JavaScript es el número de unidades de código UTF-16. Un solo emoji sonriente 😊 usa 2 unidades de código. Los grupos de grafemas extendidos se delimitan según las reglas de Unicode, que permiten agrupar varios puntos de código, como en los caracteres con acento combinante y los emojis unidos. Aunque é (U+00E9) y e + acento combinante (U+0065 U+0301) se ven parecidos, los puntos de código almacenados son distintos. En UTF-8 ocupan 2 bytes y 3 bytes, respectivamente. La actividad compara seis ejemplos fijos y no normaliza la entrada ni segmenta cadenas arbitrarias. El número de formas visibles en pantalla y el número de grupos Unicode pueden diferir. Se dejan fuera las cabeceras de archivo, las marcas de codificación y el tamaño comprimido.

Más sobre el principio · Documentación oficial de Python — Unicode y UTF-8 · Unicode — Límites de los grupos de grafemas

Al cambiar las conexiones

En los puntos intermedios, cada camino de entrada se empareja con uno de salida. Para pasar una vez por cada camino hay que considerar tanto la conectividad como el número de puntos de grado impar.

El número de caminos que llegan a un punto del grafo se llama grado del vértice. Si todos los puntos con caminos están conectados y hay 0 puntos de grado impar, existe un circuito euleriano que empieza y termina en el mismo punto. Si hay 2 puntos de grado impar, existe un camino euleriano abierto que empieza en uno y termina en el otro. Si hay más puntos de grado impar, es imposible recorrer todos los caminos exactamente una vez. Si los puntos con caminos están desconectados entre sí, no se puede completar el recorrido de una sola vez, aunque todos los grados sean pares. Los puntos aislados sin caminos se excluyen de la condición de conectividad. Los caminos de esta actividad forman un grafo ficticio sin direcciones ni restricciones de paso. No se calculan las longitudes o distancias del dibujo ni el itinerario óptimo por carreteras reales.

Más sobre el principio · MIT — Grafos y caminos eulerianos (PDF)

Al cambiar el número de individuos en común

Si los individuos marcados se han mezclado suficientemente con el resto de la población, cabe esperar que su proporción en la segunda observación sea similar a la proporción de marcados en toda la población.

La estimación puntual de Lincoln–Petersen del total de individuos es N̂ = M × C ÷ R. Se basa en que la proporción de marcados en la población, M/N, es similar a la proporción de marcados en la segunda observación, R/C. El número de individuos distintos observados directamente es M + C − R, un valor diferente de la estimación total. Si R es 0, la fórmula no permite obtener una estimación. Con un R pequeño, unos pocos individuos en común de más o de menos pueden cambiar mucho el resultado. Se supone que la población es cerrada, sin nacimientos, muertes ni movimientos entre observaciones, que los individuos se mezclan lo suficiente, que las marcas se conservan y se identifican con precisión, que todos los individuos tienen la misma probabilidad de captura y que su comportamiento no cambia tras el marcado. No se calcula una corrección del sesgo para muestras pequeñas ni intervalos de confianza. La actividad muestra la relación entre recuentos ficticios y no ofrece instrucciones para capturar o marcar animales reales ni cifras sobre poblaciones reales.

Más sobre el principio · University of Wyoming — Marcaje y recaptura para estimar el tamaño poblacional

Al mover la cámara

La relación entre las distancias de la cámara a los objetos determina la relación entre sus tamaños proyectados. Si solo cambias la distancia focal desde la misma posición, ambas anchuras cambian en la misma proporción y su relación se mantiene.

En la proyección estenopeica ideal, la anchura en el plano de imagen es w′ = f × w ÷ z. f es la distancia focal, w es la anchura real y z es la distancia de la cámara al objeto. Para dos objetos de igual anchura real, la relación entre sus anchuras proyectadas es distancia al objeto lejano ÷ distancia al objeto cercano = (d + separación) ÷ d. La distancia focal se cancela en la fórmula. Cuanto más se aleja la cámara, más se acerca esta relación a 1. Si al cambiar la distancia focal también mueves la cámara para mantener el encuadre, el cambio de posición modifica la perspectiva. El esquema superior muestra las distancias entre la cámara y los objetos. La escala de 36 mm de la barra es una referencia fija para comparar las anchuras proyectadas. El modelo geométrico supone que el plano del objeto y el plano de imagen son paralelos y omite la distorsión de la lente, el desenfoque, la profundidad de campo y los cambios en la forma del rostro.

Más sobre el principio · Material didáctico del MIT sobre imagen y proyección estenopeica · Universidad de Columbia · Geometría de la proyección en perspectiva

Al cambiar las condiciones del paso de la luz

El producto de la concentración y la distancia recorrida determina la absorbancia. Duplicar la absorbancia no implica reducir a la mitad la fracción de luz transmitida.

Según la ley de Beer–Lambert, la absorbancia A = ε × concentración c × longitud del trayecto óptico l = −log₁₀(luz transmitida ÷ luz incidente). En esta actividad, la transmitancia se calcula como 100 × 10⁻ᴬ % y la cantidad de luz transmitida como luz incidente × 10⁻ᴬ. La absorbancia es un valor logarítmico distinto del porcentaje de luz absorbida. Si A aumenta de 0.5 a 1, la transmitancia baja de aproximadamente 31.623 % a 10 %. Si mantienes la concentración y la distancia y reduces a la mitad la luz incidente, las cantidades de luz transmitida y absorbida se reducen a la mitad, mientras que la transmitancia y la absorbancia se mantienen. Con una concentración de 0, el modelo transmite toda la luz. El modelo ideal de absorbancia lineal supone que la luz monocromática atraviesa una disolución homogénea sin reflexión, dispersión ni emisión, y excluye la absorción del recipiente y del disolvente. El modelo no sirve para medir la concentración de sustancias reales ni para predecir la transparencia de un líquido concreto.

Más sobre el principio · IUPAC · Ley de Beer–Lambert

Al cambiar las condiciones del choque

Si el impulso externo sobre ambos objetos es 0, la cantidad de movimiento total es la misma antes y después del choque. La conservación de la energía cinética se comprueba por separado.

La cantidad de movimiento total es p = m₁v₁ + m₂v₂ y la energía cinética es ½m₁v₁² + ½m₂v₂². Si los objetos se acercan, las velocidades tras el choque son v₁′ = [p − m₂e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂) y v₂′ = [p + m₁e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂). e es la rapidez relativa de separación tras el choque ÷ la rapidez relativa de acercamiento antes del choque. Si e = 1, se conserva la energía cinética. Si e = 0, ambos objetos se mueven a la misma velocidad, p ÷ (m₁ + m₂). Moverse juntos también es posible con una velocidad distinta de cero. La energía cinética perdida se transforma en otras formas de energía, como deformación, calor o sonido, y la energía total se conserva. El modelo representa un choque ideal en una recta sin impulso externo y omite la fricción, la rotación, la duración del choque y el proceso de deformación. El modelo solo aplica el choque si disminuye la distancia entre los objetos.

Más sobre el principio · Universidad de Florida · Choque entre dos objetos (PDF)

Al cambiar el método de recuento

El método de mayor número de votos solo cuenta la primera preferencia, mientras que Borda asigna puntos a todos los puestos. Con las mismas preferencias, el ganador puede variar según lo que se sume.

El método de mayor número de votos asigna un voto al candidato que cada persona sitúa en el puesto 1. Borda asigna al puesto 1 un total de 2 puntos, al puesto 2 un total de 1 punto y al puesto 3 un total de 0 puntos. Así, A = 2a + c, B = a + 2b, C = b + 2c. El método de segunda vuelta compara primero los votos al puesto 1. Si un candidato obtiene mayoría absoluta (más de la mitad del total), gana directamente. Si nadie alcanza esa mayoría y se puede determinar quiénes son los dos primeros, cada persona da un voto al candidato que más prefiere de los dos que quedan. Si un empate en el segundo puesto impide elegir a dos candidatos, aparece «Se requiere una regla adicional» y la elección queda pendiente. Si varios candidatos comparten el valor más alto en el recuento por mayor número de votos, en Borda o en la segunda vuelta, se indica un empate. Con las preferencias iniciales, el ganador varía según el método. A gana por mayor número de votos con 40 votos, B gana por Borda con 110 puntos y A gana en la segunda vuelta con 65 votos. Todas las preferencias son hipotéticas y completas. El modelo excluye las reglas de elecciones reales, el voto estratégico, la abstención y las clasificaciones incompletas. El método más adecuado puede depender de la situación.

Más sobre el principio · OpenStax · Métodos de votación

Al cambiar las condiciones del flujo de agua

Con la misma diferencia de carga hidráulica, fluye más agua por una capa que facilita su paso. Cuanto más largo es el recorrido, menor es la diferencia de carga por unidad de distancia.

Según la ley de Darcy, el gradiente hidráulico i = Δh ÷ L, la velocidad referida a la sección total q = K × i y el caudal Q = q × área de la sección. q se calcula sobre toda la sección, incluidos el sólido y los poros por los que fluye el agua. Con una porosidad efectiva nₑ = 0.3, la velocidad media en los poros es q ÷ nₑ, aproximadamente 3.333 veces la velocidad de Darcy en este caso. Si la diferencia de carga hidráulica es 0, el flujo en el modelo es 0. Si solo duplicas K, también se duplica el caudal. Si mantienes fija la diferencia de carga entre los extremos y duplicas la distancia, el gradiente hidráulico y el caudal se reducen a la mitad. El flujo es estacionario en una capa homogénea totalmente saturada de agua. Las propiedades del agua, el área de la sección y la porosidad se mantienen fijas. K toma valores hipotéticos elegidos para la comparación, sin recurrir a mediciones de suelos o rocas concretos. El modelo no predice la infiltración de lluvia en suelos no saturados, el tiempo real de llegada del agua subterránea, el transporte de contaminantes ni la estabilidad del terreno.

Más sobre el principio · USGS · Hidráulica de aguas subterráneas (PDF) · USGS · Poros y flujo de agua subterránea

Al cambiar el orden de ejecución

Aunque el código haga una suma por participante, una de ellas puede perderse según el orden en que se lea y se escriba el valor compartido.

Si A y B leen 10, cada uno prepara 11. Aunque ambos escriban 11 por turno, el valor final es 11 y se pierde una actualización. Esto se llama pérdida de actualización. Si un solo bloqueo protege la lectura, el cálculo y la escritura, quien empieza primero termina antes de que el siguiente lea el nuevo valor, y el valor final es 12. Bloquear solo la escritura permite que antes se siga leyendo un valor desactualizado. El objetivo de 12 corresponde al valor al completar ambas sumas, por lo que solo se aplica al final. Cuando ambos solo han terminado de leer, el valor compartido sigue igual y todavía no se ha perdido ninguna actualización. La actividad simula el orden de las operaciones sin ejecutar hilos reales del navegador y excluye la sincronización entre varios equipos y los interbloqueos.

Más sobre el principio · OSTEP · Hilos y valores compartidos (PDF) · OSTEP · Bloqueos (PDF)

Al cambiar el número de pruebas

Aunque el umbral de error de cada prueba sea bajo, con muchas pruebas puede aumentar la probabilidad de obtener al menos un falso positivo.

Si p es la probabilidad de falso positivo de una prueba y m es el número de pruebas, la probabilidad de al menos un falso positivo con pruebas independientes y todas las hipótesis nulas verdaderas es 1 − (1 − p)ᵐ. El número medio de falsos positivos es mp. Si aplicas el umbral α = 5 % a 20 pruebas sin corrección, la probabilidad global es de aproximadamente 64.15 %. La corrección de Bonferroni reduce cada umbral a α ÷ m para que la tasa global de error no supere α. Este límite superior se garantiza incluso si las pruebas son dependientes. La probabilidad exacta que se muestra aquí sí supone independencia. La probabilidad global y el número medio de casos son magnitudes distintas. La actividad no genera resultados de pruebas ni valores p reales. Un valor p no expresa la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera ni la de que exista un efecto. Un umbral más estricto puede dificultar la detección de diferencias pequeñas. En estudios reales también hay que considerar cómo se agrupan las hipótesis y cómo se relacionan las pruebas.

Más sobre el principio · MIT · Probabilidad de error en pruebas múltiples (PDF) · NIST · Principio de Bonferroni

Al cambiar una letra del ARN

Varios codones pueden codificar el mismo aminoácido, así que el efecto de cambiar una letra sobre el aminoácido depende del codón.

Un codón consta de tres bases consecutivas del ARN. Según la tabla del código genético estándar (tabla 1), GAA y GAG codifican Glu. Es un cambio sinónimo que mantiene la secuencia de aminoácidos. GUA codifica Val (valina), lo que supone un cambio de sentido. El cambio a UAA es un cambio sin sentido que adelanta la señal de terminación. Si el segundo codón es de terminación, la traducción acaba tras producir una sola Met y el UUC posterior queda sin traducir. Si se introduce la letra original, el resultado se clasifica como «Sin cambios». La posición de inicio y el marco de lectura en tripletes son fijos. El modelo excluye las inserciones y deleciones de letras. La tabla de codones admite excepciones según el organismo y el orgánulo celular. Los cambios sinónimos también pueden tener efectos en organismos reales. Este modelo ilustra la traducción de un ARN sintético corto. Su alcance se limita a ese ejemplo y excluye la evaluación de efectos en genes o enfermedades reales.

Más sobre el principio · NCBI · Tabla del código genético estándar · OpenStax · Codones y código genético

Al cambiar los ajustes de la foto

La apertura y el tiempo de obturación cambian la cantidad de luz que entra. El ISO cambia el brillo que el modelo asigna a esa luz. Con el mismo brillo, el rastro del movimiento puede variar.

En las mismas condiciones, la cantidad de luz es proporcional al tiempo de obturación e inversamente proporcional al cuadrado del número f. Abrir de f/4 a f/2 cuadruplica la luz y reducir el tiempo de 1/200 s a 1/800 s la deja en ¼. Al hacer ambos cambios, el sensor recibe la misma cantidad de luz que en la referencia. Con el tiempo más corto, la longitud del rastro del movimiento queda en ¼ de la de referencia. Al usar f/8 e ISO 400, la luz recibida queda en ¼ y el brillo del modelo es igual al de referencia. Una diferencia de brillo de +1 paso indica el doble y una de −1 paso indica la mitad. El brillo del modelo se amplifica linealmente en proporción al ISO. El modelo omite el recorte de las altas luces al saturarse, el procesamiento tonal, la medición de la exposición y el ruido de las fotos reales. El rastro del movimiento es la longitud relativa de la estela que deja un punto que se mueve a velocidad constante. Su alcance se limita al movimiento del punto y excluye la trepidación de la cámara y la nitidez global. También se excluyen las diferencias de transmisión de luz entre lentes, la profundidad de campo y la exposición automática.

Más sobre el principio · Nikon · Apertura, obturador y fundamentos de la exposición · Nikon · Sensibilidad ISO

Al cambiar la cantidad de ácido

Al aceptar los H+ añadidos y convertirse en ácido débil, la base conjugada puede reducir el cambio de pH. La cantidad de base conjugada disponible es limitada.

Primero calculamos la estequiometría de la reacción A− + H+ → HA. A− disminuye y HA aumenta en la misma cantidad de protones que capta la base conjugada. Las cantidades del gráfico se obtienen a partir de la neutralización y no corresponden a las cantidades exactas de iones que resultarían al considerar la ligera disociación del ácido y el equilibrio del agua. La aproximación de Henderson–Hasselbalch es pH ≈ pKa + log₁₀(A− ÷ HA). Dos disoluciones con la misma proporción tienen el mismo pH inicial aproximado, pero la que contiene más ácido débil y base conjugada puede recibir la misma cantidad de ácido fuerte con un cambio de pH menor. La actividad solo muestra la aproximación si, tras el cálculo, quedan al menos 10 mmol de A− y A− ÷ HA está entre 0.1 y 10. Fuera de ese intervalo se indica «Fuera del intervalo de aproximación». Esto no significa que el pH real no exista o que sea 0. Una vez agotada la cantidad inicial de base conjugada, se muestra cuánto ácido fuerte sobra, pero se deja de calcular el pH con esta ecuación. Es una aproximación para disoluciones ideales que se aplica después del cálculo estequiométrico de la reacción del ácido débil y su base conjugada. Se omiten el equilibrio exacto de disociación del ácido, la actividad iónica y los cambios de volumen.

Más sobre el principio · OpenStax: disoluciones amortiguadoras y capacidad amortiguadora

Al cambiar el punto de aplicación de la fuerza

El momento de una fuerza depende de su magnitud, de la distancia al apoyo y de la dirección en que se aplica.

La magnitud del momento de una fuerza es τ = rF sin θ. El brazo de palanca, r sin θ, es la distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción de la fuerza. Si aplicas la misma fuerza perpendicularmente al doble de distancia, el momento se duplica. Si la inclinas a 30°, el momento se reduce a la mitad para la misma distancia y magnitud de fuerza. Cuando la fuerza es paralela a la barra, a 0° o 180°, el momento es 0 y la fuerza de la derecha por sí sola no puede compensar el momento de la izquierda. La «fuerza de equilibrio» es el valor calculado necesario y puede superar el intervalo ajustable de 10 a 40 N. Un momento neto de signo + tiende inicialmente a producir un giro antihorario y uno de signo −, un giro horario. Un valor de 0 indica equilibrio de rotación en este modelo y no implica que todas las fuerzas sobre un cuerpo libre estén en equilibrio. El apoyo es fijo y su reacción restringe la traslación de la barra. Se supone que la barra es rígida, carece de peso, parte del reposo y gira sin rozamiento. No se calcula el movimiento a lo largo del tiempo. El momento se expresa en N·m, sin convertir esta unidad a J, que se usa para la energía.

Más sobre el principio · OpenStax: momento de una fuerza y brazo de palanca · OpenStax: equilibrio de fuerzas y momentos