¿Cuántas llamadas recibe en promedio un centro de atención telefónica en una hora? Si el promedio es de 180 llamadas, cabría esperar unas 3 por minuto. Sin embargo, hay minutos en los que no llega ninguna y otros en los que de pronto llegan cinco o seis. Aunque estos recuentos parezcan irregulares, esconden un patrón.
La distribución de Poisson (Poisson Distribution) explica ese patrón. Es una distribución de probabilidad que permite calcular cuántas veces puede ocurrir un suceso en un intervalo de tiempo o en una región del espacio a partir de un solo dato, el número medio de ocurrencias.
En este artículo veremos, por orden, en qué condiciones se aplica la distribución de Poisson, qué mostraron las estadísticas sobre los soldados de caballería que recibieron coces y las bombas que cayeron sobre Londres, dónde se utiliza y en qué casos deja de ajustarse a los datos.
Cómo calcular la probabilidad de sucesos poco frecuentes a partir de una media
Una sola media determina la forma de la distribución
La distribución lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson, que la presentó en su obra «Investigaciones sobre la probabilidad de los fallos en materia penal y civil», publicada en 1837. Abraham de Moivre ya había obtenido un resultado similar en 1711.
(1) Basta con conocer el número medio de ocurrencias
Si un suceso ocurre en promedio λ veces en un intervalo dado, la probabilidad de que ocurra exactamente k veces se obtiene multiplicando λ elevado a k por e elevado a menos λ y dividiendo el resultado por k factorial. Aquí, e es un número cuyo valor aproximado es 2.718.
(2) La media y la varianza son iguales
En la distribución de Poisson, tanto la media como la varianza, que mide la dispersión, son iguales a λ. Conocer la media basta, por tanto, para saber cuánto varían los recuentos.
(3) Deben cumplirse ciertas condiciones
Los sucesos deben ocurrir de forma independiente, sin influirse entre sí. La tasa media de ocurrencia debe mantenerse constante en todo el intervalo y dos sucesos no deben ocurrir exactamente en el mismo instante.
Por ejemplo, en un centro de atención telefónica que recibe en promedio 3 llamadas por minuto, la probabilidad de que en 1 minuto lleguen entre 1 y 4 llamadas es de alrededor del 77 %, y la de que no llegue ninguna o lleguen 5 o más es de alrededor del 23 %. Incluso si un río se desborda en promedio una vez cada 100 años, la probabilidad de que no se desborde ni una sola vez en 100 años es de alrededor del 36.8 %, y la de que se desborde dos veces o más alcanza aproximadamente el 26 %. Una media de 1 no implica que el suceso ocurra exactamente una vez en cada intervalo.
Estadísticas de las coces en la caballería
El estadístico de origen ruso y ascendencia polaca Ladislaus Bortkiewicz dio a conocer la distribución de Poisson mediante datos reales. En 1898 publicó un libro titulado «La ley de los pequeños números» y puso como ejemplo el número de soldados del ejército prusiano que murieron a causa de coces de caballo.
- Datos (Data). Se estudiaron 14 cuerpos de ejército desde 1875 hasta 1894, a lo largo de 20 años. Se obtuvieron 280 pares de cuerpo y año, con un total de 196 fallecidos.
- Media (Mean). Al dividir los 196 fallecidos entre 280, se obtiene una media de 0.7 fallecidos por cuerpo de ejército y año.
- Frecuencias observadas (Observed). Se registraron 0 fallecidos en 144 ocasiones, 1 en 91 ocasiones, 2 en 32 ocasiones, 3 en 11 ocasiones y 4 en 2 ocasiones.
- Frecuencias esperadas (Expected). Con una distribución de Poisson de media 0.7, las frecuencias calculadas fueron, en ese orden, de aproximadamente 139.0, 97.3, 34.1, 7.9 y 1.4 casos, cifras que se ajustaron bien a las observaciones.
Para cada soldado, recibir una coz era muy poco probable, pero el elevado número de soldados de caballería y la duración del periodo de estudio daban lugar a muchas oportunidades de que ocurriera. Bortkiewicz llamó «ley de los pequeños números» al hecho de que el número de veces que ocurre un suceso siga una distribución de Poisson cuando su probabilidad en cada intento es baja y el número de intentos es alto.
¿Cayeron las bombas sobre Londres de forma concentrada?
Hacia el final de la 2.ª Guerra Mundial, Alemania lanzó bombas volantes V-1 contra Londres y se extendió el rumor de que las bombas se concentraban en determinados lugares. R. D. Clarke, que trabajaba en una compañía de seguros, decidió comprobarlo y publicó sus resultados en 1946.
(1) Dividir el mapa en cuadrículas
Clarke dividió 144 kilómetros cuadrados del sur de Londres en celdas de 0.25 kilómetros cuadrados cada una, para un total de 576 celdas. De las 537 bombas que cayeron en esa zona, contó cuántas habían caído en cada celda. La media fue de unas 0.93 bombas por celda.
(2) Comparar las observaciones con las predicciones
No cayó ninguna bomba en 229 celdas, una cifra muy cercana a las 226.7 previstas. Cayó una bomba en 211 celdas, frente a las 211.4 previstas, y dos bombas en 93 celdas, frente a las 98.5 previstas. Cayeron tres bombas en 35 celdas, frente a las 30.6 previstas, y cuatro bombas en 7 celdas, frente a las 7.1 previstas. Cayeron cinco bombas o más en 1 celdas, frente a las 1.6 previstas.
(3) No se observó concentración
Si las bombas se hubieran concentrado en un mismo lugar, habría habido más celdas sin impactos y más celdas con muchos impactos de lo que predecía el modelo. Como los resultados se acercaban mucho a la predicción, Clarke concluyó que, en esa zona, las bombas habían caído de manera aproximadamente aleatoria e independiente unas de otras.
La distribución de Poisson tiene muchas otras aplicaciones. Algunos ejemplos son las llamadas a un centro de atención telefónica, la desintegración de materiales radiactivos, los accesos a un servidor web, las reclamaciones de indemnización a las aseguradoras y el recuento de células de levadura de cerveza que realizaba William Gosset, conocido por el seudónimo de Student.
Cuándo no se ajusta la distribución de Poisson
Solo algunos datos de recuento siguen una distribución de Poisson. En cuanto deja de cumplirse alguna de las tres condiciones anteriores, los cálculos empiezan a apartarse de los datos.
(1) La tasa cambia con el tiempo
Durante las clases llegan pocos estudiantes al centro estudiantil y, en los descansos, llegan muchos a la vez. Si la tasa de ocurrencia varía, una sola media resulta insuficiente para describir lo que sucede.
(2) Los sucesos están relacionados
Es lo que sucede cuando los estudiantes llegan en grupos o cuando a un gran terremoto le siguen varias réplicas similares. Si un suceso cambia la probabilidad del siguiente, deja de cumplirse la condición de independencia.
(3) El 0 es imposible o aparece con demasiada frecuencia
Se necesita un modelo adaptado cuando el suceso ocurre necesariamente al menos una vez o cuando los datos contienen muchos más intervalos sin sucesos de los que predice el modelo. Si la media y la varianza de los datos difieren mucho, conviene empezar por comprobar esta condición.
Los sucesos poco frecuentes pueden seguir un patrón, y cada conjunto de recuentos exige comprobar si el modelo se ajusta. El primer paso para entender la distribución de Poisson consiste en usar una sola media para describir cómo se manifiesta el azar y preguntarse si el modelo se ajusta a los datos.
