ज्ञान प्रयोग KNOWLEDGE IN ACTION
अपनी जिज्ञासा को प्रयोग में बदलें।
जिस सिद्धांत को जानना चाहते हैं, उससे जुड़े मान बदलें और परिणाम खुद देखें।
आज कौन सी खोज होगी?
विविध विषय, छोटी खोजें
आज की जिज्ञासा चुनें।
प्रयोग यादृच्छिक क्रम में दिखाए जाते हैं।
01 / IT · उत्तर तक का रास्ता
एक-एक स्थान खोजें,
हर बार दायरा आधा करके खोजें।
1 से शुरू होने वाली क्रमबद्ध संख्याओं में लक्ष्य खोजें।
दोनों विधियाँ कितनी संख्याएँ जाँचती हैं, साथ-साथ देखें।
लक्ष्य या संख्या की गिनती बदलने पर खोज की तुलना शुरू से होगी।
गिनती उन संख्याओं की है जिन्हें लक्ष्य के बराबर होने के लिए जाँचा गया है। खोज जारी हो तो दोनों विधियों का अंतिम अंतर बदल सकता है।
लक्ष्य बदलकर खोजें और आज की चुनौती जानें।
खुद खोजने पर
बीच की संख्या जाँचने पर उस आधे हिस्से को एक साथ हटा सकते हैं जिसमें उत्तर नहीं है।
द्विआधारी खोज तभी उपयोगी है जब डेटा क्रमबद्ध हो। इस प्रयोग में पहले से क्रमबद्ध संख्याएँ हैं और क्रमबद्ध करने की लागत तुलना में शामिल नहीं है। लक्ष्य सबसे आगे हो तो क्रमिक खोज जल्दी भी ढूँढ़ सकती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NIST: द्विआधारी खोज
02 / IT · प्रतीक्षा और संचार
तेज़ कनेक्शन पर भी,
प्रतीक्षा का समय होता है।
फ़ाइल का आकार, कनेक्शन की गति और आने-जाने का विलंब बदलें।
प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा और उसके बाद फ़ाइल पहुँचने के समय को अलग-अलग देखें।
1 बाइट में 8 बिट होते हैं। यहाँ 1MB = 100 × दस हज़ार बाइट और 1Mbps = प्रति सेकंड 100 × दस हज़ार बिट माना गया है।
आकार, गति और विलंब बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रतीक्षा को खुद अलग करके देखने पर
फ़ाइल भेजने की गति और प्रतिक्रिया की प्रतीक्षा का समय अलग-अलग कारक हैं।
कुल समय = एक बार का आने-जाने का विलंब + फ़ाइल का आकार × 8 ÷ कनेक्शन की गति। यह सरल मॉडल है जिसमें कनेक्शन की तैयारी और भीड़ के बिना स्थिर गति से डेटा पहुँचता है। वास्तविक डाउनलोड कई संचार चरणों, सर्वर प्रसंस्करण, भीड़ और स्थानांतरण में हानि के अनुसार बदलता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Cloudflare: नेटवर्क विलंब
03 / रसायन विज्ञान · लघुगणक से समझें अंतर
pH में एक इकाई का अंतर हो,
तो सांद्रता में दस गुना अंतर होता है।
दो काल्पनिक विलयनों का pH बदलें।
हाइड्रोजन आयन सांद्रता का सन्निकटन करके A और B का अंतर तुलना करें।
विलयनों के रंग केवल पहचान में मदद करने वाला वैचारिक चित्रण हैं। वे वास्तविक सूचक के रंग या विलयन की सुरक्षा नहीं दर्शाते।
दोनों विलयनों का pH बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद तुलना करने पर
pH जितना कम होता है, हाइड्रोजन आयन सांद्रता का सन्निकट मान उतना अधिक होता है।
यहाँ [H₃O⁺] ≈ 10−pH mol/L से गणना की जाती है। pH की कठोर परिभाषा में सांद्रता के बजाय सक्रियता उपयोग होती है। उदासीन pH 7, 25°C का मानक है; केवल pH से सुरक्षा या स्वयं अम्ल की प्रबलता नहीं आँक सकते। 0~14 इस प्रयोग की अन्वेषण सीमा है; सभी विलयनों का pH इसी सीमा में नहीं होता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: pH और pOH
04 / रसायन विज्ञान · पहले खत्म होने वाली सामग्री
दो प्रकार के अणु,
क्या सभी अभिक्रिया कर पाएँगे?
काल्पनिक अणुओं को अभिक्रिया अनुपात में समूहित करें।
2H₂ + O₂ → 2H₂O के अनुसार बनने वाले पानी की मात्रा जानें।
यह काल्पनिक समूह मॉडल है जिसमें हाइड्रोजन के 2 और ऑक्सीजन के 1 अणु एक समूह बनाते हैं। दिखाया गया पानी इस मॉडल में बन सकने वाले अणुओं की अधिकतम संख्या है।
अणुओं की संख्या बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद समूह बनाने पर
आवश्यक अनुपात में समूह बना सकने वाले अणु तय करते हैं कि पानी के कितने अणु बनेंगे।
हर समूह के लिए H₂ के 2 और O₂ के 1 अणु चाहिए। संभव समूहों की संख्या ‘हाइड्रोजन की संख्या ÷ 2 का पूर्णांक भाग’ और ‘ऑक्सीजन की संख्या’ में से छोटा मान है। हाइड्रोजन की संख्या विषम हो तो 1 हाइड्रोजन अणु बचता है, इसलिए दोनों प्रकार के अणु बच सकते हैं। यह वास्तविक अभिक्रिया की गति, परिस्थितियों और उपज को दोहराने वाला प्रयोग नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: सीमांत अभिकारक और अभिक्रिया की उपज
05 / भौतिकी · विद्युत समझने के तीन मान
वोल्टेज और प्रतिरोध बदलें,
तो धारा का क्या होगा?
यह काल्पनिक परिपथ है जिसमें एक प्रतिरोधक पर दिष्ट वोल्टेज लगाया जाता है।
प्रवाहित धारा और खर्च होने वाली शक्ति की साथ तुलना करें।
शक्ति की तुलना 6V·100Ω पर 0.36W के शुरुआती मान से होती है। 1A = 1,000mA है।
वोल्टेज और प्रतिरोध बदलकर आज की चुनौती जानें।
परिपथ के मान खुद बदलने पर
प्रतिरोध स्थिर हो तो धारा वोल्टेज के समानुपाती और शक्ति वोल्टेज के वर्ग के समानुपाती होती है।
गणना ओम के नियम I = V ÷ R और शक्ति P = V² ÷ R से होती है। यह स्थिर प्रतिरोध वाले एक प्रतिरोधक का दिष्ट धारा मॉडल है। वास्तविक पदार्थों, बल्बों और इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों का प्रतिरोध तापमान और कार्यावस्था के अनुसार बदल सकता है। यह स्क्रीन पर संबंध समझने का प्रयोग है, वास्तविक तार जोड़ने के निर्देश नहीं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: ओम का नियम · शक्ति और विद्युत ऊर्जा
06 / भौतिकी · रूप बदलती ऊर्जा
जितनी ऊँचाई घटती है,
उतनी गति बढ़ती है।
शुरू में स्थिर एक काल्पनिक वस्तु गिरती है।
स्थितिज और गतिज ऊर्जा बदलें, तो भी क्या उनका योग समान रहेगा?
यह गिरने के समय का अनुपात नहीं, बल्कि शुरुआती ऊँचाई से नीचे आई दूरी का अनुपात दिखाता है।
ऊँचाई, द्रव्यमान और गिरने की स्थिति बदलकर आज की चुनौती जानें।
स्थिति खुद बदलने पर
जितनी स्थितिज ऊर्जा घटती है, उतनी गतिज ऊर्जा बढ़ती है।
यह 9.8m/s² गुरुत्वीय त्वरण वाला, घर्षण और वायु प्रतिरोध रहित मॉडल है। शुरुआती ऊँचाई h और नीचे आने का अनुपात p हो तो स्थितिज ऊर्जा mgh(1 − p), गतिज ऊर्जा mghp और चाल √(2ghp) है। स्थितिज ऊर्जा का संदर्भ तल ज़मीन है और 100% टक्कर से ठीक पहले की स्थिति है। टक्कर के बाद विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में रूपांतरण शामिल नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा · NASA: ऊर्जा संरक्षण
07 / संख्याओं में ‘सामान्य’
केवल एक व्यक्ति का मान बदले,
तो क्या औसत भी बदलेगा?
ये छह काल्पनिक व्यक्तियों की मासिक आय हैं।
सबसे दाएँ व्यक्ति की आय बदलकर तुलना करें।
दंडों की ऊँचाई की तुलना हमेशा 0~1,000 × दस हज़ार वॉन के पैमाने पर होती है।
स्लाइडर खिसकाएँ या तीर कुंजियों से बदलें।
संख्याएँ बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
आय लगभग समान हो तो औसत और माध्यिका पास होते हैं।
औसत सभी मानों के योग को व्यक्तियों की संख्या से भाग देने पर मिलता है। माध्यिका आकार के क्रम में रखे मानों का बीच वाला मान है। छह व्यक्ति हों तो बीच के दो मानों का औसत लेते हैं। उपयुक्त प्रतिनिधि मान वितरण और प्रश्न पर निर्भर करता है।
08 / रंगों से बनता दृश्य
एक ही पोस्टर,
केवल रंग से बदल जाता है।
पृष्ठभूमि, अक्षर और प्रमुखता का रंग चुनें।
माहौल में बदलाव और अक्षरों की पठनीयता साथ देखें।
छोटी खोजों का
बड़ा आनंद।
जहाँ जिज्ञासा ठहरती है, जपहाकसोगो
छोटी खोजों का
बड़ा आनंद।
जहाँ जिज्ञासा ठहरती है, जपहाकसोगो
रंग बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
एक ही विन्यास के रंग बदलने से उसका प्रभाव बदल जाता है।
पृष्ठभूमि का रंग बड़े क्षेत्र का प्रभाव बदलता है और प्रमुखता का रंग ध्यान खींचने वाला हिस्सा बदलता है। अक्षरों और पृष्ठभूमि की चमक का अंतर पठनीयता से जुड़ा है। दिखाया गया मान दोनों रंगों की सापेक्ष ज्योतिर्मयता से निकाला गया कंट्रास्ट है।
09 / किताब की जगह तय करने के नियम
छह किताबें,
किस क्रम में रखें?
किताबों पर क्लिक करके बाएँ से क्रम में रखें।
कम वर्गीकरण संख्या वाली किताब से अधिक संख्या वाली किताब तक क्रम रखें।
अभी जगह न पाने वाली किताबें
काल्पनिक किताबें · क्लिक करने पर शेल्फ़ में जाएँगी।रखी किताब पर फिर क्लिक करके निकाल सकते हैं। कीबोर्ड पर Tab और Enter उपयोग करें।
बिखरी छह किताबों को सही जगह पहुँचाने में मदद करें।
खुद किताबें रखने पर
संख्याएँ किताबों को विषय के अनुसार समूहित करती हैं और शेल्फ़ में उनकी जगह बताती हैं।
KDC किताबों को विषय के अनुसार वर्गीकृत करने की प्रणाली है। यहाँ मुख्य विषयों की वर्गीकरण संख्या से क्रम सीखते हैं। वास्तविक पुस्तकालयों में समान वर्गीकरण संख्या के भीतर लेखक संकेत जैसे कॉल नंबर के बाकी घटकों और पुस्तकालय के नियमों से क्रम तय होता है।
अर्थव्यवस्था व समाज · समय और चक्रवृद्धि ब्याज
जब ब्याज पर भी ब्याज मिले,
तो समय अंतर पैदा करता है।
समान मूलधन और ब्याज दर पर साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना करें।
अवधि बढ़ने पर दोनों राशियों का अंतर कैसे बदलेगा?
माना गया है कि हर वर्ष समान ब्याज दर लागू होती है और कोई अतिरिक्त जमा या निकासी नहीं होती।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
चक्रवृद्धि ब्याज में मूलधन के साथ पहले मिले ब्याज पर भी अगला ब्याज मिलता है।
साधारण ब्याज की राशि = मूलधन × (1 + वार्षिक ब्याज दर × अवधि), वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की राशि = मूलधन × (1 + वार्षिक ब्याज दर)अवधिहै। गणना में प्रतिशत ब्याज दर को 100 से भाग देते हैं। यह कर, शुल्क और मूल्य स्तर में बदलाव को छोड़कर शैक्षिक गणना है; वास्तविक वित्तीय उत्पाद के प्रतिफल का अनुमान नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Investor.gov: चक्रवृद्धि ब्याज का सिद्धांत
गणित व सांख्यिकी · आधार दर और प्रायिकता
सटीक सूचना भी,
गलत क्यों हो सकती है।
10,000 काल्पनिक संदेशों पर स्पैम सूचना चालू करें।
स्पैम का अनुपात और पहचान क्षमता बदलकर सूचनाओं की विश्वसनीयता की तुलना करें।
गिनती प्रायिकता से निकाले गए अपेक्षित मान हैं। वास्तविक संदेश जाँचे या सूचनाएँ भेजी नहीं जातीं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
स्पैम दुर्लभ हो तो छोटी गलत पहचान दर भी बड़ी संख्या में सामान्य संदेशों पर लागू हो सकती है।
सही सूचनाएँ = 10,000 × स्पैम अनुपात × पहचान दर, गलत सूचनाएँ = 10,000 × सामान्य संदेश अनुपात × गलत पहचान दर। सूचनाओं में स्पैम का अनुपात = सही सूचनाएँ ÷ कुल सूचनाएँ। पहचान क्षमता समान होने पर भी परिणाम इस पर निर्भर करता है कि मूलतः स्पैम कितना सामान्य है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: प्रायिकता और सशर्त प्रायिकता
जीव विज्ञान व पर्यावरण · समष्टि और वृद्धि
तेज़ी से बढ़ने के बाद,
गति धीमी क्यों होती है?
भोजन और स्थान की सीमा वाली काल्पनिक समष्टि देखें।
शुरुआती जीव संख्या, पर्यावरण की वहन क्षमता और समय बदलकर वृद्धि वक्रों की तुलना करें।
जीव संख्या औसत प्रवृत्ति दिखाती है, इसलिए दशमलव में भी हो सकती है। चरण इस मॉडल की समय इकाई है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
पर्यावरण की सीमा के करीब पहुँचने पर और बढ़ने की गुंजाइश घटती है।
लॉजिस्टिक मॉडल dN/dt = rN(1 − N/K) उपयोग करता है। N जीव संख्या, K पर्यावरण की स्थिर वहन क्षमता और r वृद्धि गुणांक है। यहाँ इस समीकरण का सतत समय वाला हल दिखाया गया है। यह प्रवास, ऋतु और भोजन में बदलाव रहित सरल मॉडल है; वास्तविक पारितंत्र का पूर्वानुमान नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: लॉजिस्टिक समीकरण
गणित व सांख्यिकी · समान शर्तों में इष्टतमीकरण
बाड़ समान है,
पर क्षेत्रफल बदलता है।
निश्चित लंबाई की बाड़ से आयत बनाएँ।
लंबाई और चौड़ाई का संतुलन मिलने वाला क्षेत्रफल बदलता है।
यह चारों ओर बाड़ से घिरा आयत है। दीवार के उपयोग या प्रवेश द्वार वाले मामले शामिल नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
लंबाई और चौड़ाई जितनी पास हों, समान बाड़ से उतनी अधिक जगह घिरती है।
लंबाई + चौड़ाई = परिमाप ÷ 2 और क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। स्थिर परिमाप वाले आयतों में समान लंबाई और चौड़ाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है। अधिकतम क्षेत्रफल = (परिमाप ÷ 4)2से तुलना की जाती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: समान परिमाप पर क्षेत्रफल की तुलना
पृथ्वी व अंतरिक्ष · मानचित्र का पैमाना
मानचित्र पर छोटी लंबाई,
वास्तव में कितनी होगी?
पैमाना चुनें और मानचित्र की लंबाई बदलें।
वास्तविक दूरी और वर्गाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल साथ देखें।
मानचित्र की लंबाई काल्पनिक संख्यात्मक मान है, स्क्रीन पर पैमाने से मापी गई लंबाई नहीं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
पैमाने का हर बढ़ने पर मानचित्र की समान लंबाई में अधिक वास्तविक क्षेत्र समाता है।
1 : S पैमाने पर वास्तविक दूरी(km) = मानचित्र की लंबाई(cm) × S ÷ 100,000। वर्ग का वास्तविक क्षेत्रफल वास्तविक भुजा(km) का वर्ग है। मानचित्र प्रक्षेपण की विकृति और स्थल की ढाल शामिल नहीं हैं। स्क्रीन पर मानचित्र बड़ा करने से मुद्रण के लिए लिखे पैमाने की संख्या अपने-आप नहीं बदलती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · USGS: मानचित्र और पैमाने का मार्गदर्शन
पृथ्वी व अंतरिक्ष · ऋतुएँ और सूर्य
ऋतुओं के साथ बदलता,
दोपहर की धूप का कोण।
अक्षांश और सूर्य की ऋतुगत स्थिति बदलें।
दोपहर में सूर्य की ऊँचाई और 1m छड़ की छाया साथ बदलती हैं।
धनात्मक मान उत्तरी और ऋणात्मक मान दक्षिणी अक्षांश हैं। 0° भूमध्य रेखा है।
यहाँ दोपहर का अर्थ घड़ी के 12 बजे नहीं, स्थानीय सौर मध्याह्न है जब सूर्य सबसे ऊँचा होता है। पृथ्वी के घूर्णन अक्ष का झुकाव लगभग 23.4° पर स्थिर रखा गया है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
समान ऋतुगत स्थिति पर भी उत्तरी और दक्षिणी गोलार्ध में धूप का कोण अलग होता है।
सौर मध्याह्न का उन्नतांश ≈ 90° − |अक्षांश − सौर क्रांति|। समतल भूमि पर लंबवत खड़ी 1m छड़ की छाया की लंबाई 1 ÷ tan(उन्नतांश) से निकाली जाती है। 90° उन्नतांश पर छाया 0 होती है। वायुमंडलीय अपवर्तन और स्थलाकृति शामिल नहीं हैं; ऋतुगत क्रांति के प्रतिनिधि मान उपयोग किए गए हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NOAA: सूर्य की स्थिति के गणना सूत्र
IT · छवि बनाने वाला डेटा
पिक्सेल बढ़ने पर,
संग्रहित डेटा भी बढ़ता है।
छवि की चौड़ाई, ऊँचाई और प्रति पिक्सेल बिट संख्या बदलें।
संपीड़न से पहले पिक्सेल डेटा के आकार की तुलना करें।
चित्र की जाली पिक्सेल समझाने का छोटा मॉडल है। यह स्क्रीन या मुद्रण का आकार नहीं दर्शाती।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
चौड़ाई और ऊँचाई दोनों दुगुनी करने से पिक्सेल संख्या और डेटा का आकार चार गुना हो जाता है।
पिक्सेल डेटा(बाइट) = चौड़ाई में पिक्सेल संख्या × ऊँचाई में पिक्सेल संख्या × प्रति पिक्सेल बिट संख्या ÷ 8। यहाँ 1MB = 1,000,000 बाइट। फ़ाइल हेडर, पैलेट, पंक्तियों के अंत का भराव डेटा और संपीड़न शामिल नहीं हैं, इसलिए वास्तविक छवि फ़ाइल का आकार अलग होगा। 8 बिट श्वेत-श्याम चमक जैसी जानकारी दर्शाने का एक तरीका है; 32 बिट में अतिरिक्त 8 बिट इस उदाहरण में पारदर्शिता दर्शाते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Microsoft: बिटमैप का पिक्सेल डेटा और संग्रहण संरचना
रसायन विज्ञान · तनुकरण और विलेय की मात्रा
पानी मिलाने से सांद्रता घटती है,
पर घुली मात्रा समान रहती है।
काल्पनिक विलयन की सांद्रता, आयतन और मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा बदलें।
देखें कि विलेय की मात्रा स्थिर रखते हुए सांद्रता कैसे बदलती है।
g/L, 1L विलयन में घुले विलेय का द्रव्यमान दर्शाता है। मिलाए जाने वाले पानी में विलेय नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
विलयन का आयतन दुगुना होने पर सांद्रता आधी हो जाती है, पर विलेय की मात्रा समान रहती है।
प्रारंभिक सांद्रता × प्रारंभिक आयतन = अंतिम सांद्रता × अंतिम आयतन। आयतन एक ही इकाई में रखने पर गणना कर सकते हैं। यह मॉडल मानता है कि विलेय अभिक्रिया या वाष्पीकरण किए बिना पूरी तरह मिल जाता है और विलयन तथा पानी के आयतन सीधे जोड़े जा सकते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: विलयन की सांद्रता और तनुकरण
भौतिकी · डेसीबल और ध्वनियों का योग
ध्वनि की तीव्रता दोगुनी हो,
तो क्या डेसीबल भी दोगुने होंगे?
एक ध्वनि का डेसीबल स्तर और उसी स्तर की ध्वनियों की संख्या बदलें।
एक बिंदु पर जुड़ने वाली तीव्रता और डेसीबल के बीच अंतर की तुलना करें।
वास्तविक ध्वनि नहीं बजाई जाती। तीव्रता का गुणक, महसूस होने वाली ध्वनि की प्रबलता के गुणक से अलग है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
समान स्तर की दो ध्वनियों की तीव्रताएँ जोड़ने पर स्तर लगभग 3dB बढ़ता है।
N ध्वनियों का संयुक्त स्तर = एक ध्वनि का स्तर + 10 × log₁₀(N)। इसमें एक ही प्रेक्षण बिंदु पर समान स्तर वाली, परस्पर स्वतंत्र ध्वनियाँ मानी गई हैं, जिनके बीच स्थिर कलांतर नहीं रहता। यह मॉडल समान कला वाली तरंगों का योग, महसूस होने वाली प्रबलता या श्रवण संबंधी सिफारिशें नहीं निकालता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Manchester विश्वविद्यालय: अलग-अलग ध्वनियों की तीव्रताओं का योग
अर्थव्यवस्था और समाज · मूल्य स्तर और क्रयशक्ति
धन बढ़ने की रफ्तार,
क्या कीमतों से तेज है?
राशि की वृद्धि दर और मुद्रास्फीति दर अलग-अलग बदलें।
बाद की राशि को शुरुआती मूल्य स्तर पर बदलकर तुलना करें।
माना गया है कि वस्तुओं के एक ही समूह की कीमतें निर्धारित दर से बढ़ती हैं। वास्तविक मूल्य आँकड़े या वित्तीय उत्पादों की प्रतिफल दरें इस्तेमाल नहीं की जातीं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
धन बढ़ने पर भी, यदि कीमतें उससे तेज बढ़ें, तो उतने ही धन से खरीदी जा सकने वाली मात्रा घट जाती है।
नाममात्र राशि = प्रारंभिक राशि × (1 + राशि की वृद्धि दर)अवधि, शुरुआती मूल्य स्तर पर समायोजित राशि = नाममात्र राशि ÷ (1 + मुद्रास्फीति दर)अवधि होता है। मुद्रास्फीति समायोजित वार्षिक वृद्धि दर की गणना (1 + राशि की वृद्धि दर) ÷ (1 + मुद्रास्फीति दर) − 1 से होती है। गणना में प्रतिशत दर को 100 से भाग देते हैं। यह शिक्षण मॉडल स्थिर काल्पनिक दरें इस्तेमाल करता है और कर, शुल्क तथा व्यक्तियों के उपभोग के अंतर को शामिल नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · यूरोपीय केंद्रीय बैंक: मुद्रास्फीति और क्रयशक्ति
जीवन और पर्यावरण · आनुवंशिकता की प्रायिकता
हर जनक से एक मिलने पर,
संतति का संयोजन तय होता है।
मटर के बीज का आकार तय करने वाले एक जीन को देखें।
दोनों जनकों के जीनप्ररूप बदलकर संभावित संयोजनों की तुलना करें।
A और a एक ही जीन के दो एलील हैं। इस उदाहरण में कम से कम एक A होने पर बीज गोल होता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
Aa और Aa का संकरण करने पर चार संयोजनों में से एक aa होता है। झुर्रीदार बीज की सैद्धांतिक प्रायिकता 25% है।
यह एक जीन का पूर्ण प्रभाविता मॉडल है, जिसमें हर जनक अपने दो एलीलों में से एक को समान प्रायिकता से देता है। चार खाने समान रूप से संभावित संयोजन हैं; इसका अर्थ यह नहीं कि हर चार वास्तविक संततियों में अनुपात अनिवार्य रूप से 3 : 1 होगा। हर निषेचन एक अलग प्रायिक घटना है। सभी जीवों के लक्षण इस नियम का पालन नहीं करते और प्रभावी का अर्थ बेहतर या अधिक सामान्य होना भी नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: मेंडल के आनुवंशिकता के नियम और पनेट वर्ग
भौतिकी · बल और विस्थापन दूरी
कम बल लगाने के बदले,
रस्सी अधिक दूर खींचते हैं।
वस्तु का द्रव्यमान, सहारा देने वाले रस्सी खंडों की संख्या और उठाने की ऊँचाई बदलें।
आवश्यक बल और खींचने की दूरी की साथ-साथ तुलना करें।
गतिशील वस्तु को सहारा देने वाले रस्सी खंड गिनें। यह हाथ से खींची जाने वाली रस्सियों की संख्या से अलग है।
द्रव्यमान kg और बल N में दिखाया जाता है। सहारा देने वाले खंड बढ़ने पर हर खंड के हिस्से का बल घटता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
सहारा देने वाले खंड दोगुने हों, तो बल आधा और खींचने की दूरी दोगुनी हो जाती है। उसी वस्तु को उसी ऊँचाई तक उठाने में किया गया कार्य समान रहता है।
खींचने का बल = द्रव्यमान × गुरुत्वीय त्वरण ÷ सहारा देने वाले रस्सी खंडों की संख्या, खींचने की दूरी = सहारा देने वाले खंडों की संख्या × ऊँचाई, किया गया कार्य = बल × खींची गई दूरी। यह आदर्श मॉडल गुरुत्वीय त्वरण 9.8m/s² मानकर, रस्सी और घिरनी के द्रव्यमान तथा घर्षण की उपेक्षा करते हुए वस्तु को स्थिर चाल से उठाता है। चित्र बल के विभाजन का सिद्धांत दिखाने वाला अवधारणा चित्र है; यह वास्तविक रस्सी लगाने की विधि नहीं बताता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: घिरनी और यांत्रिक लाभ
पृथ्वी व अंतरिक्ष · चंद्र कलाएँ
चंद्रमा के प्रकाशित भाग को,
किस दिशा से देखें?
पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की कक्षीय स्थिति बदलें।
पृथ्वी से दिखने वाले प्रकाशित भाग के अनुपात और आकार की तुलना करें।
इस स्थिति में चंद्रमा का आकार · प्रथम चतुर्थांश
90° पर प्रथम चतुर्थांश और 270° पर अंतिम चतुर्थांश, दोनों में आधा भाग प्रकाशित होता है, लेकिन प्रकाशित भाग की दिशा अलग होती है। इस चित्र का मानक दृश्य उत्तर को ऊपर रखता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
चंद्रमा का आधा भाग हमेशा सूर्य के प्रकाश से प्रकाशित रहता है, लेकिन पृथ्वी से उस भाग को देखने की दिशा बदलने के कारण चंद्रमा का आकार बदलता दिखता है।
चंद्र कलाएँ पृथ्वी की छाया से ढकने के कारण नहीं बनतीं। पृथ्वी की छाया चंद्रमा पर पड़ने की घटना चंद्र ग्रहण है। इस गतिविधि का मॉडल वृत्ताकार कक्षा में स्थिर चाल और औसत चांद्र मास 29.53 दिन मानता है। प्रकाशित प्रतिशत = 50 × (1 − cos स्थिति कोण), और बीते दिन = 29.53 × स्थिति कोण ÷ 360। यह चंद्रमा की वास्तविक स्थिति, चंद्र पंचांग की तिथि, चंद्र ग्रहण की संभावना या प्रेक्षण समय बताने वाला कैलेंडर नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NASA: चंद्र कलाएँ और प्रकाशित भाग
गणित और सांख्यिकी · नमूना और त्रुटि
अधिक लोगों से पूछने पर,
त्रुटि कितनी घटेगी?
सर्वेक्षण के नमूने का आकार और समर्थन अनुपात बदलें।
तुलना करें कि सन्निकट 95% विश्वास अंतराल की त्रुटि सीमा कैसे बदलती है।
50% पर ±9.8%p का अर्थ 40.2% से 59.8% तक है। %p प्रतिशत अंक हैं, जो प्रतिशतों के बीच अंतर बताते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
अनुपात समान हो, तो नमूने का आकार चार गुना करने पर त्रुटि सीमा आधी होती है। यह नमूने के आकार में वृद्धि के समान अनुपात में नहीं घटती।
त्रुटि सीमा (%p) = 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ नमूने का आकार) × 100, जहाँ p समर्थन प्रतिशत को 100 से भाग देने पर मिलता है। यह बहुत बड़ी समष्टि से स्वतंत्र यादृच्छिक नमूना लेने पर लागू सामान्य सन्निकटन है। नमूना छोटा हो या अनुपात 0% या 100% के करीब हो, तो यह सन्निकटन कम सटीक होता है। इसका अर्थ है कि इसी तरह सर्वेक्षण दोहराकर बनाए गए अंतरालों में से लगभग 95% वास्तविक अनुपात को समाहित करेंगे; इसका अर्थ यह नहीं कि इस विशेष अंतराल में वास्तविक अनुपात होने की प्रायिकता 95% है। नमूना बढ़ाने से भी प्रतिक्रिया पक्षपात या सर्वेक्षण से छूटे समूहों की समस्या हल नहीं होती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NIST: अनुपात का विश्वास अंतराल और सामान्य सन्निकटन
जीवन और सामान्य ज्ञान · फोटोग्राफी का दृश्य कोण
एक ही स्थान से,
कितना चौड़ा दृश्य आएगा?
सेंसर की चौड़ाई और लेंस की फोकस दूरी बदलें।
क्षैतिज दृश्य कोण और विषय की दूरी पर चित्र में आने वाली चौड़ाई की तुलना करें।
दृश्य कोण चित्र में आने वाली दिशाओं का कोण है, जबकि चित्र में आने वाली चौड़ाई चुनी गई दूरी के समतल पर दिखाई देने वाली क्षैतिज लंबाई है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बदलने पर
कैमरे का स्थान और सेंसर समान हों, तो फोकस दूरी बढ़ने पर कम चौड़ा दृश्य आता है। सेंसर की चौड़ाई घटने पर भी दृश्य कोण संकरा होता है।
क्षैतिज दृश्य कोण = 2 × arctan(सेंसर की चौड़ाई ÷ (2 × फोकस दूरी)), चित्र में आने वाली चौड़ाई = विषय की दूरी × सेंसर की चौड़ाई ÷ फोकस दूरी। सेंसर और फोकस दूरी एक ही इकाई में रखें; दृश्य कोण को डिग्री में बदलकर दिखाया जाता है। यह सीधी रेखाओं को सीधा दिखाने वाला आदर्श पिनहोल मॉडल है, जिसमें विरूपण और फोकस समायोजन से दृश्य कोण में बदलाव शामिल नहीं हैं। विषय की दूरी इस मॉडल के प्रक्षेपण केंद्र से मापी जाती है, वास्तविक लेंस बैरल के सामने से नहीं। उसी स्थान पर लेंस बदलने से दृश्य कोण बदलता है; आगे और पीछे की वस्तुओं के सापेक्ष आकार बदलने वाला परिप्रेक्ष्य परिवर्तन कैमरे का स्थान बदलने पर होता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Edmund Optics: फोकस दूरी और दृश्य कोण
IT · शर्तें जोड़ने का तर्क
दो शर्तें जोड़ने पर,
परिणाम कैसे बदलेगा?
केवल एक इनपुट चालू करने पर क्या परिणाम भी चालू होगा?
दो शर्तें और उन्हें जोड़ने का नियम बदलकर सूचनाओं, खोज और प्रोग्राम के निर्णय का सिद्धांत समझें।
0 = बंद · असत्य / 1 = चालू · सत्य
OR में दोनों सत्य होने पर भी परिणाम सत्य होता है। NOT केवल A को उलटता है, इसलिए B का उपयोग नहीं करता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद संयोजन करने पर
शर्तें समान होने पर भी परिणाम इस पर निर्भर करता है कि AND, OR, XOR या NOT में से कौन-सा नियम इस्तेमाल किया गया है।
यह केवल दो मानों, 0 और 1, का उपयोग करने वाला तार्किक मॉडल है। AND तब सत्य होता है जब A और B दोनों 1 हों, OR तब जब कम से कम एक 1 हो, और XOR तब 1 होता है जब दोनों अलग हों। NOT में A के 0 होने पर परिणाम 1 और A के 1 होने पर 0 होता है। यह वास्तविक परिपथ का वोल्टेज या संचालन समय पुनरुत्पादित किए बिना शर्तों पर निर्णय लेने की संरचना दिखाता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: शर्तें और तार्किक संक्रियाएँ · Analog Devices: XOR तर्क
रसायन विज्ञान · निरंतर चलता साम्य
कोई बदलाव न हो,
तो क्या अभिक्रिया भी रुक जाती है?
A और B के एक-दूसरे में बदलने की दरें तय करें और समय बदलें।
देखें कि हर पदार्थ की मात्रा बदलना बंद होने पर भी क्या दोनों दिशाओं में रूपांतरण जारी रहता है।
आरंभ में A 80 और B 20 हैं, और कुल हमेशा 100 रहता है। यहाँ बदलाव न होने का अर्थ A और B की मात्राएँ बराबर होना नहीं, बल्कि प्रत्येक की मात्रा समय के साथ न बदलना है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद समय बदलने पर
साम्य में A और B की मात्राएँ बराबर होना आवश्यक नहीं है। दोनों दिशाओं की रूपांतरण दरें बराबर होने से प्रत्येक की मात्रा बदलना बंद हो जाती है।
यह बंद काल्पनिक मॉडल है, जिसमें A ↔ B का रूपांतरण 1 : 1 के अनुपात में होता है और रूपांतरण दर = प्रत्येक पदार्थ की मात्रा × रूपांतरण गुणांक। गुणांक स्थिर हैं और कुल मात्रा 100 रहती है। साम्य में B की मात्रा = 100 × अग्र दिशा का गुणांक ÷ (अग्र दिशा का गुणांक + विपरीत दिशा का गुणांक)। दोनों दिशाओं में रूपांतरण जारी रहता है, लेकिन शुद्ध परिवर्तन 0 के करीब पहुँचता है। वास्तविक पदार्थों, तापमान और अभिक्रिया के चरणों पर निर्भर जटिल दरें इसमें शामिल नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: रासायनिक साम्य और गतिशील साम्य
जीवन और पर्यावरण · खाद्य शृंखला की ऊर्जा
खाद्य शृंखला में ऊपर जाने पर,
ऊर्जा कहाँ जाती है?
उत्पादकों में संचित ऊर्जा का कितना भाग अगले स्तर तक पहुँचता है?
ऊर्जा हस्तांतरण प्रतिशत और पोषण स्तर बदलकर ऊर्जा पिरामिड की तुलना करें।
चित्र ऊर्जा की तुलना करता है, जीवों की संख्या या शरीर के भार की नहीं। हस्तांतरण प्रतिशत सभी स्तरों पर समान माना गया है; वास्तविक पारितंत्रों में यह हमेशा 10% तय नहीं होता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद स्तर ऊपर बढ़ाने पर
हर स्तर पर 10% हस्तांतरित हो, तो दो स्तर ऊपर प्रारंभिक ऊर्जा का 1% पहुँचता है।
चुने गए स्तर की ऊर्जा = उत्पादकों की ऊर्जा × (हस्तांतरण प्रतिशत ÷ 100)स्तरों की संख्या होता है। हस्तांतरित न हुई ऊर्जा जैविक क्रियाओं में ऊष्मा में बदलती है या न खाए गए भागों, मल और मृत शरीरों आदि के माध्यम से दूसरे मार्गों पर जाती है। इसका अर्थ ऊर्जा का गायब होना नहीं है। पारितंत्र में पोषक तत्व चक्रण करते हैं, लेकिन ऊर्जा प्रवेश करती है, स्थानांतरित होती है और अंततः ऊष्मा के रूप में आसपास फैल जाती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: पारितंत्र में ऊर्जा का प्रवाह
अर्थव्यवस्था और समाज · श्रम विभाजन और तुलनात्मक लाभ
दोनों कामों में तेज व्यक्ति के लिए भी,
क्या काम बाँटने से फर्क पड़ेगा?
दो व्यक्ति प्रत्येक 8 घंटे तक काल्पनिक उत्पाद X और Y बनाते हैं।
हर व्यक्ति का समय आवंटन बदलकर देखें कि क्या आधा-आधा समय बाँटने से अधिक उत्पादन हो सकता है।
| व्यक्ति | X | Y |
|---|---|---|
| A | 4 इकाइयाँ | 2 इकाइयाँ |
| B | 1 इकाई | 1 इकाई |
शेष समय Y बनाने में लगता है। तुलना का आधार प्रारंभिक आवंटन पर स्थिर है, जिसमें दोनों व्यक्ति X और Y पर 50% समय लगाते हैं (X 20, Y 12)।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद काम बाँटने पर
A दोनों उत्पाद अधिक तेजी से बनाता है, लेकिन X बनाने के लिए A को कम Y का त्याग करना पड़ता है।
X की 1 इकाई बनाने के लिए A को Y की 0.5 इकाई और B को 1 इकाई छोड़नी पड़ती है। जिसकी अवसर लागत कम होती है, उसे X में तुलनात्मक लाभ होता है। A का X पर समय 75% और B का 0% होने पर X 24 और Y 12 बनते हैं, यानी शुरुआत से X की 4 इकाइयाँ अधिक। यह काल्पनिक उदाहरण उत्पादन को कार्य समय के समानुपाती मानता है और गुणवत्ता, परिवहन तथा समन्वय लागतों को शामिल नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: निरपेक्ष लाभ और तुलनात्मक लाभ
जीव विज्ञान व पर्यावरण · प्राकृतिक चयन
पर्यावरण समान होने पर भी,
लक्षणों के अनुपात बदलते हैं।
अपने जैसे लक्षणों की प्रतिलिपि बनाने वाले दो प्रकारों A और B की तुलना करें।
अगली पीढ़ी में योगदान और पीढ़ियों की संख्या बदलकर अनुपात में बदलाव देखें।
शेष B प्रकार है। A और B के प्रतिशतों का योग हमेशा 100% होता है।
गुणांक दिए गए पर्यावरण में जीवित रहने और प्रजनन के माध्यम से अगली पीढ़ी में योगदान दर्शाता है। गुणांक 1.1 और 1 होने पर A, B से 10% अधिक योगदान देता है। इसका अर्थ यह नहीं कि वह लक्षण अपने आप में हमेशा बेहतर है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद पीढ़ियाँ आगे बढ़ाने पर
अगली पीढ़ी में अधिक योगदान देने वाले प्रकार का जनसंख्या में अनुपात पीढ़ियों के साथ बढ़ता है।
यदि A का प्रारंभिक अनुपात p₀(0~1), दोनों योगदान गुणांक wA·wB और पीढ़ियों की संख्या g हो, तो A का अनुपात p₀ × wAg ÷ [p₀ × wAg + (1 − p₀) × wBg] होता है। यह शिक्षण मॉडल मानता है कि दोनों प्रकार अलैंगिक प्रजनन से अपने लक्षण ज्यों के त्यों आगे देते हैं और पर्यावरण तथा गुणांक स्थिर रहते हैं। यह जीनप्ररूपों के संकरण के मॉडल से अलग है और उत्परिवर्तन, प्रवासन तथा संयोगजन्य आनुवंशिक विचलन को शामिल नहीं करता। यह केवल अनुपातों की तुलना करता है, वास्तविक जीवसंख्या का पूर्वानुमान नहीं। जैव विकास का कोई पूर्वनिर्धारित लक्ष्य या अंतिम बिंदु नहीं होता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · UC Berkeley: प्राकृतिक चयन का अनुपात मॉडल (PDF) · OpenStax: पर्यावरण और सापेक्ष अनुकूलन क्षमता
अर्थव्यवस्था व समाज · कीमत लोच
कीमत घटाने पर भी,
बिक्री राजस्व घट सकता है।
काल्पनिक उत्पाद की कीमत और माँग की प्रतिक्रिया का परिमाण बदलें।
कीमत 5 इकाइयाँ घटाने पर बिक्री की मात्रा और राजस्व साथ-साथ कैसे बदलेंगे?
P कीमत और Q बिक्री की मात्रा है। दोनों माँग समीकरण काल्पनिक संबंध हैं।
छूट हमेशा 5 कीमत इकाइयों की होती है। राजस्व = कीमत × बिक्री की मात्रा; यह लागत घटाने के बाद मिलने वाले लाभ से अलग है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद छूट देने पर
कीमत घटाने पर भी, यदि बिक्री की मात्रा पर्याप्त न बढ़े, तो राजस्व घट जाता है।
चाप लोच बिक्री मात्रा की परिवर्तन दर को कीमत की परिवर्तन दर के निरपेक्ष मान से भाग देने पर मिलती है। प्रत्येक परिवर्तन दर का आधार छूट से पहले और बाद के मानों का औसत है। यह 1 से कम हो, तो छूट के बाद राजस्व घटता है; 1 हो, तो समान रहता है; और 1 से अधिक हो, तो बढ़ता है। कीमत 27.5 और Q = 100 − 2P चुनने पर छूट से पहले और बाद का राजस्व समान, 1,237.5 होता है। यह रैखिक काल्पनिक माँग मॉडल लागत, प्रतिस्पर्धा, मौसम और उपभोक्ताओं के बीच अंतर को शामिल नहीं करता। यह छूट से पहले और बाद के अंतराल की तुलना करता है, वास्तविक उत्पाद की माँग या कमाई का पूर्वानुमान नहीं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: मध्यबिंदु विधि और कीमत लोच · लोच और राजस्व का संबंध
पृथ्वी और अंतरिक्ष · हवा का भार
जितना ऊपर जाएँ,
ऊपर बची हवा उतनी घटती है।
पूरी वायु परत का तापमान समान मानकर ऊँचाई बदलें।
समुद्र तल को 100% मानें, तो ऊँचाई पर वायुदाब कितना बदलेगा?
यह किसी विशेष ऊँचाई का वास्तविक तापमान नहीं, बल्कि पूरी वायु परत पर लागू मॉडल का तापमान है।
वायुदाब ऊपर स्थित वायु परत के भार से जुड़ा है। गर्म वायु परत अधिक फैलती है, इसलिए समान ऊँचाई पर वायुदाब का ह्रास धीमा होता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद ऊँचाई बदलने पर
ऊँचाई बढ़ने पर ऊपर स्थित हवा का भार घटता है, जिससे वायुदाब कम होता है।
यह वायुदाब P = P₀ × exp[−Mgh ÷ (RT)] वाला समतापी आदर्श वायुमंडलीय मॉडल है। समुद्र तल का वायुदाब P₀ 1,013.25hPa, हवा का मोलर द्रव्यमान M 0.0289644kg/mol, गुरुत्वीय त्वरण g 9.80665m/s² और गैस स्थिरांक R लगभग 8.31446J/(mol·K) है; h ऊँचाई (m) और T सेल्सियस तापमान + 273.15(K) है। पूरी वायु परत का तापमान, संघटन और गुरुत्व स्थिर माने गए हैं तथा जलवाष्प और मौसम के बदलाव शामिल नहीं हैं। यह ऊँचाई के साथ तापमान घटने वाली मानक वायुमंडलीय गणना से अलग है और इसे वास्तविक वायुदाब पूर्वानुमान या ऊँचाई मापन के रूप में इस्तेमाल नहीं कर सकते।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NASA: गुरुत्व के अधीन आदर्श गैस और समतापी सन्निकटन
जीवन और सामान्य ज्ञान · संगीत और कंपन
एक सप्तक ऊपर जाने पर,
कंपन दोगुने तेज होते हैं।
तय करें कि आधार स्वर से कितने अर्धस्वर ऊपर या नीचे जाना है।
समान समय में बनी तरंगों की संख्या और दोनों स्वरों की आवृत्तियों की तुलना करें।
दबाने पर पहले आधार स्वर, फिर चुना गया स्वर थोड़ी देर बजेगा।
Hz, 1 सेकंड में दोहराए जाने वाले कंपनों की संख्या है। तरंगों का परिमाण (आयाम) समान रखा जाता है। तारत्व और ध्वनि की प्रबलता अलग गुण हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद स्वर बदलने पर
एक सप्तक में 12 अर्धस्वर चरण होते हैं। 12 चरण ऊपर जाने पर आवृत्ति दोगुनी और नीचे जाने पर आधी हो जाती है।
12-स्वर समस्वरित प्रणाली में आवृत्ति = आधार आवृत्ति × 2(अर्धस्वरों की संख्या ÷ 12) होती है। हर अर्धस्वर चरण पर लगभग 1.05946 से गुणा होता है, इसलिए समान चरणों का विस्थापन होने पर भी Hz में अंतर आधार स्वर के अनुसार बदलता है। बटन दबाने पर ही समान आयाम वाली दो ज्या तरंगों के स्वर बजते हैं; वास्तविक वाद्ययंत्रों की ध्वनि गुणवत्ता, अधिस्वर और स्वर मिलाने के अंतर शामिल नहीं हैं। आवृत्ति अनुपात दोगुना होने का अर्थ महसूस होने वाली ध्वनि की प्रबलता दोगुनी होना नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · UNSW: स्वर की आवृत्ति और 12-स्वर समस्वरित प्रणाली
IT · दोषरहित संपीड़न
दोहराव को समूह बनाकर सहेजें,
तो क्या आकार हमेशा घटेगा?
एक ही अक्षर लगातार आए, तो उसे ‘गिनती + अक्षर’ के रूप में समूह बनाकर सहेजते हैं।
अक्षरों का क्रम और दोहराव की संख्या बदलकर मूल पाठ तथा संपीड़ित परिणाम की तुलना करें।
मूल पाठ का हर अक्षर 1 बाइट में, और संपीड़ित समूह गिनती के 1 बाइट + अक्षर के 1 बाइट में सहेजा जाता है। बचत प्रतिशत ऋणात्मक हो, तो संपीड़ित आकार बड़ा है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद दोहराव के समूह बनाने पर
एक ही अक्षर का लगातार दोहराव जितना लंबा हो, उतने कम समूहों में मूल पाठ सहेजा जा सकता है।
यह विधि रन-लेंथ एन्कोडिंग (RLE) है। उदाहरण के लिए, AAAAAAAA को ‘8, A’ के रूप में सहेजकर, फिर A को 8 बार लिखने से मूल पाठ वापस मिलता है। A और B हर बार बारी-बारी आएँ, तो हर अक्षर पर 2 बाइट लगते हैं और आकार दोगुना हो जाता है। स्क्रीन पर गिनती पढ़ने योग्य अंकों में दिखाई जाती है, लेकिन भंडारण मॉडल में संख्या के लिए 1 बाइट गिना जाता है। यह हेडर को छोड़कर A और B अक्षरों का शिक्षण मॉडल है; यह वास्तविक BMP फ़ाइल प्रारूप या सामान्य संपीड़न प्रोग्राम का पूरा पुनरुत्पादन नहीं करता। संपीड़न की प्रभावशीलता डेटा के पैटर्न पर निर्भर करती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Microsoft: लगातार दोहराव की गिनती और रंग मानों से सहेजने वाला RLE
भौतिकी · घनत्व और उत्प्लावन बल
वस्तु का भार बढ़ने पर भी,
तैरते समय डूबा अनुपात समान रह सकता है।
वस्तु का घनत्व, आयतन और तरल का प्रकार बदलें।
नीचे खींचने वाले भार और तरल के ऊपर धकेलने वाले बल की तुलना करें।
वस्तु का घनत्व तरल से अधिक हो, तो पूरी तरह डूबने पर भी नीचे की ओर बल बचता है। घनत्व समान होने पर पूरी तरह डूबी अवस्था में भार और उत्प्लावन बल बराबर होते हैं; इसे उदासीन उत्प्लावन कहते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद वस्तु तैराने पर
आयतन बढ़ने पर भार और अधिकतम उत्प्लावन बल दोनों बढ़ते हैं। तैरते समय डूबा अनुपात दोनों घनत्वों के अनुपात से तय होता है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है। वस्तु तैर रही हो, तो उत्प्लावन बल = भार, इसलिए डूबे आयतन का अनुपात = वस्तु का घनत्व ÷ तरल का घनत्व। यह अनुपात 1 से बड़ा हो, तो वस्तु सतह पर नहीं तैर सकती और डूबा अनुपात 100% दिखाया जाता है। पूरी वस्तु का घनत्व एकसमान और उसे असंपीड्य माना गया है; स्थिर तरल में पृष्ठ तनाव, तरल प्रतिरोध और तल से संपर्क शामिल नहीं हैं। अधोमुखी बल पूरी तरह डूबने के बाद भार में से उत्प्लावन बल घटाने पर मिलता है; यह डूबने की चाल नहीं है। N बल की इकाई है और गुरुत्वीय त्वरण 9.80665m/s² लिया जाता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: आर्किमिडीज का सिद्धांत
गणित व सांख्यिकी · जन्मदिन समस्या
केवल 23 लोग इकट्ठे हों,
तो समान जन्मदिन होने की प्रायिकता क्या है?
लोगों की संख्या बढ़ाकर तुलना योग्य जोड़े गिनें।
किन्हीं भी लोगों के जन्मदिन मिलने और किसी निश्चित तारीख पर जन्मे व्यक्ति के होने की तुलना करें।
‘निश्चित तारीख’ लोगों के जन्मदिन देखने से पहले तय किया गया एक दिन है। इस मॉडल में कोई भी तारीख हो, प्रायिकता समान है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद लोगों की संख्या बढ़ाने पर
23 लोगों में तुलना योग्य 253 जोड़े होते हैं। किन्हीं भी दो लोगों का जन्मदिन समान होने की संभावना, किसी निश्चित तारीख पर जन्मदिन होने से बहुत अधिक होती है।
जन्मदिन मिलने की प्रायिकता निकालने के लिए 1 में से ‘सभी के जन्मदिन अलग होने की प्रायिकता’ घटाते हैं। n लोग हों, तो तुलना योग्य जोड़ों की संख्या n(n − 1) ÷ 2 है। सभी जोड़ों में जन्मदिन मिलने की घटनाओं को परस्पर स्वतंत्र नहीं मान सकते और जोड़ों की संख्या को 1/365 से गुणा करके कुल प्रायिकता भी नहीं निकाल सकते। जन्मदिनों को 365 दिनों में समान रूप से वितरित और व्यक्तियों के बीच स्वतंत्र माना गया है; अधिवर्ष का अतिरिक्त दिन और वास्तविक जन्मतिथियों का मौसमी असमान वितरण शामिल नहीं है। इसका अर्थ कम लोगों में भी संभावना अधिक होना है, जन्मदिन अनिवार्य रूप से मिलना नहीं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · UC Berkeley: जन्मदिन समस्या और पूरक घटना (PDF)
पृथ्वी व अंतरिक्ष · आर्द्रता और ओसांक
हवा ठंडी करने पर,
आर्द्रता कैसे बदलेगी?
प्रारंभिक तापमान और सापेक्ष आर्द्रता तय करके हवा ठंडी करें।
जलवाष्प बढ़ाए बिना भी आर्द्रता बढ़ती है और ओसांक से नीचे पानी की बूँदें बनती हैं।
वायुदाब स्थिर रखा जाता है और जलवाष्प नहीं जोड़ी जाती। संतृप्ति तक पहुँचने से पहले जलवाष्प दाब स्थिर मानकर तुलना की जाती है। यह ठंडे गिलास के आसपास हवा ठंडी होने का सिद्धांत दिखाने वाला मॉडल है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद हवा ठंडी करने पर
तापमान घटने पर संतृप्त जलवाष्प दाब घटता है, जिससे सापेक्ष आर्द्रता बढ़ती है। ओसांक से नीचे कुछ जलवाष्प पानी में संघनित होती है।
सापेक्ष आर्द्रता = वर्तमान जलवाष्प दाब ÷ उस तापमान का संतृप्त जलवाष्प दाब × 100%। संतृप्त जलवाष्प दाब की गणना पानी की सतह के लिए Magnus सन्निकटन eₛ(T) = 6.112 × exp[17.62T ÷ (243.12 + T)]hPa से होती है। ओसांक वह तापमान है, जहाँ प्रारंभिक हवा का जलवाष्प दाब संतृप्त जलवाष्प दाब के बराबर होता है। लक्ष्य तापमान इससे कम हो, तो अतिरिक्त जलवाष्प संघनित होकर जलवाष्प दाब को संतृप्ति मान तक घटाती है और सापेक्ष आर्द्रता 100% दिखाई जाती है। ‘संतृप्ति से अधिक भाग’ संघनन से पहले के जलवाष्प दाब और लक्ष्य तापमान के संतृप्त जलवाष्प दाब का अंतर है; यह बूँदों का द्रव्यमान या संघनन दर नहीं है। शून्य से नीचे का ओसांक भी तरल पानी के सापेक्ष दिखाया जाता है और तुषारांक से अलग है। यह साम्य मॉडल अतिसंतृप्ति, वायुदाब में बदलाव और ऊष्मा विनिमय की दर को शामिल नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NPL: ओसांक और सापेक्ष आर्द्रता
रसायन विज्ञान · आणविक आकृति और ध्रुवता
ध्रुवीय बंध होने पर भी,
दिशा के अनुसार प्रभाव निरस्त हो सकते हैं।
केंद्रीय परमाणु से जुड़े दो समान बंधों के बीच का कोण बदलें।
हर बंध की ध्रुवता दिखाने वाले तीरों को जोड़ने पर क्या बचेगा?
यह इलेक्ट्रॉन वितरण के असमान होने की मात्रा बताता है। यह बंध तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा या बंध की मजबूती नहीं है।
समान परिमाण के तीर केंद्र से बाहरी परमाणुओं की ओर रखे जाते हैं। 180° पर उनकी दिशाएँ विपरीत होने से दोनों तीर एक-दूसरे को निरस्त करते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
तीरों को स्वयं जोड़कर देखा
ध्रुवीय बंध होने पर भी, यदि वे सममित रूप से विपरीत दिशाओं में हों, तो योग 0 हो सकता है।
समान परिमाण m वाले दो बंध द्विध्रुवों के बीच का कोण θ हो, तो परिणामी सदिश का परिमाण 2m × cos(θ/2) होता है। अणु की ध्रुवता समझने के लिए बंध कोण और दिशा दोनों देखना आवश्यक है। यह गतिविधि केवल दो समान बंधों के सदिश जोड़ने वाला ज्यामितीय मॉडल है; यह वास्तविक पूरे अणु का इलेक्ट्रॉन वितरण या द्विध्रुव आघूर्ण नहीं निकालता। 104.5° मुड़ी हुई आकृति की तुलना का उदाहरण है और दिखाई गई सापेक्ष इकाइयाँ जल के मापे गए मान या Debye इकाइयाँ नहीं हैं। वास्तविक बंध कोण इलेक्ट्रॉन युग्मों की व्यवस्था आदि से निर्धारित होता है और स्लाइडर की तरह मनमाने ढंग से नहीं बदलता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: आणविक संरचना और ध्रुवता
जीवन और पर्यावरण · एंजाइम का कार्यस्थल
पदार्थ लगातार बढ़ाने पर भी,
गति की एक सीमा होती है।
एंजाइम द्वारा संसाधित किए जाने वाले पदार्थ, यानी सब्सट्रेट, की सांद्रता बढ़ाएँ।
एंजाइम की मात्रा भी बदलने पर अधिकतम गति और उसकी आधी गति तक पहुँचाने वाली सांद्रता कैसे बदलेंगी?
mM का अर्थ mmol/L है, यानी प्रति 1L विलयन में सब्सट्रेट की मात्रा। एक ही प्रकार के एंजाइम और समान तापमान व pH पर अभिक्रिया शुरू होने के तुरंत बाद की गति की तुलना की जाती है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
पदार्थ स्वयं बढ़ाकर देखा
जब अधिकांश एंजाइम सब्सट्रेट को संसाधित कर रहे हों, तो और पदार्थ डालने पर गति थोड़ी ही बढ़ती है। एंजाइम की मात्रा बढ़ाने पर अधिकतम गति भी बढ़ती है।
Michaelis–Menten मॉडल की प्रारंभिक गति v = Vₘₐₓ × [S] ÷ (Kₘ + [S]) का उपयोग होता है। सब्सट्रेट सांद्रता [S] और Kₘ की इकाई mM है तथा Kₘ को 2mM पर स्थिर रखा गया है। अधिकतम गति Vₘₐₓ को एंजाइम की सापेक्ष मात्रा × 10 के रूप में काल्पनिक गति इकाइयों में निर्धारित किया गया है। सब्सट्रेट सांद्रता Kₘ के बराबर होने पर, एंजाइम की मात्रा चाहे जो हो, गति अधिकतम की आधी होती है। माना गया है कि सब्सट्रेट एंजाइम से पर्याप्त अधिक है और अभिक्रिया सरल संतृप्ति व्यवहार का पालन करती है। अवरोधन, सहकारिता, समय के साथ पदार्थ की कमी और एंजाइम के विकृतीकरण को शामिल नहीं किया गया है। यह एंजाइम द्वारा बने कुल उत्पाद या किसी विशिष्ट प्रयोग की वास्तविक गति का पूर्वानुमान लगाने वाला मॉडल नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: एंजाइम उत्प्रेरण और अभिक्रिया गति (PDF)
अर्थव्यवस्था व समाज · चुनाव और सहयोग
हर व्यक्ति के लिए लाभकारी चुनाव,
मिलकर सबसे अच्छा नहीं होता।
दो व्यक्ति एक-एक बार, दूसरे का चुनाव जाने बिना निर्णय लेते हैं।
सहयोग और विश्वासघात के संयोजन बदलकर दोनों के अलग-अलग अंकों और उनके योग की तुलना करें।
अधिक अंक अपने लिए बेहतर हैं। दोनों सहयोग करें तो प्रत्येक को 3 अंक, दोनों विश्वासघात करें तो प्रत्येक को 1 अंक, और केवल एक विश्वासघात करे तो उसे 5 अंक तथा सहयोग करने वाले को 0 अंक मिलते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
दोनों के चुनाव स्वयं बदलकर देखे
दूसरा चाहे कुछ भी चुने, विश्वासघात करने पर व्यक्ति के अंक अधिक होते हैं। लेकिन दोनों के विश्वासघात करने पर कुल अंक, दोनों के सहयोग करने की तुलना में कम होते हैं।
अंकों की इस संरचना को कैदी की दुविधा कहते हैं। निर्णय केवल एक बार और एक साथ लिए जाते हैं; चुनाव से पहले संवाद या बाध्यकारी समझौता नहीं होता। केवल अपने अंकों पर विचार करने पर दोनों का विश्वासघात चुनना नैश संतुलन है। संतुलन का अर्थ है कि कोई भी अकेले अपना चुनाव बदलकर लाभ नहीं पा सकता; इसका अर्थ सभी के लिए सबसे अच्छा परिणाम नहीं है। अंक काल्पनिक पुरस्कार हैं, कारावास की अवधि नहीं। बार-बार होने वाले संबंधों में भरोसा, प्रतिशोध, बातचीत या दूसरों का ध्यान रखने की प्रेरणा शामिल करने पर परिणाम बदल सकते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: कैदी की दुविधा और नैश संतुलन (PDF)
जीवन व सामान्य ज्ञान · कतारें
भीड़ बस थोड़ी बढ़ी,
पर प्रतीक्षा बहुत लंबी हो गई।
एक काउंटर पर ग्राहकों के आने और सेवा देने की दर बदलें।
जब काउंटर लगभग बिना रुके काम करता है, तो औसत प्रतीक्षा समय कितना बढ़ेगा?
इस मॉडल में आगमन के बीच का अंतराल और हर व्यक्ति की सेवा का समय हर बार बदलता है। 6 व्यक्ति/मिनट की सेवा दर का अर्थ औसत सेवा समय 10 सेकंड है। औसत संख्या 0.5 व्यक्ति का अर्थ आधा व्यक्ति होना नहीं, बल्कि अलग-अलग समयों पर प्रतीक्षारत व्यक्तियों की संख्या का औसत है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
कतार की स्थितियाँ स्वयं बदलकर देखीं
आगमन दर सेवा दर के जितनी करीब आती है, जमा हुए ग्राहकों को निपटाने की गुंजाइश उतनी घटती है और प्रतीक्षा समय तेजी से बढ़ता है।
यह एक काउंटर पर पहले आए व्यक्ति को पहले सेवा देने वाला M/M/1 स्थिर अवस्था मॉडल है। माना गया है कि आगमन एक स्वतंत्र Poisson प्रक्रिया है, सेवा समय स्वतंत्र चरघातांकी वितरण का पालन करते हैं और प्रतीक्षा के लिए पर्याप्त जगह है। औसत आगमन दर λ और औसत सेवा दर μ की इकाई व्यक्ति/मिनट होने पर, प्रतीक्षा समय = 60λ ÷ [μ(μ − λ)] सेकंड, कुल ठहराव समय = 60 ÷ (μ − λ) सेकंड और प्रतीक्षारत संख्या = λ² ÷ [μ(μ − λ)] व्यक्ति है। केवल λ < μ होने पर ही परिमित स्थिर अवस्था औसत मौजूद होता है और तब λ/μ काउंटर का उपयोग अनुपात है। λ ≥ μ होने पर λ/μ सेवा क्षमता के सापेक्ष माँग भार का अनुपात है, वास्तविक उपयोग अनुपात नहीं। इसका अर्थ है कि स्थिर औसत नहीं दिखाया जा सकता, यह नहीं कि हर ग्राहक अनिवार्य रूप से अनंत समय प्रतीक्षा करेगा। ये मान किसी क्षण की कतार की लंबाई, आरक्षण, कई काउंटर, सेवा के दौरान छोड़कर जाने या वास्तविक दुकान की भीड़ का पूर्वानुमान नहीं लगाते।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: M/M/1 कतार मॉडल (PDF)
IT · त्रुटि का पता लगाना
एक जाँच बिट से,
क्या त्रुटि पहचान सकते हैं?
4 डेटा बिटों के साथ एक जाँच बिट जोड़कर भेजते हैं।
संचरण के दौरान बिट पलटने पर क्या प्राप्तकर्ता त्रुटि पहचान सकता है?
बिट पलटने पर 0 से 1 और 1 से 0 हो जाता है। एक ही स्थान को दो बार पलटने पर मूल मान लौट आता है। जाँच में केवल प्राप्त पाँच बिटों का उपयोग होता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
बिट स्वयं पलटकर देखे
सम पैरिटी में जाँच बिट इस तरह जोड़ा जाता है कि 1 की संख्या सम हो। प्राप्त बिटों में 1 की संख्या विषम होने पर त्रुटि का पता चलता है।
चार डेटा बिट बाएँ से क्रमशः 8·4·2·1 के मान दर्शाते हैं और सबसे दाएँ जाँच बिट को डेटा के मान में शामिल नहीं किया जाता। भेजे गए पाँच बिटों में अंततः विषम संख्या में बिट बदलें तो पता चलता है, लेकिन सम संख्या में बदलें तो त्रुटि छूट सकती है। ‘पता नहीं चला’ डेटा के सही होने की गारंटी नहीं है। केवल जाँच बिट बदलने पर भी त्रुटि का पता चलता है, जबकि डेटा का मान वही रह सकता है। अकेले इस विधि से यह पता नहीं लगाया जा सकता कि कौन-सा बिट गलत है, न ही मूल डेटा बहाल किया जा सकता है। यह गतिविधि अधिकतम दो बिट पलटावों की तुलना करने वाला मॉडल है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: डिजिटल सूचना और पैरिटी जाँच
जीव विज्ञान व पर्यावरण · परासरण
पानी पार करने वाली झिल्ली में,
सांद्रताएँ अलग हों तो क्या होगा?
केवल पानी पार करने वाली झिल्ली के दोनों ओर विलेय की सांद्रता बदलें।
शुरुआती क्षण में, जब दोनों ओर जलदाब समान हो, पानी का शुद्ध प्रवाह किस ओर होगा?
mM प्रति 1L विलयन में mmol की सांद्रता है। इस मॉडल का विलेय पानी में घुलने पर आयनों में नहीं टूटता और झिल्ली पार नहीं करता। पानी दोनों दिशाओं में जाता है और तीर दोनों दिशाओं को मिलाकर प्राप्त शुद्ध प्रवाह दर्शाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
झिल्ली के दोनों ओर की स्थितियाँ स्वयं बदलकर देखीं
दोनों ओर जलदाब समान होने पर पानी का शुद्ध प्रवाह कम विलेय सांद्रता वाली ओर से अधिक सांद्रता वाली ओर होता है। सांद्रताएँ समान होने पर इस अंतर के कारण कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता।
तनु आदर्श अनइलेक्ट्रोलाइट विलयन का परासरण दाब π = CRT है। C की इकाई mol/m³ है, R लगभग 8.31446J/(mol·K) है और T सेल्सियस तापमान + 273.15(K) है। संख्यात्मक रूप से 1mM = 1mol/m³ होने से प्रदर्शित सांद्रता × R × T ÷ 1,000 द्वारा kPa प्राप्त होता है। भीतर − बाहर का परासरण दाब अंतर, पानी का शुद्ध प्रवाह रोकने के लिए आवश्यक भीतर − बाहर का जलदाब अंतर है; इसका अर्थ यह नहीं कि यह जलदाब अंतर शुरू से वास्तव में मौजूद है। केवल शुरुआती सांद्रताओं की तुलना होती है; समय के साथ आयतन, सांद्रता या प्रवाह दर में बदलाव की गणना नहीं होती। यह वास्तविक कोशिकाओं के जटिल विलेयों, झिल्ली परिवहन या किसी विशिष्ट जीव की प्रतिक्रिया का पूर्वानुमान लगाने वाला मॉडल नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: विलयन का परासरण दाब
गणित व सांख्यिकी · समूह और समग्र
हर समूह में आगे होने पर भी,
कुल परिणाम उलट सकता है।
मान लें कि दो विधियों A और B से प्रत्येक में 100 प्रश्न हल किए जाते हैं।
केवल आसान और कठिन प्रश्नों का अनुपात बदलने पर क्या कुल सफलता दर भी समान रहेगी?
आसान प्रश्नों की सफलता दर A 90%·B 80% और कठिन प्रश्नों की A 40%·B 30% पर स्थिर है। शेष प्रश्न कठिन हैं। %p दो प्रतिशतों के बीच का अंतर है।
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प्रश्नों की संरचना स्वयं बदलकर देखी
कुल सफलता दर, प्रश्नों की संख्या से भारित समूहवार सफलता दरों का औसत है। आसान प्रश्नों का अनुपात अलग होने पर हर समूह में आगे रहने वाला A कुल परिणाम में पीछे रह सकता है।
ऐसे उलटाव को सिम्पसन का विरोधाभास कहते हैं। आसान प्रश्नों के अनुपात a·b, 0~1 के बीच हों, तो A का कुल = 90a + 40(1 − a) और B का कुल = 80b + 30(1 − b) है। समान अनुपात लागू करने पर A हमेशा 10%p आगे होता है, लेकिन A 10%·B 90% होने पर कुल सफलता दर A 45%·B 75% हो जाती है। हर कठिनाई स्तर का अंतर और कुल अंतर अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं। यह दोनों विधियों को अलग संरचनाएँ देने वाला काल्पनिक डेटा है; केवल इससे तय नहीं किया जा सकता कि वास्तव में कौन-सी विधि सफलता का कारण है। वास्तविक तुलना में समूह कैसे बनाए गए और संरचना में अंतर क्यों आया, यह भी देखना चाहिए।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Williams College: भारित औसत और सिम्पसन का विरोधाभास (PDF)
जीवन व सामान्य ज्ञान · ऊष्मा पंप
बिजली से ऊष्मा स्थानांतरित करने पर,
बिजली से अधिक ऊष्मा मिलती है।
यह स्थिर तापमान वाले दो स्थानों के बीच ऊष्मा स्थानांतरित करने वाला आदर्श ऊष्मा पंप है।
दोनों ओर के तापमान और दी गई ऊर्जा बदलकर स्थानांतरित ऊष्मा तथा ऊर्जा के योग की तुलना करें।
तापन निष्पादन गुणांक पहुँचाई गई ऊष्मा ÷ दी गई ऊर्जा है, और शीतलन निष्पादन गुणांक ली गई ऊष्मा ÷ दी गई ऊर्जा है। kWh ऊर्जा की मात्रा है; यह विद्युत शक्ति या संचालन समय को अलग से निर्धारित नहीं करता।
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ऊष्मा का स्थानांतरण स्वयं देखकर समझा
पहुँचाई गई ऊष्मा में दी गई ऊर्जा और निम्न तापमान वाली ओर से ली गई ऊष्मा दोनों शामिल हैं। विद्युत ऊर्जा से अधिक ऊष्मा पहुँचाने पर भी नई ऊर्जा नहीं बनाई जाती।
उत्क्रमणीय Carnot ऊष्मा पंप की आदर्श सीमा है: तापन COP = Tउच्च ÷ (Tउच्च − Tनिम्न), शीतलन COP = Tनिम्न ÷ (Tउच्च − Tनिम्न)। तापमान की गणना सेल्सियस में 273.15 जोड़कर प्राप्त परम तापमान K से करनी चाहिए। उच्च तापमान वाली ओर दी गई ऊष्मा = निम्न तापमान वाली ओर से ली गई ऊष्मा + किया गया कार्य, और दोनों COP का अंतर हमेशा 1 है। माना गया है कि दोनों ओर ऐसे ऊष्मा भंडार हैं जिनका तापमान ऊष्मा के आदान-प्रदान पर भी स्थिर रहता है और पूरी विद्युत ऊर्जा कार्य में बदलती है। यह वास्तविक उपकरणों के घर्षण, संपीड़न हानि और ऊष्मा विनिमय के लिए आवश्यक तापांतर आदि को छोड़कर प्राप्त सैद्धांतिक ऊपरी सीमा है। प्रदर्शित मानों से वास्तविक एयर कंडीशनर या हीटर के प्रदर्शन या खर्च का पूर्वानुमान नहीं लगाया जा सकता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: ऊष्मागतिकी और ऊष्मा पंप के प्रमुख समीकरण
रसायन विज्ञान · विद्युत सेल और इलेक्ट्रोड
दोनों धातुएँ बदलने पर,
वोल्टेज और प्रवाह भी बदलते हैं।
ऐसे दो इलेक्ट्रोड चुनें जिनमें हर धातु अपने ही धातु आयनों के विलयन में डूबी हो।
मानक अपचयन विभवों का अंतर सेल का वोल्टेज बनाता है।
तुलना उस अभिक्रिया से की जाती है जिसमें धातु आयन 2 इलेक्ट्रॉन ग्रहण करता है: M²⁺ + 2e⁻ → M। बाएँ और दाएँ को आपस में बदलने पर वोल्टेज का परिमाण समान रहता है और इलेक्ट्रॉन प्रवाह की दिशा बदलती है।
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इलेक्ट्रोड स्वयं चुनकर देखे
कम मानक अपचयन विभव वाली ओर धातु इलेक्ट्रॉन छोड़ती है और अधिक विभव वाली ओर धातु आयन इलेक्ट्रॉन ग्रहण करते हैं। बाहरी परिपथ में इलेक्ट्रॉन ऑक्सीकरण इलेक्ट्रोड से अपचयन इलेक्ट्रोड की ओर जाते हैं।
आदर्श गैल्वानी सेल का मानक वोल्टेज, अपचयन इलेक्ट्रोड का मानक अपचयन विभव − ऑक्सीकरण इलेक्ट्रोड का मानक अपचयन विभव है। स्वतः होने वाली अभिक्रिया की दिशा चुनकर वोल्टेज का परिमाण दिखाया जाता है; समान धातु और समान आयन सक्रियता होने पर विभवांतर नहीं होता। 25°C पर शुद्ध ठोस धातुओं और प्रत्येक M²⁺ आयन की सक्रियता 1 मानकर मानक हाइड्रोजन इलेक्ट्रोड के सापेक्ष तुलना होती है। तालिका के विभव दशमलव के तीसरे स्थान तक पूर्णांकित हैं। अधिकतम विद्युत कार्य का परिमाण nFE है; n = 2mol इलेक्ट्रॉन/mol अभिक्रिया और F = 96,485.33212C/mol का उपयोग करके इसे kJ/mol में दिखाया जाता है। वास्तविक सेल में सांद्रता परिवर्तन, आंतरिक प्रतिरोध, अतिविभव और पार्श्व अभिक्रियाएँ शामिल नहीं हैं। वोल्टेज, संग्रहित आवेश की मात्रा यानी क्षमता से अलग है; केवल इससे वास्तविक आउटपुट या उपयोग अवधि नहीं जानी जा सकती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: इलेक्ट्रोड विभव और सेल वोल्टेज · मानक अर्ध-सेल विभव तालिका
भौतिकी · अपवर्तन और पूर्ण आंतरिक परावर्तन
प्रकाश सीमा पर पहुँचे तो,
क्या अभिलंब की ओर मुड़ेगा?
प्रकाश के निकलने और प्रवेश करने वाले पदार्थ चुनें और कोण बदलें।
कम अपवर्तनांक वाले माध्यम में जाते समय कभी-कभी प्रकाश सीमा पार नहीं कर पाता।
अभिलंब सीमा के लंबवत एक काल्पनिक रेखा है। कोण सीमा से नहीं, अभिलंब से मापे जाते हैं। परावर्तन होने पर परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है।
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प्रकाश की दिशा स्वयं बदलकर देखी
अधिक अपवर्तनांक वाले पदार्थ में प्रवेश करने पर प्रकाश अभिलंब की ओर मुड़ता है। कम अपवर्तनांक वाले पदार्थ में जाते समय वह अभिलंब से दूर मुड़ता है और क्रांतिक कोण से अधिक होने पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होता है।
स्नेल के नियम n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂ से अपवर्तन कोण निकाला जाता है। केवल n₁ के n₂ से बड़ा होने पर क्रांतिक कोण θc = asin(n₂/n₁) मौजूद होता है। आपतन कोण क्रांतिक कोण के बराबर होने पर अपवर्तन कोण 90° होता है, जो सीमा के साथ चलने वाली सीमांत दिशा है; पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक होना चाहिए। ‘शर्त पूरी नहीं’ का अर्थ है कि दोनों पदार्थों के अपवर्तनांकों के इस संबंध में पूर्ण आंतरिक परावर्तन संभव नहीं है। दो पारदर्शी, समरूप पदार्थों की समतल सीमा और स्थिर अपवर्तनांक माने गए हैं; वास्तविक अपवर्तनांक की तरंगदैर्ध्य और तापमान पर निर्भरता शामिल नहीं है। यह गतिविधि प्रकाश की दिशा की तुलना करती है; आंशिक परावर्तित प्रकाश की तीव्रता, ध्रुवण या अवशोषण नहीं निकालती। समान अपवर्तनांक चुनने पर प्रकाश की दिशा नहीं बदलती और सीमा पर परावर्तन भी नहीं दिखाया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: अपवर्तन और स्नेल का नियम
अर्थव्यवस्था व समाज · प्रगतिशील कर
अधिक कर दर,
केवल उस स्लैब की आय पर लगती है।
शिक्षा के लिए बनी काल्पनिक कर दर तालिका में आय धीरे-धीरे बढ़ाएँ।
स्लैब पार करने पर भी नई कर दर पूरी आय पर नहीं लगती।
पहली 200 इकाइयों पर 0%, 200 से अधिक और 400 तक के हिस्से पर 10%, 400 से अधिक और 800 तक पर 20%, तथा 800 से अधिक के हिस्से पर 30% कर है। किसी वास्तविक देश की कर दर या मुद्रा का उपयोग नहीं होता।
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आय के स्लैब स्वयं पार करके देखे
औसत कर दर पूरी आय में कर का अनुपात है, जबकि सीमांत कर दर अगली अतिरिक्त आय पर लगने वाली दर है। दोनों मान अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं।
स्लैब आधारित प्रगतिशील कर में हर स्लैब की आय का हिस्सा × उस स्लैब की कर दर जोड़ते हैं। 400 इकाई आय पर पहली 200 का कर 0 और अगली 200 का कर 20 है, यानी कुल 20 इकाइयाँ। इसके बाद जुड़ने वाले हिस्से पर 20% लगता है, इसलिए सीमा पर सीमांत कर दर ‘अगली अतिरिक्त आय’ के आधार पर दिखाई जाती है। इस मॉडल में सभी स्लैबों की कर दर 100% से कम है, इसलिए आय बढ़ने पर कर के बाद की आय भी बढ़ती है और सीमा पार करते ही घटती नहीं है। इसमें केवल काल्पनिक कर योग्य आय और कर दरें हैं; कटौतियाँ, कर क्रेडिट, कल्याण लाभ और अन्य कर शामिल नहीं हैं। यह वास्तविक कर या प्राप्त राशि निकालने का साधन नहीं, बल्कि स्लैब कराधान के सिद्धांत की तुलना करने की गतिविधि है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · IRS: कर स्लैब में आने वाले आय के हिस्से पर कर लगाने का सिद्धांत
पृथ्वी व अंतरिक्ष · भूकंपीय तरंगें
P और S तरंगों के आगमन के अंतर से,
दूरी का अनुमान लगा सकते हैं।
पहले आने वाली P तरंग और बाद में आने वाली S तरंग के बीच का समय अंतर बदलें।
यह एक ही मार्ग पर अलग-अलग गतियों से चलने वाली दो तरंगों का मॉडल है।
दोनों गतियाँ स्थिर होने पर जितना अधिक समय अंतर, वेधशाला भूकंप उद्गम से उतनी दूर होती है। केवल एक वेधशाला के समय अंतर से उद्गम की दिशा नहीं जानी जा सकती।
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दोनों तरंगों की स्वयं तुलना की
तेज P तरंग और धीमी S तरंग जितनी दूर जाती हैं, उनके आगमन का समय अंतर उतना बढ़ता है। दूरी निकालने के लिए इस अंतर के साथ दोनों गतियों का उपयोग करना आवश्यक है।
समान दूरी d तय करने पर आगमन समय अंतर Δt = d/vS − d/vP है, इसलिए d = Δt ÷ (1/vS − 1/vP)। इस गतिविधि में माना गया है कि समरूप ठोस में दोनों तरंगें एक ही सीधे मार्ग पर स्थिर गतियों से चलती हैं। उद्गम दूरी वेधशाला और भूमिगत भूकंप उत्पत्ति बिंदु के बीच की दूरी है, नक्शे पर अधिकेंद्र तक मापी गई सतही दूरी नहीं। P और S तरंगों के समय, उत्पत्ति के क्षण को 0 मानकर मॉडल में निकाले गए यात्रा समय हैं। ‘1 सेकंड के समय अंतर के अनुरूप दूरी’ दूरी रूपांतरण गुणांक है, किसी एक तरंग की गति नहीं। वास्तविक पृथ्वी की परतों में गति परिवर्तन, अपवर्तन और अलग मार्ग शामिल नहीं हैं। उद्गम की दिशा और स्थान जानने के लिए कई वेधशालाओं के रिकॉर्ड और अधिक विस्तृत मॉडल आवश्यक हैं। यह गतिविधि भूकंप आने का पूर्वानुमान नहीं लगाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · USGS: भूकंपीय तरंगों और आगमन समय से भूकंप का पता लगाना
IT · कैश प्रतिस्थापन
भंडारण स्थान बढ़ाने पर भी,
क्या मूल स्रोत से पढ़ना बढ़ेगा?
बारह अनुरोधों के एक ही क्रम को कैश नामक छोटे भंडारण से संसाधित करते हैं।
स्थानों की संख्या और प्रतिस्थापन नियम बदलकर तुलना करें कि कैश में अनुपस्थित डेटा मूल स्रोत से कितनी बार पढ़ा जाता है।
अनुरोधों का क्रम 1 → 2 → 3 → 4 → 1 → 2 → 5 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 पर स्थिर है। खाली कैश से शुरू करते हैं। कैश में अनुपस्थित डेटा मूल भंडार से पढ़कर डाला जाता है और पहली बार पढ़ना भी इस गिनती में शामिल है। पहले से मौजूद डेटा के लिए मूल स्रोत नहीं पढ़ा जाता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
भंडारण के नियम स्वयं बदलकर देखे
कैश का प्रभाव केवल स्थानों की संख्या पर नहीं, प्रतिस्थापन नियम और अनुरोध क्रम पर भी निर्भर है। समान अनुरोधों का डेटा कैसे रखा जाता है, इसे चरण-दर-चरण देखें।
FIFO आगमन क्रम बनाए रखता है और कैश हिट पर भी क्रम नहीं बदलता। LRU में हिट हुआ डेटा सबसे हाल में उपयोग किए गए स्थान पर जाता है। डेटा अनुपस्थित हो और सभी स्थान भरे हों, तो हर नियम के अनुसार सबसे पुराना डेटा बदला जाता है। इस अनुरोध क्रम में FIFO की मिस 3 स्थानों पर 9 बार से बढ़कर 4 स्थानों पर 10 बार हो जाती है; इसे बेलाडी की विसंगति कहते हैं। उन्हीं 4 स्थानों पर LRU में 8 मिस होती हैं। केवल इस परिणाम से यह नहीं कहा जा सकता कि FIFO हमेशा खराब या LRU हर अनुरोध क्रम में बेहतर है। हिट दर = हिट की संख्या ÷ संसाधित अनुरोधों की संख्या है; 0 अनुरोध होने पर यह परिभाषित नहीं है। यह हर संख्या को समान आकार की एक डेटा इकाई मानने वाला प्रतिस्थापन सिद्धांत का मॉडल है; वास्तविक ब्राउज़र कैश की वैधता अवधि, संचार समय, क्षमता या लिखने की लागत नहीं निकालता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: FIFO, LRU और मेमोरी प्रतिस्थापन
गणित व सांख्यिकी · मॉडल और त्रुटि
प्रेक्षित बिंदुओं पर बिल्कुल सटीक हो,
तो दूसरे बिंदुओं पर कैसा होगा?
हल्का उतार-चढ़ाव जोड़े गए छह प्रेक्षित बिंदुओं से बहुपद मॉडल बनाएँ।
जटिलता और उतार-चढ़ाव बदलें तथा फिटिंग में उपयोग न किए गए बीस संदर्भ बिंदुओं की त्रुटि भी तुलना करें।
प्रेक्षित बिंदु मॉडल फिट करने के लिए और संदर्भ बिंदु केवल त्रुटि की तुलना के लिए उपयोग होते हैं। RMSE त्रुटियों के वर्गों का औसत लेकर उसका वर्गमूल है; यह जितना कम हो, मॉडल उन बिंदुओं के उतना करीब है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
मॉडल की जटिलता स्वयं बदलकर देखी
सभी प्रेक्षित बिंदुओं से गुजरने वाला मॉडल भी अन्य संदर्भ बिंदुओं से अधिक दूर हो सकता है। फिट किए गए बिंदुओं और अलग तुलना किए जाने वाले बिंदुओं की त्रुटियाँ साथ देखें।
प्रेक्षित x हैं −1·−0.6·−0.2·0.2·0.6·1, और y = 3 + 2x में उतार-चढ़ाव गुणक × [0.2, −0.2, 0.3, −0.3, 0.2, −0.2] जोड़ा जाता है। इन छह बिंदुओं की वर्ग त्रुटियों का योग न्यूनतम करके बहुपद फिट किया जाता है। संदर्भ x, −0.95 से 0.95 तक 0.1 के अंतराल पर बीस बिंदु हैं और संदर्भ y बिना उतार-चढ़ाव वाला 3 + 2x है। यह गतिविधि ज्ञात निर्माण सिद्धांत वाले काल्पनिक डेटा की संदर्भ त्रुटि तुलना करती है; संदर्भ बिंदु वास्तव में अलग से जुटाए गए प्रेक्षण नहीं हैं। घात 5 का मॉडल उतार-चढ़ाव वाले सभी छह प्रेक्षित बिंदुओं से गुजर सकता है, लेकिन बिंदुओं के बीच बहुत मुड़ने से संदर्भ त्रुटि बढ़ सकती है। इसका अर्थ यह नहीं कि जटिल मॉडल हमेशा खराब या सरल मॉडल हमेशा अच्छा है। उतार-चढ़ाव 0 होने पर तीनों मॉडल एक ही सीधी रेखा पर फिट होते हैं। ये मान वास्तव में अज्ञात भविष्य के परिणामों की त्रुटि की गारंटी नहीं देते।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · scikit-learn: अंडरफिटिंग और ओवरफिटिंग
जीव विज्ञान व पर्यावरण · जैव विविधता
प्रजातियों की संख्या समान हो,
फिर भी अनुपात बदलने से अंतर पड़ता है।
प्रजातियों की संख्या और पहली प्रजाति का अनुपात बदलें।
उन वितरणों की तुलना करें जिनमें शेष प्रजातियाँ बचा हुआ अनुपात बराबर बाँटती हैं।
प्रदर्शित मान पूरे वितरण में हर प्रजाति का अनुपात हैं, जीवों की संख्या नहीं। पहली प्रजाति हमेशा सबसे अधिक संख्या वाली नहीं है। यह प्रजातियों के नाम और विशेषताओं के बिना काल्पनिक वितरण है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रजातियों के अनुपात स्वयं बदलकर देखे
प्रजातियों की संख्या समान होने पर भी कुछ प्रजातियों का अनुपात बहुत अधिक होने से वितरण की विविधता घटती है। प्रजातियों की संख्या और अनुपातों की समानता अलग-अलग विशेषताएँ हैं।
प्रजाति का अनुपात p हो, तो शैनन विविधता H = −Σp ln(p) है और इसमें प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग होता है। exp(H) समान H वाले समरूप वितरण की प्रभावी प्रजाति संख्या है; इसका अर्थ वास्तव में दशमलव संख्या में प्रजातियाँ होना नहीं है। समरूपता H ÷ ln(प्रजाति संख्या) × 100 से दिखाई जाती है और सभी प्रजातियों के अनुपात समान हों तो 100% होती है। 4 प्रजातियों में पहली का अनुपात 25% हो तो सभी 25% होती हैं; पहली का 70% हो तो शेष प्रत्येक का 10% होता है। स्लाइडर 5% के चरणों में चलता है, इसलिए 3 प्रजातियों का सटीक समान अनुपात ⅓ नहीं चुना जा सकता। सभी अनुपात धनात्मक वाले आदर्श वितरणों की तुलना की जाती है; नमूने का आकार, प्रेक्षण त्रुटि और प्रजातियों के बीच संबंध शामिल नहीं हैं। अधिक सूचकांक हमेशा स्वस्थ पारितंत्र नहीं दर्शाता; प्रजातियों की पहचान, दुर्लभता और संरक्षण मूल्य अलग से देखने चाहिए।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Hokkaido University: विविधता सूचकांक
जीवन व सामान्य ज्ञान · कार्य क्रम
एक काम तेज हो जाए,
तो क्या कुल समय वही रहेगा?
तैयारी पूरी होने पर दो टीमें ऊपरी और निचले मार्ग पर एक साथ काम करती हैं।
कार्यों का समय बदलें और दोनों मार्गों के पूरा होने की प्रतीक्षा के बाद मिलने वाला समापन समय खोजें।
तैयारी A का समय 2 मिनट और अंतिम कार्य F का 1 मिनट स्थिर है। B पूरा होने पर ही D और C पूरा होने पर ही E शुरू होता है। D और E दोनों पूरे होने पर ही F शुरू होता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
काम का समय खुद बदलकर देखा तो
समापन का समय तय करने वाले सबसे लंबे कार्य मार्ग को क्रांतिक पथ कहते हैं। केवल छोटे मार्ग के कामों का समय घटाने पर कुल समापन समय पहले जैसा रह सकता है।
कुल समापन समय 2 + max(B + D, C + E) + 1 है। ‘कार्य समयों का योग’ सभी छह कामों के समय का जोड़ है। दोनों मार्गों पर काम एक साथ चलता है, इसलिए यह वास्तव में बीते समय से अलग है। प्रत्येक मार्ग की समय छूट, लंबे मार्ग के समय में से उस मार्ग का समय घटाने पर मिलती है। इतनी देरी होने पर भी कुल समापन में देरी नहीं होती। डिफ़ॉल्ट मानों में निचला मार्ग 8 मिनट और ऊपरी मार्ग 7 मिनट लेता है, इसलिए ऊपरी मार्ग पर 1 मिनट की छूट है। दोनों मार्गों का समय बराबर होने पर दोनों क्रांतिक पथ होते हैं; केवल एक का समय घटाने पर दूसरे की प्रतीक्षा करनी पड़ती है। काम का समय घटाते हुए क्रांतिक पथ भी बदल सकता है। यह निर्भरता मॉडल मानता है कि अलग-अलग टीमें संसाधन साझा नहीं करतीं और हर काम का समय निश्चित है। इसमें कर्मचारियों की उपलब्धता के टकराव, काम रुकने और समय की अनिश्चितता को छोड़कर सबसे जल्दी संभव समापन समय दिखाया गया है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: क्रांतिक पथ विधि (PDF)
रसायन विज्ञान · संतृप्ति और विलेयता
बहुत अधिक ठोस डालने पर भी,
पूरा नहीं घुलता।
पानी में एक काल्पनिक ठोस डालते हैं, जिसकी विलेयता तापमान के साथ बदलती है।
तापमान, पानी की मात्रा और ठोस की मात्रा बदलकर घुली और बची मात्रा की तुलना करें।
काल्पनिक ठोस की विलेयता प्रति 100g पानी में (20 + तापमान)g तय की गई है। 40°C तापमान पर 100g पानी में अधिकतम 60g घुलता है। यह किसी वास्तविक पदार्थ की विलेयता तालिका नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
घुलने की सीमा खुद बदलकर देखा तो
किसी निश्चित परिस्थिति में घुल सकने वाली मात्रा की सीमा होती है। उससे अधिक डालने पर बचा ठोस नहीं घुलता। ठंडा करने से सीमा घटे तो कुछ पदार्थ फिर ठोस के रूप में निकल आता है।
अधिकतम घुलने योग्य मात्रा = विलेयता × पानी का द्रव्यमान ÷ 100, घुली मात्रा = min(डाली गई मात्रा, अधिकतम घुलने योग्य मात्रा), बचा ठोस = डाली गई मात्रा − घुली मात्रा। दिखाया गया अनुपात घुले ठोस का द्रव्यमान ÷ पानी का द्रव्यमान × 100 है। यह पूरे विलयन के द्रव्यमान पर आधारित द्रव्यमान प्रतिशत से अलग है। माना गया है कि पर्याप्त समय के बाद हर परिस्थिति में विलेयन साम्य स्थापित हो गया है। अधिकतम घुलने योग्य मात्रा घुली होने पर विलयन संतृप्त होता है; केवल ठोस बचा होने पर ही संतृप्त हो, ऐसा नहीं है। पानी का वाष्पीकरण, अतिसंतृप्ति, घुलने की दर और विलेयन ऊष्मा शामिल नहीं हैं। यह काल्पनिक पदार्थ ऐसा तय किया गया है कि तापमान बढ़ने पर विलेयता बढ़े; सभी ठोस इस संबंध का पालन नहीं करते।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: विलेयता और संतृप्त विलयन
भौतिकी · विद्युतचुंबकीय प्रेरण
वोल्टता उत्पन्न करता है,
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन।
कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय क्षेत्र को एक निश्चित समय में बदलते हैं।
परिवर्तन की मात्रा, लगा समय, फेरों की संख्या और कोण बदलकर औसत प्रेरित वोल्टता की तुलना करें।
कुंडली के एक फेरे का क्षेत्रफल 0.01m² पर स्थिर है। क्षेत्रफल और कोण स्थिर रहते हैं, केवल चुंबकीय क्षेत्र बदलता है। 0T का परिवर्तन चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति नहीं, बल्कि उसमें कोई बदलाव न होना दर्शाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
परिवर्तन की तेजी खुद बदलकर देखा तो
चुंबकीय क्षेत्र में समान परिवर्तन कम समय में होने पर औसत प्रेरित वोल्टता का परिमाण बढ़ता है। परिवर्तन की दिशा उलटने पर वोल्टता का चिह्न भी बदलता है।
चुंबकीय फ्लक्स, कुंडली के तल से गुजरने वाले चुंबकीय क्षेत्र का क्षेत्रफल और दिशा सहित माप है। एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में Φ = BAcosθ है। θ कुंडली के तल के लंबवत अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है। फ़ैराडे के नियम के अनुसार औसत प्रेरित विद्युत वाहक बल ε = −NΔΦ ÷ Δt है, जहाँ N फेरों की संख्या है। 1mWb, 0.001Wb के बराबर है। चिह्न चुने गए अभिलंब और लपेटने की दिशा के आधार पर दिखाया गया है; ऋणात्मक होने का अर्थ वोल्टता का परिमाण छोटा होना नहीं है। लेंज़ के नियम का ऋण चिह्न चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन का विरोध करने वाली दिशा दर्शाता है। हर फेरे का क्षेत्रफल और चुंबकीय क्षेत्र समान माना गया है। समय के साथ विस्तृत तरंगरूप, कुंडली का प्रतिरोध और स्वप्रेरण शामिल नहीं हैं। वास्तविक धारा या शक्ति की गणना किए बिना निर्धारित समय अंतराल की औसत वोल्टता की तुलना की जाती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: चुंबकीय फ्लक्स · फ़ैराडे और लेंज़ के नियम
अर्थव्यवस्था व समाज · बाह्य लागत
उत्पादक की चुकाई लागत और
समाज की चुकाई लागत अलग हैं।
एक अतिरिक्त वस्तु बनाने की लागत बदलकर देखें।
केवल उत्पादक की लागत देखने और 3रे पक्ष की हानि की लागत भी शामिल करने पर उत्पादन की मात्रा की तुलना करें।
उत्पादन मात्रा q होने पर अतिरिक्त 1 वस्तु का लाभ (120 − q) लागत इकाई/वस्तु है। उत्पादक लागत और बाह्य लागत उत्पादन मात्रा से स्वतंत्र होकर स्थिर हैं। काल्पनिक बाज़ार के मान इस्तेमाल किए गए हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
छूटी हुई लागत खुद जोड़कर देखा तो
यदि ऐसी हानि की लागत हो जिसे लेन-देन करने वाले पक्ष नहीं चुकाते, तो बाज़ार की उत्पादन मात्रा और पूरे समाज के शुद्ध लाभ को अधिकतम करने वाली उत्पादन मात्रा अलग हो सकती हैं।
बाह्य लागत वह लागत है जिसे लेन-देन में सीधे शामिल न होने वाला 3रा पक्ष चुकाता है। सामाजिक सीमांत लागत = निजी सीमांत लागत + सीमांत बाह्य लागत। प्रतिस्पर्धी बाज़ार में केवल निजी लागत पर आधारित उत्पादन मात्रा q = 120 − निजी लागत है। बाह्य लागत सहित कुल शुद्ध लाभ को अधिकतम करने वाली उत्पादन मात्रा q = 120 − निजी लागत − बाह्य लागत है। इन दोनों उत्पादन मात्राओं के बीच अतिरिक्त लाभ से सामाजिक लागत अधिक होती है। त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर शुद्ध लाभ की हानि = ½ × उत्पादन मात्रा का अंतर × सीमांत बाह्य लागत है। पूरे उत्पादन से होने वाली कुल बाह्य हानि और यह हानि अलग मान हैं। यह सतत मात्रा वाला मॉडल केवल उत्पादन के नकारात्मक बाह्य प्रभावों को शामिल करता है। प्रदूषण की वास्तविक हानि का अनुमान, बाज़ार शक्ति, नीति लागू करने की लागत और सकारात्मक बाह्य प्रभाव शामिल नहीं हैं। यह काल्पनिक वस्तुओं और लागत इकाइयों की तुलना है; ये मान वास्तविक विनियमन या करों के प्रभाव का पूर्वानुमान नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: प्रदूषण और बाह्य लागत का अर्थशास्त्र
पृथ्वी व अंतरिक्ष · परावर्तन और ऊर्जा
अधिक सूर्यप्रकाश परावर्तित करने पर,
अवशोषित ऊर्जा घटती है।
बिना वायुमंडल वाले काल्पनिक ग्रह के सूर्यप्रकाश परावर्तन का अनुपात बदलें।
पूरे ग्रह की औसत ऊर्जा और विकिरण साम्य तापमान का संबंध देखें।
सूर्यप्रकाश के लंबवत अनुप्रस्थ काट पर प्राप्त विकिरण ऊर्जा 1,361W/m² पर स्थिर है। गोले के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल उसकी पूरी सतह के क्षेत्रफल का ¼ है, इसलिए पूरे ग्रह के क्षेत्र पर औसत आपतित ऊर्जा 340.25W/m² है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
परावर्तन अनुपात खुद बदलकर देखा तो
अधिक परावर्तन होने पर अवशोषित ऊर्जा घटती है और उतनी ही ऊर्जा विकिरण से बाहर निकालने वाला साम्य तापमान भी घटता है। सेल्सियस तापमान अवशोषित मात्रा के समानुपाती नहीं है।
सभी तरंगदैर्घ्यों और पूरे ग्रह पर सूर्यप्रकाश के परावर्तित होने के अनुपात को Bond ऐल्बीडो a कहते हैं। पूरे क्षेत्र पर औसत अवशोषण = S(1 − a) ÷ 4, कृष्णिका का उत्सर्जन = σT⁴ है। दोनों के बराबर होने का तापमान T = [S(1 − a) ÷ (4σ)]¼है। S = 1,361W/m² और σ = 5.670374419 × 10⁻⁸W/(m²·K⁴) इस्तेमाल किए गए हैं। सेल्सियस तापमान T − 273.15 है। यह सरल मॉडल पूरे गोलाकार ग्रह का एक ही तापमान मानता है, जो केवल सौर विकिरण अवशोषित करता है और जिसकी तापीय विकिरण उत्सर्जकता 1 है। वायुमंडल और ग्रीनहाउस प्रभाव, दिन-रात तथा अक्षांश के अनुसार तापमान का अंतर, बर्फ और बादलों के फीडबैक तथा साम्य तक पहुँचने का समय शामिल नहीं हैं। दिखाया गया तापमान वास्तविक पृथ्वी की सतह का तापमान या किसी क्षेत्र की जलवायु का पूर्वानुमान नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NASA: पृथ्वी का ऊर्जा बजट · सौर विकिरण और पृथ्वी के संख्यात्मक आँकड़े
IT · अक्षर और बाइट
दिखने में एक समूह हो, फिर भी
संग्रहण का आकार अलग होता है।
अक्षर का उदाहरण और दोहराव की संख्या बदलें।
स्क्रीन पर अक्षर समूहों, कोड पॉइंट, UTF-16 इकाइयों और UTF-8 बाइट की तुलना करें।
इन छह उदाहरणों में हर दोहराव एक विस्तारित ग्रैफीम समूह है। स्क्रीन पर समूह एक ही आकृति में दिखेगा या नहीं, यह फ़ॉन्ट और उपकरण पर निर्भर करता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
अक्षर खुद चुनकर देखा तो
हंगुल ‘가’ एक कोड पॉइंट है, लेकिन UTF-8 में संग्रहित करने पर 3 बाइट लेता है। अक्षर गिनने और संग्रहण आकार गिनने के मानदंड अलग हैं।
Unicode कोड पॉइंट अक्षरों की पहचान करने वाली संख्या है। UTF-8 एक एन्कोडिंग है जो हर Unicode स्केलर मान को 1~4 बाइट में संग्रहित करती है। JavaScript स्ट्रिंग की लंबाई UTF-16 कोड इकाइयों की संख्या है; एक मुस्कुराता इमोजी 😊, 2 कोड इकाइयाँ लेता है। विस्तारित ग्रैफीम समूह Unicode का सीमा मानदंड है, जो संयोजक स्वराघात चिह्न और जुड़े इमोजी जैसे अनेक कोड पॉइंट को एक समूह में रखता है। é(U+00E9) और e + संयोजक स्वराघात चिह्न(U+0065 U+0301) दिखने में समान हो सकते हैं, लेकिन उनके संग्रहित कोड पॉइंट अलग हैं। UTF-8 में उनका आकार क्रमशः 2 बाइट और 3 बाइट है। यह गतिविधि छह तय उदाहरणों की तुलना करती है; इनपुट का सामान्यीकरण या मनमानी स्ट्रिंग का विभाजन नहीं करती। स्क्रीन पर बनी आकृतियों की संख्या और Unicode समूहों की संख्या हमेशा समान नहीं होती। फ़ाइल हेडर, एन्कोडिंग चिह्न और संपीड़ित आकार शामिल नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Python के आधिकारिक दस्तावेज़: Unicode और UTF-8 · Unicode: ग्रैफीम समूहों की सीमाएँ
गणित व सांख्यिकी · पथ और जुड़ाव
किसी रास्ते को दोहराए बिना,
क्या सभी से गुजर सकते हैं?
कोनिग्सबर्ग के सात पुलों में रास्ते घटाएँ या जोड़ें।
हर बिंदु से जुड़े रास्तों की संख्या और पूरे नेटवर्क की संबद्धता तय करती है कि यात्रा पूरी हो सकती है या नहीं।
बिंदुओं पर कई बार जा सकते हैं, लेकिन हर रास्ते से ठीक एक बार गुजरना है। उन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाले समांतर रास्ते भी अलग-अलग रास्ते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
जुड़ाव खुद बदलकर देखा तो
बीच के बिंदुओं पर प्रवेश और निकास के रास्ते जोड़े बनाते हैं। हर रास्ते से एक बार गुजरने के लिए संबद्धता और विषम घात वाले बिंदुओं की संख्या दोनों देखनी होंगी।
किसी बिंदु से जुड़े रास्तों की संख्या को ग्राफ में उसकी घात कहते हैं। यदि रास्तों वाले सभी बिंदु आपस में जुड़े हों और विषम घात वाले बिंदुओं की संख्या 0 हो, तो उसी बिंदु पर शुरू और समाप्त होने वाला ऑयलर परिपथ होता है। ऐसे बिंदु 2 हों, तो उन दोनों को आरंभ और अंत बनाने वाला खुला ऑयलर पथ होता है। विषम घात वाले बिंदु अधिक हों तो हर रास्ते से एक बार गुजरकर यात्रा पूरी करना असंभव है। रास्तों वाले बिंदु अलग-अलग घटकों में हों, तो सभी घात सम होने पर भी एक ही यात्रा में सब रास्ते पूरे नहीं किए जा सकते। रास्तों से रहित अलग-थलग बिंदु संबद्धता की शर्त में शामिल नहीं हैं। इस गतिविधि के रास्ते दिशा और आवागमन प्रतिबंधों से मुक्त काल्पनिक ग्राफ हैं। इसमें चित्र की लंबाई, दूरी या वास्तविक सड़कों पर सर्वोत्तम यात्रा पथ की गणना नहीं होती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: ग्राफ और ऑयलर पथ (PDF)
जीव विज्ञान व पर्यावरण · जीवों की संख्या का आकलन
दोबारा मिले जीवों के अनुपात से,
कुल संख्या का अनुमान लगाएँ।
पहले अवलोकन में चिह्नित जीवों की संख्या और दूसरे अवलोकन में मिले जीवों की संख्या बदलें।
उनमें पहले चिह्नित जीव कितने दोबारा मिले, इससे कुल जीव संख्या का अनुमान लगाएँ।
R दोनों अवलोकनों में शामिल जीवों की संख्या है, इसलिए यह M और C के छोटे मान से अधिक नहीं हो सकता। दोनों अवलोकन एक ही काल्पनिक जीव समष्टि के हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
दोबारा मिले जीवों की संख्या खुद बदलकर देखा तो
यदि चिह्नित जीव पूरी समष्टि में पर्याप्त रूप से घुल-मिल गए हों, तो दूसरे अवलोकन में चिह्नित जीव मिलने का अनुपात पूरी समष्टि के चिह्नित अनुपात के करीब माना जाता है।
Lincoln–Petersen बिंदु अनुमान में कुल जीव संख्या N̂ = M × C ÷ R है। यह इस संबंध से निकलता है कि पूरी समष्टि का चिह्नित अनुपात M/N, दूसरे अवलोकन के चिह्नित अनुपात R/C के करीब है। सीधे देखे गए अलग-अलग जीवों की संख्या M + C − R है, जो कुल अनुमान से अलग है। R का मान 0 होने पर इस सूत्र से अनुमान नहीं लगाया जा सकता। R छोटा हो तो दोबारा मिले कुछ जीवों का अंतर भी अनुमान में बड़ा बदलाव ला सकता है। इसमें दोनों अवलोकनों के बीच जन्म, मृत्यु या स्थानांतरण से रहित बंद समष्टि, पर्याप्त घुलना-मिलना, चिह्नों का बने रहना और सही पहचान, हर जीव के पकड़े जाने की समान संभावना तथा चिह्नित करने के बाद व्यवहार में कोई बदलाव न होना माना गया है। छोटे नमूनों के पक्षपात का सुधार या विश्वास अंतराल नहीं निकाले जाते। यह काल्पनिक अवलोकन संख्याओं का संबंध समझने की गतिविधि है; वास्तविक जानवरों को पकड़ने, चिह्नित करने या वास्तविक समष्टि की संख्या बताने का मार्गदर्शक नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · University of Wyoming: चिह्नन–पुनर्पकड़ और जीव संख्या का अनुमान
जीवन व सामान्य ज्ञान · फ़ोटो का परिप्रेक्ष्य
कैमरा पास आने पर,
आगे-पीछे की वस्तुओं के आकार का अंतर बढ़ता है।
यह पिनहोल कैमरा है, जिसके सामने समान वास्तविक चौड़ाई वाली दो वस्तुएँ आगे-पीछे रखी हैं।
कैमरे की स्थिति और फोकस दूरी बदलकर प्रक्षेपित आकार और उनके अनुपात का अंतर समझें।
दोनों वस्तुओं की वास्तविक चौड़ाई 0.3m पर स्थिर है। केवल आगे-पीछे की स्थिति अलग है। दिखाए गए mm प्रतिबिंब तल पर प्रक्षेपित चौड़ाई दर्शाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
कैमरा खुद खिसकाकर देखा तो
कैमरे से आगे और पीछे की वस्तुओं की दूरियों का अनुपात उनके प्रक्षेपित आकारों का अनुपात तय करता है। एक ही स्थिति पर केवल फोकस दूरी बदलने से दोनों चौड़ाइयाँ साथ बदलती हैं और अनुपात वही रहता है।
आदर्श पिनहोल प्रक्षेपण में प्रतिबिंब तल पर चौड़ाई w′ = f × w ÷ z है। f फोकस दूरी, w वास्तविक चौड़ाई और z कैमरे से वस्तु की दूरी है। समान वास्तविक चौड़ाई वाली दो वस्तुओं की प्रक्षेपित चौड़ाइयों का अनुपात दूर की वस्तु की दूरी ÷ पास की वस्तु की दूरी = (d + अंतर) ÷ d है; सूत्र में फोकस दूरी कट जाती है। कैमरा पीछे जाने पर यह अनुपात 1 के करीब आता है। फोकस दूरी बदलते हुए वही फ़्रेम बनाए रखने के लिए कैमरे की स्थिति भी बदलें, तो स्थिति का बदलाव परिप्रेक्ष्य का अंतर पैदा करता है। ऊपर का व्यवस्था चित्र कैमरे और वस्तुओं की दूरियों का संबंध दिखाता है। पट्टी का 36mm पैमाना प्रक्षेपित चौड़ाई की तुलना का स्थिर संदर्भ है। इस ज्यामितीय मॉडल में वस्तु तल और प्रतिबिंब तल समांतर हैं। लेंस विकृति, फोकस का धुंधलापन, क्षेत्र की गहराई या चेहरे की आकृति में बदलाव की गणना नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT पाठ्यपुस्तक: प्रतिबिंब और पिनहोल प्रक्षेपण · Columbia: परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण की ज्यामिति
रसायन विज्ञान · प्रकाश का अवशोषण
प्रकाश का रास्ता जितना लंबा हो,
बचा प्रकाश कैसे बदलता है?
एक ही रंग का प्रकाश एकसमान काल्पनिक विलयन से गुजरता है।
सांद्रता, गुजरने की दूरी और आने वाले प्रकाश की मात्रा बदलकर अवशोषकता और पारगम्यता का अंतर समझें।
इस काल्पनिक विलेय का अवशोषण गुणांक ε, 1 L/(mmol·cm) तय किया गया है। चमक की इकाइयाँ और गुणांक सिद्धांतों की तुलना के लिए हैं; ये वास्तविक पदार्थ के मापे हुए मान नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रकाश के गुजरने की परिस्थितियाँ खुद बदलकर देखा तो
सांद्रता और गुजरने की दूरी का गुणनफल अवशोषकता तय करता है। अवशोषकता दोगुनी होने का अर्थ पार होने वाले प्रकाश का अनुपात आधा होना नहीं है।
Beer–Lambert नियम के अनुसार अवशोषकता A = ε × सांद्रता c × प्रकाश पथ की लंबाई l = −log₁₀(पार हुआ प्रकाश ÷ आया प्रकाश) है। इस गतिविधि में पारगम्यता 100 × 10⁻ᴬ % और पार हुए प्रकाश की मात्रा आए प्रकाश × 10⁻ᴬ से निकाली जाती है। अवशोषकता एक लघुगणकीय मान है और अवशोषित प्रकाश के प्रतिशत से अलग है। A का मान 0.5 से 1 होने पर पारगम्यता लगभग 31.623% से 10% हो जाती है। समान सांद्रता और दूरी पर केवल आने वाला प्रकाश आधा करने से पार हुआ और अवशोषित प्रकाश आधा हो जाता है, लेकिन पारगम्यता और अवशोषकता वही रहती हैं। सांद्रता 0 हो तो इस मॉडल में पूरा प्रकाश पार हो जाता है। यह आदर्श रैखिक अवशोषण मॉडल मानता है कि एकवर्णी प्रकाश एकसमान विलयन से गुजरता है और परावर्तन, प्रकीर्णन या प्रकाश उत्सर्जन नहीं होता। पात्र और विलायक का अवशोषण शामिल नहीं है। यह वास्तविक पदार्थ की सांद्रता मापने या किसी विशिष्ट द्रव की पारदर्शिता का पूर्वानुमान लगाने का उपकरण नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · IUPAC: Beer–Lambert नियम
भौतिकी · टक्कर और संवेग
टक्कर के बाद वेग बदल जाएँ, फिर भी
दोनों को जोड़ने पर कुछ संरक्षित रहता है।
एक सीधी रेखा पर बाईं वस्तु 1 और दाईं वस्तु 2 चलती हैं।
द्रव्यमान, वेग और उछाल बदलकर टक्कर से पहले और बाद के संवेग तथा गतिज ऊर्जा की तुलना करें।
वेग का + दाईं और − बाईं दिशा दर्शाता है। टक्कर की गणना तभी होती है जब बाईं वस्तु का वेग दाईं वस्तु से अधिक हो और अंतर घट रहा हो। अन्यथा वेग वही रहते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
टक्कर की परिस्थितियाँ खुद बदलकर देखा तो
दोनों वस्तुओं पर बाहरी आवेग 0 हो, तो टक्कर से पहले और बाद का कुल संवेग समान रहता है। गतिज ऊर्जा संरक्षित है या नहीं, यह अलग से देखना होगा।
कुल संवेग p = m₁v₁ + m₂v₂ और गतिज ऊर्जा ½m₁v₁² + ½m₂v₂² है। पास आते समय टक्कर के बाद के वेग v₁′ = [p − m₂e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂), v₂′ = [p + m₁e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂) से तय होते हैं। e, टक्कर के बाद की सापेक्ष अलगाव चाल ÷ टक्कर से पहले की निकट आने की चाल है। e = 1 होने पर गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। e = 0 होने पर दोनों वस्तुएँ p ÷ (m₁ + m₂) के समान वेग से चलती हैं। साथ चलने का अर्थ हमेशा रुक जाना नहीं है। घटने वाली गतिज ऊर्जा विकृति, ऊष्मा और ध्वनि जैसे दूसरे रूपों में बदलती है; इसका अर्थ कुल ऊर्जा का गायब होना नहीं है। यह बाहरी आवेग रहित, एक सीधी रेखा में आदर्श टक्कर है। घर्षण, घूर्णन, टक्कर का समय और विकृति की प्रक्रिया की गणना नहीं होती। दोनों वस्तुओं का अंतर स्थिर रहे या बढ़े, तो टक्कर लागू नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · University of Florida: दो वस्तुओं की टक्कर (PDF)
अर्थव्यवस्था व समाज · मतदान विधियाँ
पसंद वही हो, तो भी
क्या गिनती का तरीका परिणाम बदल देगा?
तीन समूह हैं, जिनमें A·B·C की पसंद का क्रम अलग-अलग है।
हर समूह की सदस्य संख्या और मतदान विधि बदलकर समान पसंद के एकत्रित परिणामों की तुलना करें।
तीर के क्रम में पहले वाला अधिक पसंद है। कुल लोगों की संख्या बदलावों के साथ बदलती है; यह हमेशा 100 नहीं होती। हर व्यक्ति तीनों उम्मीदवारों का पूरा वरीयता क्रम तय करता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
मत गिनने का तरीका खुद बदलकर देखा तो
सर्वाधिक मत विधि केवल पहली पसंद देखती है, जबकि बोर्डा सभी वरीयताओं को अंक देता है। पसंद समान होने पर भी किस चीज़ का योग लिया जाता है, इससे विजेता बदल सकता है।
सर्वाधिक मत विधि हर व्यक्ति की वरीयता 1 वाले उम्मीदवार को एक मत देती है। बोर्डा में वरीयता 1 को 2 अंक, वरीयता 2 को 1 अंक और वरीयता 3 को 0 अंक मिलते हैं, इसलिए A = 2a + c, B = a + 2b, C = b + 2c है। शीर्ष दो उम्मीदवारों की अंतिम मतदान विधि पहले वरीयता 1 के मतों की तुलना करती है। किसी उम्मीदवार को बहुमत यानी कुल के आधे से अधिक मत मिलें, तो वह तुरंत जीतता है। बहुमत न हो और शीर्ष दो उम्मीदवार चुने जा सकें, तो हर व्यक्ति बचे दोनों में अधिक पसंद वाले को एक मत देता है। दूसरे स्थान पर बराबरी के कारण दो उम्मीदवार न चुने जा सकें, तो ‘अतिरिक्त नियम चाहिए’ दिखाया जाता है; मनमाना चयन नहीं होता। सर्वाधिक मत, बोर्डा और अंतिम मतदान में संयुक्त सर्वोच्च मानों को बराबरी दिखाया जाता है। डिफ़ॉल्ट पसंद में सर्वाधिक मत से A 40 मत, बोर्डा से B 110 अंक और अंतिम मतदान से A 65 मत लेकर जीतता है। ये सभी काल्पनिक पूर्ण वरीयताएँ हैं। वास्तविक चुनाव नियम, रणनीतिक मतदान, मतदान से विरत रहना और अधूरे वरीयता क्रम शामिल नहीं हैं। इसका अर्थ यह नहीं कि कोई एक विधि हर परिस्थिति में सर्वोत्तम है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: मतदान विधियाँ
पृथ्वी व अंतरिक्ष · भूजल प्रवाह
रिक्त स्थानों से बहते पानी को भी,
आगे धकेलने वाला अंतर चाहिए।
पानी से भरी एकसमान सरंध्र परत की कल्पना करें।
पानी गुजरने की सुगमता, दोनों सिरों के जलीय शीर्ष का अंतर और प्रवाह की दूरी बदलकर पानी के प्रवाह की तुलना करें।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल 5m² और प्रभावी सरंध्रता 0.3 पर स्थिर है। जलीय शीर्ष, स्थिति और दाब के कारण पानी की ऊर्जा को ऊँचाई के रूप में दर्शाता है। इसका अर्थ केवल ज़मीन की ऊँचाई का अंतर नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
जलमार्ग की परिस्थितियाँ खुद बदलकर देखा तो
समान जलीय शीर्ष अंतर पर भी पानी को आसानी से गुजरने देने वाली परत में अधिक प्रवाह होता है। प्रवाह दूरी बढ़ने पर प्रति इकाई दूरी का अंतर घटता है।
Darcy नियम में जलीय प्रवणता i = Δh ÷ L, पूरे अनुप्रस्थ काट पर आधारित वेग q = K × i और निर्वहन Q = q × अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है। q केवल पानी बहने वाले रिक्त स्थानों पर नहीं, ठोस सहित पूरे अनुप्रस्थ काट पर आधारित मान है। प्रभावी सरंध्रता nₑ = 0.3 लेने पर रंध्रों के भीतर औसत वेग q ÷ nₑ है, जो यहाँ Darcy वेग का लगभग 3.333 गुना है। जलीय शीर्ष अंतर 0 होने पर इस मॉडल में प्रवाह 0 है। केवल K दोगुना करने पर निर्वहन भी दोगुना होता है। दोनों सिरों का जलीय शीर्ष अंतर स्थिर रखकर दूरी दोगुनी करने पर जलीय प्रवणता और निर्वहन आधे हो जाते हैं। यह पानी से पूरी तरह संतृप्त एकसमान परत का स्थिर प्रवाह है; पानी के गुण, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और सरंध्रता स्थिर हैं। K तुलना के लिए चुना गया काल्पनिक मान है, किसी विशिष्ट मिट्टी या चट्टान का मापा मान नहीं। इसमें असंतृप्त मिट्टी में वर्षाजल के रिसाव, वास्तविक भूजल के पहुँचने के समय, प्रदूषकों के परिवहन या ज़मीन की स्थिरता का पूर्वानुमान नहीं होता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · USGS: भूजल जलगतिकी (PDF) · USGS: रंध्र और भूजल प्रवाह
IT · समवर्ती निष्पादन
दोनों ने एक-एक बार जोड़ा, फिर भी
केवल एक बार जुड़ सकता है।
साझा संख्या 10 में A और B प्रत्येक 1 जोड़ते हैं।
पढ़ने-लिखने का क्रम और लॉक की स्थिति बदलकर निष्पादन को चरण-दर-चरण देखें।
पढ़ने की क्रिया में प्रत्येक साझा मान पढ़कर उसमें 1 जोड़कर अपनी संख्या तैयार करता है। लिखने की क्रिया उस तैयार संख्या को साझा मान में रखती है। लॉक चालू होने पर पहले पढ़ने वाला लिखना भी पूरा करता है, फिर अगला शुरू करता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
निष्पादन क्रम खुद बदलकर देखा तो
हर पक्ष एक-एक बार जोड़ने वाला कोड चलाए, तब भी साझा मान पढ़ने और लिखने के क्रम के कारण एक जोड़ छूट सकता है।
यदि A और B दोनों 10 पढ़ते हैं, तो प्रत्येक 11 तैयार करता है। दोनों बारी-बारी से 11 लिखें, तब भी अंतिम मान 11 रहता है, इसलिए एक अद्यतन छूट जाता है। इसे अद्यतन का खो जाना कहते हैं। पढ़ने, गणना करने और लिखने की पूरी प्रक्रिया को एक लॉक से सुरक्षित करने पर, पहले शुरू करने वाले के समाप्त होने के बाद अगला व्यक्ति नया मान पढ़ता है और अंतिम मान 12 हो जाता है। केवल लिखने पर लॉक लगाने से पहले पुराना मान पढ़ लेने की समस्या हल नहीं होती। लक्ष्य 12 दोनों जोड़ पूरे होने के बाद का मान है, बीच के चरण का सही उत्तर नहीं। जब दोनों ने केवल पढ़ना पूरा किया हो, तब साझा मान अभी बदला नहीं है और कोई अद्यतन भी नहीं खोया है। यह गतिविधि क्रियाओं का क्रम दिखाने वाला मॉडल है; यह वास्तविक ब्राउज़र थ्रेड नहीं चलाती और कई कंप्यूटरों के बीच समकालिकता या डेडलॉक को शामिल नहीं करती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OSTEP: थ्रेड और साझा मान (PDF) · OSTEP: लॉक (PDF)
गणित व सांख्यिकी · बहु परीक्षण
बहुत खोजने पर,
संयोग भी अंतर जैसा लग सकता है।
जिन परिस्थितियों में वास्तव में कोई अंतर नहीं है, उनमें कई स्वतंत्र परीक्षण करते हैं।
परीक्षणों की संख्या और त्रुटि सीमा बदलकर कम से कम एक मिथ्या धनात्मक परिणाम आने की प्रायिकता की तुलना करें।
मिथ्या धनात्मक परिणाम वह है जिसमें वास्तव में कोई अंतर न होने पर भी अंतर होने का निष्कर्ष निकाला जाए। माना गया है कि सभी शून्य परिकल्पनाएँ सत्य हैं और परीक्षण स्वतंत्र हैं। औसतन 0.05 परिणाम का अर्थ समान परिस्थितियों को कई बार दोहराने पर मिलने वाला औसत है; इसका अर्थ एक परिणाम का टुकड़ों में बँटना नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद परीक्षणों की संख्या बदलने पर
प्रत्येक परीक्षण की त्रुटि सीमा छोटी होने पर भी अनेक परीक्षणों में कम से कम एक मिथ्या धनात्मक परिणाम आने की प्रायिकता बड़ी हो सकती है।
यदि एक परीक्षण की मिथ्या धनात्मक प्रायिकता p और परीक्षणों की संख्या m है, तो सभी शून्य परिकल्पनाओं के सत्य होने वाले स्वतंत्र परीक्षणों में कम से कम एक मिथ्या धनात्मक परिणाम की प्रायिकता 1 − (1 − p)ᵐ है। मिथ्या धनात्मक परिणामों की औसत संख्या mp है। बिना समायोजन के α = 5% की सीमा 20 परीक्षणों पर लागू करने पर समग्र प्रायिकता लगभग 64.15% होती है। बोनफेरोनी समायोजन प्रत्येक सीमा को α ÷ m तक घटाता है, ताकि समग्र त्रुटि दर α से अधिक न हो। इस ऊपरी सीमा की गारंटी के लिए परीक्षणों का स्वतंत्र होना आवश्यक नहीं है, लेकिन यहाँ दिखाई गई सटीक प्रायिकता स्वतंत्रता मानकर चलती है। समग्र प्रायिकता और परिणामों की औसत संख्या अलग-अलग मान हैं। यह गतिविधि परीक्षण परिणाम या वास्तविक p-मान उत्पन्न नहीं करती; p-मान शून्य परिकल्पना के सत्य होने या प्रभाव के मौजूद होने की प्रायिकता नहीं है। अधिक कठोर सीमा से छोटे अंतर खोजना कठिन हो सकता है, और वास्तविक शोध में परिकल्पनाओं के समूह तथा परीक्षणों के बीच संबंध भी ध्यान में रखने चाहिए।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: अनेक परीक्षणों में त्रुटि की प्रायिकता (PDF) · NIST: बोनफेरोनी सिद्धांत
जीव विज्ञान व पर्यावरण · आनुवंशिक कूट
तीन अक्षरों का एक समूह,
सिर्फ एक अक्षर बदलें तो?
एक काल्पनिक RNA के दूसरे कोडॉन GAA का एक अक्षर बदलें।
समान अमीनो अम्ल, अलग अमीनो अम्ल और बीच में रुकने की स्थितियों की तुलना करें।
RNA में AUG · GAA · UUC · UAA को 5′ → 3′ दिशा में पढ़ा जाता है। शुरुआत AUG के Met (मेथियोनीन) से होती है; GAA, Glu (ग्लूटामिक अम्ल) और UUC, Phe (फेनिलएलनीन) को दर्शाता है। समापन अमीनो अम्ल नहीं, बल्कि अनुवादन रोकने का संकेत है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद RNA का एक अक्षर बदलने पर
कई कोडॉन एक ही अमीनो अम्ल को दर्शा सकते हैं, इसलिए एक अक्षर बदलने से अमीनो अम्ल बदलेगा या नहीं, यह कोडॉन पर निर्भर करता है।
कोडॉन RNA के लगातार तीन क्षारकों का समूह है। मानक आनुवंशिक कूट तालिका (तालिका 1) के अनुसार GAA और GAG दोनों Glu को दर्शाते हैं, इसलिए यह अमीनो अम्ल अनुक्रम न बदलने वाला समानार्थी परिवर्तन है। GUA, Val (वैलीन) निर्दिष्ट करने वाला मिससेंस परिवर्तन है, और UAA में बदलने पर समापन संकेत पहले आ जाता है; यह नॉनसेंस परिवर्तन है। यदि दूसरा कोडॉन समापन संकेत हो, तो एक Met बनने के बाद अनुवादन समाप्त हो जाता है और आगे के UUC का अनुवादन नहीं होता। मूल अक्षर ही रखने पर उसे कोई बदलाव नहीं माना जाता है। प्रारंभिक स्थान और तीन-तीन अक्षरों में पढ़ने का फ्रेम स्थिर हैं; अक्षर जोड़ना या हटाना शामिल नहीं है। जीवों और कोशिकांगों के अनुसार कोडॉन तालिका में अपवाद होते हैं, और समानार्थी परिवर्तन का अर्थ यह भी नहीं है कि वास्तविक जीवों में उसका हमेशा कोई प्रभाव नहीं पड़ता। यह छोटे कृत्रिम RNA के अनुवादन का सिद्धांत दिखाने वाला मॉडल है, वास्तविक जीन या रोग के प्रभाव का आकलन करने की सामग्री नहीं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NCBI: मानक आनुवंशिक कूट तालिका · OpenStax: कोडॉन और आनुवंशिक कूट
जीवन व सामान्य ज्ञान · फ़ोटो का एक्सपोज़र
चमक समान हो, तब भी
प्रकाश की मात्रा और गति के निशान अलग होते हैं।
एक ही दृश्य में अपर्चर, शटर समय और ISO बदलें।
सेंसर को मिले प्रकाश, मॉडल की चमक और गति के निशान की अलग-अलग तुलना करें।
संदर्भ f/4 · 1/200 सेकंड · ISO 100 है। दृश्य का प्रकाश, फोकल दूरी, कैमरे की स्थिति और विषय की गति समान हैं। ISO इस मॉडल की चमक बढ़ाता है; यह सेंसर में आने वाले फोटॉनों की संख्या नहीं बढ़ाता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद फ़ोटो की स्थितियाँ बदलने पर
अपर्चर और शटर समय आने वाले प्रकाश को बदलते हैं, जबकि ISO उस प्रकाश के लिए मॉडल की चमक बदलता है। चमक समान होने पर भी गति के निशान अलग हो सकते हैं।
समान परिस्थितियों में प्रकाश की मात्रा शटर समय के समानुपाती और अपर्चर मान के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है। f/4 से f/2 तक खोलने पर प्रकाश चार गुना होता है, और 1/200 सेकंड से 1/800 सेकंड तक समय घटाने पर प्रकाश ¼ गुना होता है; इसलिए दोनों साथ बदलने पर संदर्भ जितना ही प्रकाश मिलता है। समय कम होने से गति का निशान ¼ गुना होता है। f/8 और ISO 400 करने पर मिला प्रकाश ¼ गुना होता है, लेकिन मॉडल की चमक संदर्भ के समान रहती है। चमक में +1 स्टॉप का अंतर दोगुना और −1 स्टॉप का अंतर आधा होने को दर्शाता है। मॉडल की चमक ISO के समानुपाती रैखिक प्रवर्धन है; यह उजले हिस्सों के सीमा तक पहुँचकर कट जाने, वास्तविक फ़ोटो की टोन प्रोसेसिंग, प्रकाश मापन या नॉइज़ को पुनरुत्पादित नहीं करता। गति का निशान स्थिर चाल से चलते बिंदु द्वारा छोड़ी गई सापेक्ष लंबाई है; यह कैमरे के हिलने या समग्र तीक्ष्णता के आकलन का मान नहीं है। लेंस के प्रकाश संचरण में अंतर, क्षेत्र की गहराई और स्वचालित एक्सपोज़र भी शामिल नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Nikon: अपर्चर, शटर और एक्सपोज़र की बुनियाद · Nikon: ISO संवेदनशीलता
रसायन विज्ञान · बफ़र विलयन
अम्ल मिलाने पर भी,
उसे स्वीकार करने वाला युग्म हो तो?
दुर्बल अम्ल HA और संयुग्मी क्षार A− की मात्रा बदलें और थोड़ा प्रबल अम्ल मिलाएँ।
बचे संयुग्मी क्षार, pH में बदलाव और सन्निकटन की उपयोगी सीमा को साथ देखें।
आयतन 1L पर स्थिर है और अम्ल मिलाने पर भी नहीं बदलता। pKa = 5 वाला काल्पनिक दुर्बल अम्ल उपयोग किया गया है। ये वास्तविक पदार्थ के माप या विलयन तैयार करने की शर्तें नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद अम्ल की मात्रा बदलने पर
संयुग्मी क्षार आए हुए H+ को स्वीकार करके दुर्बल अम्ल में बदलता है, तो pH में बदलाव कम हो सकता है। लेकिन उसे स्वीकार करने वाले संयुग्मी घटक की मात्रा सीमित होती है।
पहले A− + H+ → HA की मात्रात्मक अभिक्रिया की गणना की जाती है। संयुग्मी क्षार जितना H+ स्वीकार करता है, उतना A− घटता और HA बढ़ता है। चित्र की मात्राएँ उदासीनीकरण से गणना किए गए मान हैं; वे अल्प अम्ल वियोजन और जल के साम्य को शामिल करने वाली सटीक आयनिक मात्राएँ नहीं हैं। Henderson–Hasselbalch सन्निकटन सूत्र pH ≈ pKa + log₁₀(A− ÷ HA) है। समान अनुपात वाले दो विलयनों का प्रारंभिक अनुमानित pH समान होता है, लेकिन अधिक दुर्बल अम्ल और संयुग्मी क्षार वाला विलयन उतने ही प्रबल अम्ल को pH में कम बदलाव के साथ स्वीकार कर सकता है। यह गतिविधि सन्निकटन तभी दिखाती है, जब गणना के बाद कम से कम 10mmol A− बचा हो और A− ÷ HA का अनुपात 0.1~10 हो। सीमा से बाहर होने पर ‘सन्निकटन सीमा से बाहर’ दिखाया जाता है; इसका अर्थ वास्तविक pH का न होना या 0 होना नहीं है। तैयार संयुग्मी क्षार पूरा खर्च होने के बाद बचा प्रबल अम्ल दिखाया जाता है, लेकिन इस सूत्र से आगे pH की गणना नहीं की जाती। यह दुर्बल अम्ल और संयुग्मी क्षार की मात्रात्मक अभिक्रिया के बाद लागू आदर्श विलयन का सन्निकटन है; सटीक अम्ल वियोजन साम्य, आयनिक सक्रियता और आयतन परिवर्तन की गणना नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: बफ़र विलयन और बफ़र क्षमता
भौतिकी · बल आघूर्ण
जितनी दूर दबाएँ,
क्या उतना आसानी से घूमेगा?
छड़ के दाईं ओर बल का परिमाण, स्थान और दिशा बदलें।
बाईं ओर के स्थिर बल और बलाघूर्ण से तुलना करके घूर्णन संतुलन खोजें।
बाईं ओर आधार से 1m की दूरी पर नीचे की ओर 20N बल लगाया जाता है। दाईं ओर का कोण छड़ की दाईं दिशा से नीचे की ओर मापा जाता है; 90° पर बल सीधे नीचे दबाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद बल लगाने का स्थान बदलने पर
बलाघूर्ण केवल बल के परिमाण पर नहीं, बल्कि आधार से दूरी और बल की दिशा पर भी निर्भर करता है।
बलाघूर्ण का परिमाण τ = rF sin θ है। r sin θ लीवर भुजा है, यानी घूर्णन अक्ष से बल की क्रिया रेखा तक की लंबवत दूरी। वही बल दोगुनी दूरी पर लंबवत लगाने पर बलाघूर्ण दोगुना होता है; उसी दूरी और बल पर उसे 30° के कोण पर लगाने से बलाघूर्ण आधा होता है। छड़ के समानांतर 0° और 180° पर बलाघूर्ण 0 होता है, इसलिए केवल दाएँ बल से बाएँ बलाघूर्ण को संतुलित नहीं किया जा सकता। ‘संतुलन बल’ आवश्यक बल का गणना किया मान है और यह समायोजन सीमा 10~40N से बड़ा भी हो सकता है। कुल बलाघूर्ण + हो तो शुरू में वामावर्त और − हो तो दक्षिणावर्त घुमाने का प्रभाव होता है। 0 इस मॉडल का घूर्णन संतुलन है; इसका अर्थ किसी स्वतंत्र वस्तु पर सभी बलों का संतुलित होना नहीं है। आधार स्थिर है और उसका प्रतिक्रिया बल छड़ के स्थानांतरण को सीमित करता है। भारहीन कठोर छड़ को शुरू में विराम पर और घूर्णन घर्षण से मुक्त माना गया है; समय के साथ गति की गणना नहीं की जाती। बलाघूर्ण की इकाई N·m को ऊर्जा दर्शाने वाले J में बदलकर नहीं दिखाया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: बलाघूर्ण और लीवर भुजा · OpenStax: बल और बलाघूर्ण का संतुलन
अर्थव्यवस्था व समाज · नीलामी विधियाँ
सबसे ऊँची बोली लगाने पर भी,
क्या अपनी बोली की रकम देनी होगी?
एक काल्पनिक वस्तु के लिए A·B·C लिफ़ाफ़ों में अपनी बोली लिखकर देते हैं।
बोलियाँ समान रखकर केवल विजेता के भुगतान का नियम बदलें।
A के लिए वस्तु का मूल्य 80 अंक पर स्थिर है। बोली और मूल्य अलग हैं। सबसे ऊँची बोली बराबर होने पर विजेता चुनने का एक अतिरिक्त नियम चाहिए।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद भुगतान का नियम बदलने पर
एक ही व्यक्ति जीते, तब भी भुगतान इस पर निर्भर करता है कि वह अपनी बोली चुकाता है या अगली सबसे ऊँची बोली।
यदि सबसे ऊँची बोली केवल एक व्यक्ति की है, तो दोनों नियमों में वही जीतता है। 1-मूल्य सीलबंद नीलामी में विजेता अपनी बोली चुकाता है, और 2-मूल्य सीलबंद नीलामी में अन्य प्रतिभागियों की सबसे ऊँची बोली चुकाता है। न जीतने वाले 0 अंक चुकाते हैं। A के जीतने पर उसका शुद्ध लाभ 80 − भुगतान होता है, और न जीतने पर 0 होता है। यदि A की बोली 90 अंक हो और वह 1-मूल्य नियम में जीत जाए, तो उसका शुद्ध लाभ −10 अंक हो सकता है। सबसे ऊँची बोली बराबर होने पर मनमाने ढंग से विजेता नहीं चुना जाता; भुगतान और शुद्ध लाभ ‘अनिर्धारित’ दिखाए जाते हैं। यह एक वस्तु, एक बार की बोली तथा काल्पनिक मूल्य और अंकों वाला मॉडल है; इसमें न्यूनतम विक्रय मूल्य, प्रवेश शुल्क या कमीशन नहीं है। प्रतिभागियों की रणनीतियों, जानकारी के अंतर या सभी नीलामियों के लिए सर्वोत्तम रणनीति की गणना नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: नीलामी के भुगतान नियम और रणनीतियाँ (PDF)
पृथ्वी व अंतरिक्ष · परिक्रमण काल
दूर की कक्षा में एक चक्कर,
क्या समय भी अधिक लगेगा?
काल्पनिक वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या और केंद्रीय तारे का द्रव्यमान बदलें।
परिक्रमण काल और चाल की तुलना करें तथा समय बदलकर वर्तमान स्थिति देखें।
1AU और 1 सौर द्रव्यमान वाली वृत्ताकार कक्षा का परिक्रमण काल 1 मॉडल वर्ष तथा चाल 1 गुना रखी गई है। 1 मॉडल वर्ष पृथ्वी के परिक्रमण काल के करीब चुना गया संदर्भ है; यह वास्तविक खगोलीय पिंड की सटीक स्थिति का पूर्वानुमान नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद कक्षा की स्थितियाँ बदलने पर
समान केंद्रीय द्रव्यमान पर वृत्ताकार कक्षा जितनी दूर होगी, चाल उतनी कम और एक चक्कर पूरा करने का समय उतना अधिक होगा।
वृत्ताकार कक्षा में गुरुत्वाकर्षण अभिकेंद्रीय बल प्रदान करे, तो परिक्रमण काल T ∝ √(r³ ÷ M) और चाल v ∝ √(M ÷ r) होती है। यहाँ त्रिज्या r को AU और M को सौर द्रव्यमान में लेकर T = √(r³ ÷ M) मॉडल वर्ष तथा संदर्भ के सापेक्ष चाल = √(M ÷ r) गुना के रूप में सामान्यीकृत किया गया है। समान द्रव्यमान पर त्रिज्या दोगुनी करने से परिक्रमण काल √8 गुना और चाल 1 ÷ √2 गुना होती है। समान त्रिज्या पर केंद्रीय द्रव्यमान दोगुना करने से परिक्रमण काल 1 ÷ √2 गुना और चाल √2 गुना होती है। संचयी चक्करों की संख्या समय ÷ परिक्रमण काल है, और वर्तमान कोण उनमें से एक चक्कर के भीतर की स्थिति दर्शाता है। माना गया है कि केंद्रीय तारे का द्रव्यमान परिक्रमा करने वाली वस्तु से बहुत अधिक है और कक्षा वृत्ताकार है। प्रत्येक सेटिंग अलग-अलग संभावित कक्षाओं की तुलना करती है; यह अंतरिक्षयान की कक्षा में तत्काल बदलाव को पुनरुत्पादित नहीं करती। तारे के चित्र का आकार स्थिर है; इसका अर्थ द्रव्यमान से वास्तविक तारे की त्रिज्या निकालना नहीं है। दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं, कई पिंडों की परस्पर क्रिया या वास्तविक ग्रहों की स्थितियों की गणना नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: गुरुत्वाकर्षण और परिक्रमण काल
IT · तालिकाओं का संयोजन
एक ही कुंजी से जोड़ने पर भी,
पंक्तियाँ बढ़ती हैं या गायब हो जाती हैं।
बाईं तालिका के A·B·C को दाईं तालिका की कुंजियों से मिलाएँ।
दाएँ डेटा और जोड़ने की विधि बदलकर परिणाम की हर पंक्ति देखें।
बाईं तालिका 3 पंक्तियों पर स्थिर है। NULL संख्या 0 या खाली स्ट्रिंग नहीं है; यह संबंधित दाईं पंक्ति के न होने का संकेत है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद तालिकाओं का मिलान बदलने पर
जोड़ समान कुंजी वाली सभी पंक्तियों के जोड़े बनाता है। दाईं कुंजी दोहराई गई हो, तो बाईं ओर की एक पंक्ति परिणाम में कई पंक्तियाँ बन सकती है।
INNER JOIN समान कुंजी से मेल खाने वाली पंक्तियों के सभी जोड़े परिणाम में रखता है। जिन बाईं या दाईं पंक्तियों का मिलान नहीं मिलता, वे हट जाती हैं। LEFT JOIN भी सभी जोड़े रखता है, लेकिन प्रत्येक ऐसी बाईं पंक्ति के लिए जिसका कोई मिलान नहीं है, दाएँ मान NULL वाली एक पंक्ति जोड़ता है। इसलिए LEFT JOIN बाएँ डेटा को सुरक्षित रखता है, लेकिन परिणाम हमेशा बाईं तालिका जितनी ही 3 पंक्तियों का हो, यह आवश्यक नहीं। दाईं ओर A की दो पंक्तियाँ हों, तो बाईं A का दो बार मिलान होता है। अलग कुंजियाँ D·E बाईं A·B·C से मेल नहीं खातीं। यह स्क्रीन छोटी स्थिर तालिकाओं की तुलना करती है और वास्तविक डेटाबेस से नहीं जुड़ती। समझाने के लिए पंक्तियों का क्रम बाईं और दाईं तालिका के क्रम के अनुसार स्थिर रखा गया है; वास्तविक SQL में क्रम सुनिश्चित करने के लिए ORDER BY आवश्यक है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · PostgreSQL: तालिकाओं का जोड़ · PostgreSQL: SELECT और जुड़ी हुई तालिकाएँ
गणित व सांख्यिकी · वक्र के नीचे का क्षेत्रफल
छोटे क्षेत्रफल जोड़ने पर,
वक्र के करीब पहुँचते हैं।
y = x² के नीचे x = 0 से 2 तक के क्षेत्रफल को भागों में बाँटें।
भागों की संख्या और ऊँचाई चुनने की विधि बदलकर सटीक क्षेत्रफल से तुलना करें।
फलन x² और अंतराल [0, 2] स्थिर हैं। त्रुटि का चिह्न अधिक या कम होने को दर्शाता है, और चिह्न हटाने पर अंतर का परिमाण निरपेक्ष त्रुटि है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद क्षेत्रफल को भागों में बाँटने पर
छोटे अंतरालों के क्षेत्रफल जोड़कर वक्र के नीचे के क्षेत्रफल का सन्निकटन कर सकते हैं। भागों की संख्या समान होने पर भी चुनी गई ऊँचाई से अंतर पड़ता है।
भागों की संख्या n हो, तो चौड़ाई Δx = 2 ÷ n होती है। आयतों के लिए चुने गए स्थान का x² × Δx जोड़ा जाता है, और समलंबों के लिए दोनों सिरों की ऊँचाई का औसत × Δx जोड़ा जाता है। इस वक्र का सटीक क्षेत्रफल ∫₀² x² dx = 8 ÷ 3 है। यहाँ बढ़ता हुआ, ऊपर की ओर उत्तल x² उपयोग किया गया है, इसलिए बाएँ सिरे और मध्यबिंदु के अनुमान कम, जबकि दाएँ सिरे और समलंब के अनुमान अधिक होते हैं। यह संबंध सभी फलनों पर उसी तरह लागू नहीं किया जा सकता। प्रदर्शित मान दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित हैं; गणना में पूर्णांकन से पहले के मान उपयोग होते हैं। y की कोई वास्तविक भौतिक इकाई निर्धारित नहीं की गई है, और x² के [0, 2] अंतराल के क्षेत्रफल को प्रायिकता नहीं माना जाता। प्रायिकता घनत्व फलन के लिए कुल क्षेत्रफल 1 होने जैसी शर्तें अलग से जाँचनी होंगी।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: छोटे योगों से क्षेत्रफल का सन्निकटन · OpenStax: मध्यबिंदु और समलंब समाकलन
जीव विज्ञान व पर्यावरण · सतह और आयतन
अंदर का आयतन तेजी से बढ़ता है,
क्या सतह भी पर्याप्त होगी?
एक गोले का आकार और उसी कुल आयतन को बाँटने वाले छोटे गोलों की संख्या बदलें।
ज्यामितीय मॉडल से सतह के माध्यम से विनिमय और अंदर के आयतन का संबंध देखें।
वृत्त गोले का अनुप्रस्थ काट दिखाते हैं, जबकि संख्याएँ पूरे गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की हैं। मूल गोले और छोटे गोलों को समान लंबाई पैमाने पर बनाया गया है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद आकार और विभाजन बदलने पर
गोला बड़ा होने पर आयतन त्रिज्या के घन और पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वर्ग के अनुसार बढ़ता है। समान कुल आयतन को छोटे गोलों में बाँटने पर नई सतह बढ़ती है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr², आयतन 4πr³ ÷ 3 और पृष्ठीय क्षेत्रफल/आयतन 3 ÷ r है। त्रिज्या R वाले गोले के आयतन को N समान गोलों में बाँटने पर छोटी त्रिज्या R ÷ ∛N और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल का ∛N गुना होता है। 8 गोलों पर पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 गुना और 64 गोलों पर 4 गुना होता है। विभाजन में केवल कुल आयतन बनाए रखा जाता है; नई सतह बनती है और प्रत्येक गोले की सतह स्वतंत्र रूप से खुली मानी जाती है। यह छोटे गोलों को मूल गोले में बिना खाली जगह के भरने का चित्र नहीं है और वास्तविक कोशिका विभाजन को पुनरुत्पादित नहीं करता। यह सतह पर विनिमय के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल और आयतन के समानुपाती आंतरिक माँग के संबंध को समझने का मॉडल है। वास्तविक कोशिकाओं के आकार, झिल्ली की तहों, परिवहन प्रणालियों और चयापचय दरों में अंतर होता है, इसलिए केवल इस अनुपात से विनिमय की दर या जीवित रह सकने वाला आकार नहीं बताया जा सकता। दशमलव मान पूर्णांकित हैं; गणना में पूर्णांकन से पहले के मान उपयोग होते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: कोशिका का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
जीवन व सामान्य ज्ञान · पंक्ति विभाजन और खाली जगह
पहली पंक्तियाँ भरने से,
क्या कुल लागत भी घटेगी?
शब्दों का क्रम बनाए रखकर निर्धारित चौड़ाई में पंक्तियाँ बाँटें।
पहली पंक्तियाँ भरने वाली व्यवस्था और कम कुल रिक्त-स्थान लागत वाली व्यवस्था की तुलना करें।
प्रत्येक अक्षर और शब्दों के बीच का रिक्त स्थान 1 इकाई चौड़ा है। शब्द नहीं तोड़े जाते और अंतिम पंक्ति की लागत 0 रखी गई है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद पंक्ति-विभाजन का नियम बदलने पर
पहली पंक्ति को जितना संभव हो भरने से कुल लागत हमेशा न्यूनतम नहीं होती। अगली पंक्तियों की खाली जगह की भी साथ तुलना करनी चाहिए।
पहली पंक्ति को प्राथमिकता देने वाली व्यवस्था में जब तक अगला शब्द समा सकता है, पंक्ति भरी जाती है, फिर नई पंक्ति शुरू होती है। न्यूनतम लागत वाली व्यवस्था संभावित पंक्ति-विभाजनों की तुलना करके बची चौड़ाई के वर्गों या घनों के सबसे छोटे योग वाला परिणाम खोजती है। इस गतिविधि में अंतिम पंक्ति की लागत 0 रखी गई है और एक पंक्ति में शब्दों के बीच केवल 1 इकाई का रिक्त स्थान रखा जाता है। शब्दों का क्रम बना रहता है; उन्हें छोड़ना, दोहराना या तोड़ना अनुमत नहीं है। चौड़ाई 6 पर ‘one of’ से शुरू करने पर अगली ‘us’ वाली पंक्ति में खाली जगह 4 होती है और वर्ग लागत 16 होती है। ‘one’ और ‘of us’ में बाँटने पर लागत घटकर 9 + 1 = 10 होती है। न्यूनतम लागत बराबर होने पर पहले कम पंक्तियों वाली व्यवस्था चुनी जाती है; पंक्तियाँ भी बराबर हों, तो शुरुआती पंक्तियों में अधिक शब्द वाली व्यवस्था दिखाई जाती है। कई इष्टतम व्यवस्थाओं में से एक दिखाई जा सकती है। यह समान अक्षर चौड़ाई वाले छोटे अंग्रेज़ी शब्दों की काल्पनिक लागत का मॉडल है; यह वास्तविक लेखन की सुंदरता या पठनीयता का निर्णय नहीं करता। आनुपातिक फ़ॉन्ट, कोरियाई विराम चिह्न, भाषा के अनुसार पंक्ति-विभाजन और हाइफ़न लगाने की गणना नहीं की जाती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: कुल लागत की तुलना से पंक्ति-विभाजन
रसायन विज्ञान · गैस की अवस्था
जगह घटाएँ तो,
दाब कैसे बदलेगा?
समान मात्रा की आदर्श गैस का तापमान और आयतन बदलें।
संदर्भ अवस्था से तुलना करके देखें कि दाब को क्या प्रभावित करता है।
गैस की मात्रा 0.1mol पर स्थिर है। संदर्भ 300K·5L है, और चित्र के 20 बिंदु वास्तविक अणुओं की संख्या नहीं, बल्कि समान मात्रा दर्शाने वाले संकेत हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद तापमान और जगह बदलने पर
समान मात्रा की आदर्श गैस का परम तापमान जितना अधिक और आयतन जितना कम होगा, दाब उतना अधिक होगा। क्या स्थिर रखा गया है, यह महत्वपूर्ण है।
आदर्श गैस का अवस्था समीकरण PV = nRT है। यहाँ n = 0.1mol और R = 8.314462618J/(mol·K) है; आयतन L और दाब kPa में लेने पर kPa × L = J होता है। दाब nRT ÷ V से निकाला जाता है और तापमान हमेशा परम तापमान K में लिया जाता है। सेल्सियस केवल K − 273.15 से बदलकर दिखाया जाता है; उसे अनुपात की गणना में उपयोग नहीं किया जाता। केवल स्थिर तापमान पर दाब × आयतन स्थिर रहता है; तापमान बढ़ने पर यह गुणनफल भी बढ़ता है। गैस के दोनों चित्र समान आयतन पैमाने और समान संख्या के प्रतिनिधि बिंदुओं का उपयोग करते हैं। बिंदु वास्तविक कणों की संख्या या टकराव की प्रक्रिया को पुनरुत्पादित नहीं करते। यह आदर्श गैस मॉडल अणुओं के बीच के बल और स्वयं कणों के आयतन की उपेक्षा करता है, इसलिए वास्तविक गैस की उच्च दाब अवस्था, द्रवीकरण या अवस्था परिवर्तन का पूर्वानुमान नहीं देता। प्रदर्शित मान पूर्णांकित हैं; गणना में पूर्णांकन से पहले के मान उपयोग होते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: आदर्श गैस का दाब, आयतन और तापमान · OpenStax: गैस का आणविक गति मॉडल
भौतिकी · कोणीय संवेग
घूर्णन अक्ष के करीब,
कितना तेज़ घूमेगा?
दोनों ओर के द्रव्यमानों को घूर्णन अक्ष की ओर या उससे दूर समान दूरी तक खिसकाएँ।
तुलना करें कि कोणीय संवेग और घूर्णन ऊर्जा में अलग-अलग क्या बदलाव आता है।
शुरुआत में दोनों ओर की दूरी 1m है। यह आदर्श घूर्णन मॉडल है, जिसमें केंद्रीय घूर्णक का घूर्णन जड़त्व 1kg·m² और दोनों ओर के दो बिंदु-द्रव्यमानों में प्रत्येक का द्रव्यमान 1kg पर स्थिर है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद द्रव्यमानों की दूरी बदलने पर
द्रव्यमान अक्ष के करीब आने पर घूर्णन जड़त्व घटता है और कोणीय वेग बढ़ता है। कोणीय संवेग समान होने पर भी घूर्णन ऊर्जा समान नहीं होती।
कोणीय संवेग L = Iω और घूर्णन गतिज ऊर्जा K = Iω² ÷ 2 है। दोनों ओर के 1kg बिंदु द्रव्यमानों की अक्ष से दूरी r हो, तो कुल जड़त्व आघूर्ण I = 1kg·m² + 2 × 1kg × r² है। आरंभ में r = 1m है, इसलिए I = 3kg·m² है। घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बाहरी बल आघूर्ण न होने पर पहले और बाद का कोणीय संवेग समान रहता है, और बदलाव के बाद कोणीय वेग L ÷ I से तय होता है। विन्यास बदलने में किया गया शुद्ध आंतरिक कार्य घूर्णन ऊर्जा का परिवर्तन W = Kबाद − Kपहले है। भीतर ले जाने के लिए धनात्मक कार्य देना पड़ता है; बाहर ले जाते समय ऋणात्मक कार्य आदर्श रूप से ऊर्जा वापस पाने को दर्शाता है। तुलना के पहले और बाद के क्षणों में द्रव्यमानों का त्रिज्यीय वेग 0 माना गया है। घर्षण, वायु प्रतिरोध और ऊष्मीय हानि शामिल नहीं हैं; यह मानव बाँहों या वास्तविक शारीरिक गति की गणना का मॉडल नहीं है। दोनों विन्यास समान दूरी पैमाने पर बनाए गए हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: कोणीय संवेग का संरक्षण · OpenStax: जड़त्व आघूर्ण की गणना
अर्थव्यवस्था व समाज · डूबी लागत
पहले हो चुका खर्च और,
आगे का चुनाव?
वापस न मिलने वाली पिछली लागत तथा भविष्य की लागत और लाभ बदलें।
जारी रखने और रोकने का अंतर काल्पनिक अंकों में तुलना करके देखें।
रोकने पर भविष्य की लागत और लाभ दोनों 0 हैं। पिछली लागत दोनों विकल्पों में समान बनी रहती है, और कुल अंक घटने का रिकॉर्ड भी दिखता रहता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद लागत और लाभ बदलकर देखा तो
पहले हो चुका खर्च रिकॉर्ड से मिटता नहीं है। लेकिन दोनों विकल्पों में समान होने के कारण भविष्य का अंतर निकालते समय वह कट जाता है।
जारी रखने के कुल अंक हैं −पिछली लागत −भावी लागत +भावी लाभ, और रोकने के कुल अंक हैं −पिछली लागत। दोनों को घटाने पर जारी रखना −रोकना = भावी लाभ −भावी लागत मिलता है, इसलिए पिछली लागत कट जाती है। अंतर धनात्मक हो तो जारी रखने के, ऋणात्मक हो तो रोकने के अंक अधिक हैं; 0 हो तो दोनों विकल्प समान हैं। दोनों के कुल अंक ऋणात्मक होने पर भी भविष्य का शुद्ध लाभ धनात्मक हो, तो जारी रखने से कम नुकसान हो सकता है। यह काल्पनिक अंकों का मॉडल है जिसमें रोकने पर धनवापसी, पुनर्विक्रय या जुर्माना नहीं है, भविष्य के मान निश्चित हैं और पिछली लागत किसी भी विकल्प में वापस नहीं मिलती। वापस मिल सकने वाली लागत और चुनाव के अनुसार बदलने वाले परिणाम भविष्य की तुलना में अलग से शामिल करने चाहिए।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: निर्णय से संबंधित लागत और डूबी हुई लागत
पृथ्वी व अंतरिक्ष · प्लेट सीमाएँ
अलग-अलग गतियों से अधिक,
आपसी दिशाओं का अंतर
सीमा के दोनों ओर की प्लेटों के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग बदलें।
सापेक्ष गति को घटकों में बाँटकर अभिसरण, अपसरण, पार्श्व खिसकाव और तिरछी गति देखें।
सीमा एक स्थिर ऊर्ध्वाधर रेखा है। दाईं दिशा +क्षैतिज और ऊपर की दिशा +ऊर्ध्वाधर है; सापेक्ष वेग B − A से निकालते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद दोनों प्लेटों के वेग बदलकर देखा तो
दो प्लेटों के बीच सीमा का बदलाव प्रत्येक प्लेट के वेग से अधिक उनके सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है। सीमा के लंबवत और समानांतर गति को अलग-अलग देखें।
लंबवत घटक है B का क्षैतिज वेग −A का क्षैतिज वेग, और समानांतर घटक है B का ऊर्ध्वाधर वेग −A का ऊर्ध्वाधर वेग। लंबवत घटक ऋणात्मक हो तो अभिसरण और धनात्मक हो तो अपसरण होता है। लंबवत घटक 0 हो और केवल समानांतर घटक हो, तो यह रूपांतर सीमा का पार्श्व खिसकाव है। दोनों घटक हों, तो अभिसरण +पार्श्व खिसकाव या अपसरण +पार्श्व खिसकाव की तिरछी गति भी दिखाई जाती है। दोनों प्लेटों का वेग समान हो, तो दोनों के चलते हुए भी सापेक्ष विराम होता है। सापेक्ष चाल दोनों घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल है और दिशात्मक घटकों से अलग है। चित्र स्थिर सीमा के सापेक्ष वेग सदिशों की तुलना करने वाला समतल अवधारणात्मक आरेख है; यह वास्तविक भूमि की गति या टक्कर को पुनः प्रस्तुत नहीं करता। अभिसरण से हमेशा अधोगमन नहीं होता; यह प्लेटों के प्रकार और भूवैज्ञानिक परिस्थितियों पर निर्भर है। इस गतिविधि के मानों से भूकंप की घटना, परिमाण, समय या वास्तविक भ्रंश की सक्रियता का पूर्वानुमान नहीं लगाया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · USGS: तीन प्रकार की प्लेट सीमाएँ और सापेक्ष गति
IT · संकेत का नमूनाकरण
समान बिंदुओं से गुजरने वाले,
अलग-अलग तरंगरूप
संकेत की आवृत्ति और 1 सेकंड में मान दर्ज करने की संख्या बदलें।
बिंदुओं के बीच छिपे बदलाव और समान बिंदुओं से गुजरने वाले अलग तरंगरूपों की तुलना करें।
20 बार/सेकंड पर 1 सेकंड को 20 अंतरालों में बाँटकर दोनों सिरों सहित 21 बिंदु दर्ज करते हैं। दोनों तरंगरूप 0 सेकंड पर 1 मान से शुरू होते हैं; वक्र बिंदुओं के बीच मॉडल के मान दिखाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद मान दर्ज करने का अंतराल बदलकर देखा तो
तेज तरंगरूप को भी केवल दूर-दूर के समय बिंदुओं पर देखने से धीमे तरंगरूप जैसे मान मिल सकते हैं। केवल नमूना बिंदुओं से दोनों में अंतर नहीं किया जा सकता।
मूल तरंगरूप cos(2πft) है और नमूनाकरण के समय t = n ÷ fₛ हैं। f संकेत की आवृत्ति है और fₛ, 1 सेकंड में मान दर्ज करने की संख्या है। f को fₛ से भाग देने पर शेषफल r हो, तो फोल्ड हुई आवृत्ति min(r, fₛ − r) है, जो 0 से fₛ ÷ 2 के बीच होती है। इस गतिविधि में दोनों कोसाइन तरंगरूपों की आरंभिक कला 0 पर स्थिर है, इसलिए सभी नमूना बिंदुओं पर मान समान हैं। फोल्ड हुई आवृत्ति 0 होने पर सभी बिंदुओं का मान 1 हो सकता है, फिर भी मूल संकेत उनके बीच दोलन करता है। 0 सेकंड और 1 सेकंड दोनों शामिल होने से बिंदुओं की संख्या fₛ + 1 है; बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा मूल संकेत का पुनर्निर्माण नहीं है। आदर्श बैंड-सीमित संकेतों में भेद करने के लिए नमूनाकरण आवृत्ति उच्चतम आवृत्ति के दोगुने से अधिक होनी चाहिए। ठीक दोगुनी आवृत्ति की सीमा पर आरंभिक कला के अनुसार सूचना खो सकती है, इसलिए इसे पुनर्निर्माण की सामान्य गारंटी न मानें। यह एक तरंगरूप के नमूनाकरण का मॉडल है, जो हार्डवेयर की ध्वनि या चित्र गुणवत्ता, शोर या फ़िल्टर की गणना नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: नमूनाकरण और एलियासिंग (PDF)
गणित व सांख्यिकी · तात्क्षणिक परिवर्तन दर
दो बिंदुओं का परिवर्तन और,
एक बिंदु पर परिवर्तन दर
वक्र पर आरंभिक स्थान और दो बिंदुओं का अंतराल बदलें।
देखें कि औसत परिवर्तन दर कैसे तात्क्षणिक परिवर्तन दर के निकट आती है।
फलन y = x² पर स्थिर है। दूसरा बिंदु x + h है और h हमेशा धनात्मक है, इसलिए वास्तव में 0 नहीं रखा जाता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद दोनों बिंदु पास लाकर देखा तो
औसत परिवर्तन दर दो बिंदुओं के बीच y के परिवर्तन को x के अंतराल से भाग देने पर मिलती है। अंतराल को 0 के निकट घटाने पर मिलने वाली सीमा से तात्क्षणिक परिवर्तन दर परिभाषित होती है।
y = x² में औसत परिवर्तन दर [(x + h)² − x²] ÷ h = 2x + h है, और आरंभिक बिंदु की तात्क्षणिक परिवर्तन दर 2x है। दोनों का अंतर h है, इसलिए अंतराल घटने पर अंतर भी घटता है। यह परिणाम यहाँ चुने गए द्विघात फलन के लिए है; हर वक्र में त्रुटि h नहीं होती। अंतराल धनात्मक रहते हुए औसत परिवर्तन दर तात्क्षणिक परिवर्तन दर के ठीक बराबर नहीं होती। चित्र में छेदक रेखा दोनों बिंदुओं को जोड़ती है और स्पर्शरेखा का छोटा रेखाखंड आरंभिक बिंदु की तात्क्षणिक ढाल दिखाता है। स्पर्शरेखा की परिभाषा ‘वक्र से केवल एक बार मिलने वाली रेखा’ नहीं है। y का परिवर्तन और y की इकाई/x की इकाई में व्यक्त परिवर्तन दर की इकाइयाँ भी अलग हैं। ऋणात्मक परिवर्तन दर बताती है कि x बढ़ने पर y घटता है। यह समय या दूरी के आँकड़ों के बिना एक फलन मॉडल है, इसलिए इसके मान वास्तविक वेग या भविष्य के बदलाव का पूर्वानुमान नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: औसत परिवर्तन दर और अवकलज की परिभाषा
जीव विज्ञान व पर्यावरण · आनुवंशिक विचलन
कोई लाभ न होने पर भी,
अनुपात बदलता है।
समान आरंभिक अनुपात से अगली पीढ़ी की जीन प्रतियाँ चुनें।
प्रतियों की संख्या, पीढ़ियों की संख्या और दोहराए गए प्रयोग बदलकर संयोग का प्रभाव देखें।
आरंभ में A 50% और B 50% हैं। प्रतियों की संख्या N जीन प्रतियों की संख्या है; यह जीन की दो प्रतियाँ रखने वाले जीवों की संख्या से अलग है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद लगातार पीढ़ियों की प्रतियाँ चुनकर देखा तो
किसी को अधिक लाभ न होने पर भी अगली पीढ़ी यादृच्छिक रूप से चुनने पर अनुपात बदल सकता है। आवृत्ति के ऐसे संयोगजन्य परिवर्तन को आनुवंशिक विचलन कहते हैं।
यह एक उदासीन मॉडल है जिसमें हर पीढ़ी के लिए पिछली पीढ़ी से N प्रतियाँ स्वतंत्र रूप से, चुनी गई प्रति वापस रखकर चुनी जाती हैं। A चुने जाने की प्रायिकता पिछली पीढ़ी में A की आवृत्ति है; A और B में प्रजनन लाभ, उत्परिवर्तन या प्रवासन नहीं है। आरंभ और अंत के चित्रों में प्रत्येक की सभी N प्रतियाँ दिखाई जाती हैं। आवृत्ति 0 या 100% होने पर इस मॉडल में आगे भी वैसी ही रहती है, क्योंकि नई प्रतियाँ बाहर से नहीं आतीं। आरंभिक आवृत्ति 0.5 होने पर g पीढ़ियों बाद आवृत्ति का सैद्धांतिक मानक विचलन √{0.25 × [1 − (1 − 1/N)ᵍ]} है। यह आदर्श दोहराए प्रयोगों के पूरे वितरण का मान है; यह स्क्रीन के 8 प्रयोगों से निकाला गया मानक विचलन या वर्तमान परिणाम की त्रुटि सीमा नहीं है। प्रतियाँ कम होने पर सैद्धांतिक मानक विचलन अधिक होता है, लेकिन हर अलग प्रयोग में बदलाव अधिक होने की गारंटी नहीं है। % आवृत्ति है और %p दो प्रतिशतों का अंतर है। प्रयोग संख्या समान सेटिंग पर दोबारा देखे जा सकने वाले मॉडल के दोहराव को चुनती है। प्रतियों की संख्या बदलने पर मॉडल के प्रयोग अलग होते हैं; इससे वास्तविक आबादी के विकास या स्वास्थ्य का पूर्वानुमान नहीं लगाया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: जनसंख्या आनुवंशिकी और आनुवंशिक विचलन · Simons Institute: उदासीन प्रति-चयन मॉडल (PDF)
जीवन व सामान्य ज्ञान · व्हाइट बैलेंस
प्रकाश से बदलता रंग,
आधार क्या हो?
समान सामग्रियों पर पड़ने वाला प्रकाश और सुधार का आधार बदलें।
धूसर को आधार बनाने और रंगीन सामग्री चुनने की तुलना करें।
चैनलों का अंतर चुने गए आधार रंग में नहीं, वास्तविक धूसर सामग्री में निकाला जाता है। सामग्रियाँ स्थिर रखकर केवल प्रकाश और सुधार बदलते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद सुधार का आधार बदलकर देखा तो
प्रकाश की रंगत हटाने के लिए वास्तव में तटस्थ सफेद या धूसर को आधार चुनना चाहिए। रंगीन सामग्री को तटस्थ मानने से अन्य रंग विकृत हो सकते हैं।
प्रेक्षित रैखिक RGB के लिए सामग्री के निश्चित परावर्तन मानों को प्रकाश के मानों से चैनलवार गुणा करते हैं। चुने गए आधार के तीन चैनलों का औसत लक्ष्य मान है, और लक्ष्य मान ÷ प्रत्येक चैनल का मान सुधार गुणक है। लागू अनुपात 0% होने पर गुणक 1 है, और 100% होने पर गणना किए गए गुणक पूरे लागू होते हैं। यह अंकगणितीय औसत मॉडल में तय चमक का आधार है; यह भौतिक ज्योतिर्मयता या सफेद की अधिकतम चमक नहीं है। वास्तविक धूसर के अधिकतम चैनल मान −न्यूनतम चैनल मान से तटस्थता की तुलना होती है। रंगीन आधार चुनने पर आधार के अपने चैनल समान हो जाने के बावजूद वास्तविक धूसर बदल सकता है। गणना रैखिक RGB में होती है और सुधार के बाद स्क्रीन के रंग sRGB में बदले जाते हैं। केवल रूपांतरण के समय मान 0~1 सीमा में काटकर दिखाए जाते हैं; 1 से अधिक वाले चैनलों की संख्या अलग बताई जाती है। आँकड़े प्रदर्शन सीमा में काटने से पहले के मानों से निकाले जाते हैं, इसलिए स्क्रीन पर कटे रंग और गणना के मान अलग हैं। यह सरल चैनलवार प्रकाश और सुधार का मॉडल है; यह वास्तविक प्रकाश स्रोत के स्पेक्ट्रम, रंग तापमान, कैमरा सुधार या मनुष्य की सटीक रंग अनुभूति को पुनः प्रस्तुत नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Adobe: श्वेत संतुलन के लिए तटस्थ रंग का आधार · W3C: रैखिक RGB और sRGB का रूपांतरण
रसायन विज्ञान · दो प्रावस्थाओं के बीच वितरण
साथ शुरू करने पर भी,
ठहरने का समय अलग है।
दो घटक गतिशील प्रावस्था और स्थिर प्रावस्था में बँटकर ठहरते हैं।
विभाजन की मात्रा और प्रवाह दर बदलकर तुलना करें कि कौन-सा घटक पहले निकलता है।
यह 10cm लंबाई तथा गतिशील और स्थिर प्रावस्थाओं में प्रत्येक का 1mL आयतन वाला आदर्श मॉडल है। K = स्थिर प्रावस्था की सांद्रता ÷ गतिशील प्रावस्था की सांद्रता है और इसकी कोई इकाई नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद ठहरने का अनुपात बदलकर देखा तो
स्थिर प्रावस्था में अधिक ठहरने वाला घटक गतिशील प्रावस्था के साथ कम समय चलता है, इसलिए देर से निकलता है। घटकों का विभाजन अलग हो, तो साथ शुरू करने पर भी पहुँचने का समय अलग होता है।
माना गया है कि दोनों प्रावस्थाओं के बीच रैखिक विभाजन साम्य तेजी से स्थापित होता है। स्थिर और गतिशील प्रावस्थाओं के आयतन समान हैं, इसलिए गतिशील प्रावस्था का अंश 1 ÷ (1 + K) और स्थिर प्रावस्था का अंश K ÷ (1 + K) है। यह दो पदार्थों के एक-दूसरे में बदलने वाली अभिक्रिया या विलायक जोड़कर तनुकरण करने से अलग प्रक्रिया है। सामान्यतः अवधारण गुणक k′ = K × स्थिर प्रावस्था का आयतन ÷ गतिशील प्रावस्था का आयतन है, और अवधारण समय tᵣ = tₘ × (1 + k′) है। इस मॉडल में tₘ = गतिशील प्रावस्था का आयतन ÷ प्रवाह दर है। प्रवाह दर दोगुनी करने पर दोनों अवधारण समय और उनका अंतर आधे हो जाते हैं। समय का अंतर बढ़ना वास्तविक पृथक्करण क्षमता में सुधार नहीं दर्शाता। चित्र के चिह्न घटकों के केंद्रों के पहुँचने का समय हैं; बैंड की चौड़ाई, विसरण, कॉलम दक्षता या नमूने के अधिभार की गणना नहीं की जाती। समान अवधारण समय का अर्थ है कि इस मॉडल में दोनों घटकों के केंद्र साथ पहुँचते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Agilent: दो प्रावस्थाओं में विभाजन और अवधारण (PDF) · Waters: अवधारण गुणक और समय
भौतिकी · ध्रुवण और पारगमित तीव्रता
रुके हुए प्रकाश के बीच,
एक और फ़िल्टर रखें तो?
पहली पट्टी का अक्ष स्थिर रखकर अंतिम पट्टी घुमाएँ।
बीच की पट्टी जोड़ने पर ध्रुवण दिशा और पारगमित तीव्रता कैसे बदलेंगी?
मूल प्रकाश अध्रुवित है और पहली पट्टी का अक्ष 0° पर है। बीच की पट्टी न होने पर उसके कोण का गणना में उपयोग नहीं होता। कोण पहली पट्टी के अक्ष से मापे जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद ध्रुवण अक्ष क्रम से बदलकर देखा तो
प्रकाश का पारगमन ठीक पहले की ध्रुवण दिशा और अगली पट्टी के अक्ष के बीच के कोण पर निर्भर करता है। बीच की पट्टी प्रकाश उत्पन्न नहीं करती; वह ध्रुवण दिशा और तीव्रता बदलती है।
आदर्श पहली ध्रुवक पट्टी अध्रुवित प्रकाश की आधी तीव्रता पार होने देती है। इसके बाद हर पट्टी का पारगमन अनुपात मालुस के नियम cos²(ठीक पहले की ध्रुवण दिशा से कोण का अंतर) से तय होता है। केवल 0° और 90° की दो पट्टियाँ होने पर पारगमित तीव्रता 0 है। बीच में 45° की पट्टी जोड़ने पर 50% × cos²45° × cos²45° = मूल प्रकाश का 12.5% पार होता है। अंतिम पट्टी का पारगमन अनुपात ठीक उसके पहले पहुँचे प्रकाश के सापेक्ष है, जबकि अंतिम पारगमित तीव्रता मूल प्रकाश के सापेक्ष है, इसलिए हर अलग हैं। आपतित तीव्रता 0 होने पर भी यह मान अक्षों के संबंध से तय सैद्धांतिक गुणांक है; यह 0 को 0 से भाग देने वाला मापा अनुपात नहीं है। हर पट्टी का अक्ष 180° घुमाने पर वही अक्ष मिलता है; इस गतिविधि में 0° से 90° की सीमा में तुलना होती है। यह अपवर्तन की तरह प्रकाश के संचरण की दिशा मोड़ना नहीं, बल्कि संचरण दिशा के लंबवत विद्युत क्षेत्र की दोलन दिशा चुनना है। यह आदर्श ध्रुवक पट्टियों का मॉडल है, जिसमें वास्तविक सामग्री के अवशोषण, प्रकीर्णन और रिसाव की गणना नहीं होती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: ध्रुवण और मालुस का नियम
नीचे का लेख ध्रुवण और प्रकाशिक सक्रियता की पृष्ठभूमि सामग्री है। काइरल विलयन द्वारा ध्रुवण तल को घुमाना इस गतिविधि की अवशोषक ध्रुवक पट्टियों से अलग है।
अर्थव्यवस्था व समाज · साझा भार और सहसंबंध
मिलकर बाँटने पर भी,
कुछ परिवर्तनशीलता बचती है।
काल्पनिक हानि समान रूप से बाँटने वाले लोगों की संख्या बढ़ाएँ।
हानियों के साथ-साथ बदलने की मात्रा बदलकर प्रति व्यक्ति हिस्से की परिवर्तनशीलता की तुलना करें।
हर व्यक्ति की अपेक्षित हानि समान 20 अंक और मानक विचलन समान 10 अंक है। यह सभी जोड़ों के सहसंबंध ρ वाला काल्पनिक मॉडल है; दंड मानक विचलन नहीं, प्रसरण (अंक²) दिखाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद साझा आघात बढ़ाकर देखा तो
स्वतंत्र हानियाँ एक साथ बाँटने से प्रति व्यक्ति हिस्से की परिवर्तनशीलता घटती है। सबको एक साथ लगने वाले आघात लोगों की संख्या बढ़ने पर भी केवल बाँटने से नहीं मिटते।
N लोगों की औसत हानि का प्रसरण 100 × [ρ + (1 − ρ) ÷ N] अंक² है। साझा आघात का प्रसरण 100ρ और व्यक्तिगत आघातों को बाँटने से मिला प्रसरण 100(1 − ρ) ÷ N जोड़कर वर्गमूल लेने पर प्रति व्यक्ति हिस्से का मानक विचलन मिलता है। सहसंबंध 0 हो तो यह 10 ÷ √N अंक है, और 1 हो तो लोगों की संख्या से स्वतंत्र 10 अंक है। कुल हानि का मानक विचलन N × प्रति व्यक्ति हिस्से का मानक विचलन है, इसलिए प्रति व्यक्ति परिवर्तनशीलता घटने पर भी कुल की परिवर्तनशीलता बढ़ सकती है। एक व्यक्ति की अपेक्षित हानि 20 अंक बनी रहती है; यह हानि को ही मिटाने की गतिविधि नहीं है। मानक विचलन परिवर्तनशीलता का मान है; यह हानि होने की प्रायिकता, अधिकतम हानि या किसी निश्चित प्रायिकता की सीमा से अलग है। यह मॉडल परस्पर स्वतंत्र साझा और व्यक्तिगत आघातों से बना है; सामान्यतः सहसंबंध 0 होना अनिवार्य रूप से स्वतंत्रता नहीं दर्शाता। यहाँ वास्तविक बीमा प्रीमियम या निवेश जोखिम के बजाय समान परिस्थितियों में काल्पनिक साझा भार की तुलना होती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: सहप्रसरण और सहसंबंध (PDF)
नीचे का बड़ी संख्याओं के नियम पर लेख स्वतंत्र हानियों को एकत्र करने की आधार सामग्री है। साझा आघात होने पर स्वतंत्र दोहरावों के निष्कर्ष सीधे लागू नहीं होते।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · लंबन और दूरी
दो स्थानों से दिखे कोण,
दूर के तारे की दूरी का सुराग
दो प्रेक्षण स्थलों का अंतराल और लक्ष्य की दूरी बदलें।
समान कोण पैमाने पर तुलना करें कि दूर के लक्ष्य की दिशा कितनी कम बदलती है।
लक्ष्य आधार रेखा के मध्य से खींचे लंब पर है। ऊपर स्थानिक संबंध का आरेख है · वास्तविक पैमाने पर नहीं। नीचे के कोण स्पष्टता के लिए बढ़ाए गए हैं और दोनों प्रेक्षणों के लिए समान पैमाना है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद दोनों प्रेक्षण स्थलों का अंतराल बदलकर देखा तो
समान आधार रेखा पर लक्ष्य जितना दूर होगा, प्रेक्षण दिशाओं का अंतर उतना कम होगा। इसे दूरी में बदलने के लिए छोटे कोण के साथ प्रेक्षण स्थलों का अंतराल भी जानना चाहिए।
आधा कोण p = arctan[B ÷ (2D)] से निकालते हैं और B तथा D को समान लंबाई इकाई में बदलकर उपयोग करते हैं। यहाँ D आधार रेखा के मध्य से लक्ष्य तक की लंबवत दूरी है। 1pc ठीक (648000 ÷ π)AU है; 1 आर्कसेकंड = 1/3600 डिग्री और 1mas = 1/1000 आर्कसेकंड है। यह आदर्श ज्यामिति है जिसमें आधार रेखा दृष्टि रेखा के लंबवत है और लक्ष्य मध्य से खींचे लंब पर है; दोनों प्रेक्षण दिशाओं का पूरा अंतर 2p है। पृथ्वी की कक्षा के विपरीत सिरों की तरह आधार रेखा 2AU होने पर तारे का वार्षिक लंबन कुल परिवर्तन का आधा p है। लघु-कोण दूरी सूत्र D(pc) ≈ [B(AU) ÷ 2] ÷ p(आर्कसेकंड) है; 1 ÷ p वाला सूत्र B = 2AU मानता है। mas का मान सीधे नहीं रखते। आधार रेखा 4AU होने पर उसे 2AU मान लें, तो समान कोण से दूरी गलत रूप से आधी पढ़ी जाएगी। सटीक arctan कोण और लघु-कोण दूरी सन्निकटन की अलग गणना करके स्क्रीन पर मान पूर्णांकित किए जाते हैं। वास्तविक प्रेक्षणों के शोर, निज गति या आधार रेखा की दिशा में बदलाव की गणना नहीं होती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: लंबन से तारों की दूरी मापना · IAU: पारसेक की सटीक परिभाषा (PDF)
नीचे के इकाई रूपांतरण लेख का खगोलशास्त्र खंड प्रकाश वर्ष और पारसेक समझने की आधार सामग्री है। यह विशेष रूप से लंबन मापन समझाने वाला लेख नहीं है।
IT · गतिरोध और संसाधन क्रम
एक-एक पकड़कर प्रतीक्षा करें तो,
काम कैसे रुकता है?
दो कार्यों के संसाधन X और Y पाने का क्रम बदलें।
प्रयास के चरण एक-एक करके आगे बढ़ाएँ और स्वामित्व तथा अनुरोध का संबंध देखें।
ठोस रेखा संसाधन → उसका स्वामी कार्य है; बिंदीदार रेखा कार्य → वह संसाधन है जिसकी प्रतीक्षा है। क्रम बदलने पर नई परिस्थितियों में आरंभ से समान निष्पादन नियम अपनाए जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद दोनों के अनुरोधों का अनुसरण करके देखा तो
यदि प्रत्येक कार्य उस संसाधन की प्रतीक्षा करे जिसे दूसरा पकड़े हुए है, तो दोनों आगे नहीं बढ़ पाएँगे। दोनों कार्य संसाधनों का समान समग्र क्रम अपनाएँ, तो इस मॉडल की चक्रीय प्रतीक्षा रोकी जाती है।
X और Y अनन्य संसाधन हैं, जिनका स्वामित्व एक समय में केवल एक कार्य के पास हो सकता है। कार्य पहला और दूसरा संसाधन पाने के बाद अगले प्रयास में काम पूरा करके दोनों संसाधन साथ लौटाता है। A से शुरू करके बारी-बारी प्रयास होते हैं और पूर्ण कार्य छोड़ दिए जाते हैं। संसाधन न मिलने पर कार्य पहले से पकड़े संसाधन को रखते हुए प्रतीक्षा करता है। पारस्परिक अपवर्जन, संसाधन पकड़े हुए प्रतीक्षा और बलपूर्वक वापस न लेने की धारणाएँ हैं; दोनों संसाधनों का स्वामित्व और अनुरोध चक्र बनाएँ, तो गतिरोध होता है। अलग क्रम होने मात्र से हमेशा गतिरोध नहीं होता; यहाँ तय बारी-बारी निष्पादन इतिहास दिखाता है कि वह स्थिति आती है या नहीं। दोनों कार्य समान समग्र क्रम अपनाएँ, तो चक्र नहीं बनता और संसाधन छूटने पर फिर प्रयास करके कार्य पूरे होते हैं। क्रम चुनना पहले से चल चुके वास्तविक कार्य को पुनः बहाल करने की सुविधा नहीं है। वास्तविक डेटाबेस के शेड्यूलर, समय सीमा या रोलबैक नीति को पुनः प्रस्तुत नहीं किया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OSTEP: समवर्ती निष्पादन में गतिरोध की समस्या (PDF)
नीचे का डेटाबेस लेख कार्य इकाई, ट्रांज़ैक्शन और रोलबैक की आधार सामग्री है। यह विशेष रूप से लॉक या गतिरोध समझाने वाला लेख नहीं है।
गणित व सांख्यिकी · माध्य की ओर प्रत्यावर्तन
असामान्य रूप से ऊँचा मान,
क्या अगली बार भी समान होगा?
पहले प्रेक्षण का मान और दोनों प्रेक्षणों का सहसंबंध बदलें।
अगले प्रेक्षण के अपेक्षित मान और खुद चुने उतार-चढ़ाव के परिणाम में अंतर देखें।
दोनों प्रेक्षणों का समग्र माध्य 0 और मानक विचलन 1 है। उतार-चढ़ाव का एक उदाहरण आप स्वयं चुनते हैं; स्लाइडर की सीमा सभी संभावित परिणाम या समान प्रायिकता नहीं दर्शाती।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
खुद अपेक्षित मान और एक उदाहरण अलग करके देखा तो
अत्यधिक पहले प्रेक्षण के बाद अगला अपेक्षित मान केंद्र के निकट आ सकता है। लेकिन इसका अर्थ यह नहीं कि हर अगला परिणाम अवश्य केंद्र की ओर जाएगा।
X और स्वतंत्र उतार-चढ़ाव E को परस्पर स्वतंत्र मानक सामान्य चर मानते हैं, जिनका माध्य 0 और प्रसरण 1 है, और Y = ρX + √(1 − ρ²)E बनाते हैं। इस द्विचर सामान्य मॉडल में पहला प्रेक्षण x होने पर अगले प्रेक्षण का सशर्त अपेक्षित मान ρx और सशर्त मानक विचलन √(1 − ρ²) है। सामान्य डेटा में केवल सहसंबंध गुणांक जानने से यह सूत्र हमेशा लागू नहीं होता। 0 ≤ ρ < 1 होने पर चरम पहले मान के आधार पर चुने गए समूह के अगले अपेक्षित मान 0 के करीब आते हैं। यह पूरे समूह के माध्य 0 के बदलने से अलग है और किसी व्यक्ति के अगले परिणाम की गारंटी नहीं देता। सहसंबंध 1 होने पर अगला मान पहले मान के बराबर होता है और उतार-चढ़ाव का उपयोग नहीं होता। हाथ से चुना गया E सामान्य वितरण का एक उदाहरण है; यह पूरे वितरण से यादृच्छिक नमूना नहीं चुनता और न ही परिणामों की सीमा तय करता है। मुख्य बात यह है कि बिना किसी हस्तक्षेप के भी हो सकने वाले बदलाव को प्रशंसा, दंड या उपचार का प्रभाव न मान लिया जाए। यह लोगों के अंक, क्षमता या स्वास्थ्य की भविष्यवाणी करने वाला अभ्यास नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: माध्य की ओर प्रतिगमन (PDF) · Penn State: द्विचर सामान्य वितरण और सशर्त वितरण
नीचे दिए गए डनिंग–क्रूगर लेख में मापन विधि की आलोचना वाला भाग चरम समूहों की तुलना को माध्य की ओर प्रतिगमन से जुड़ी सावधानियों से जोड़ता है। यह इस मॉडल से व्यक्तियों का मूल्यांकन करने की सामग्री नहीं है।
जीव विज्ञान व पर्यावरण · परभक्षी और शिकार
एक-दूसरे की संख्या से बदलती,
वृद्धि और कमी की दिशा
शिकार और परभक्षी के शुरुआती सूचकांक तथा अवलोकन का समय बदलें।
एक ही पैमाने पर देखें कि दोनों समूह एक-दूसरे की परिवर्तन दर कैसे बदलते हैं।
समष्टियाँ विमाहीन सूचकांक हैं और समय भी मॉडल की इकाई में है। यह एक सतत आदर्श मॉडल की गणना है; यह वास्तविक पशु संख्या या कैलेंडर की तारीखें नहीं दर्शाती।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
दोनों समूहों के बदलाव स्वयं देखने पर
शिकार बढ़ने से परभक्षियों की वृद्धि प्रभावित होती है और परभक्षी बढ़ने से शिकार की वृद्धि दबती है। वर्तमान परिवर्तन दर के चिह्न और वक्र के शिखर को अलग-अलग देखें।
विमाहीन Lotka–Volterra मॉडल dx/dt = x(1 − y), dy/dt = y(x − 1) है। x शिकार सूचकांक और y परभक्षी सूचकांक है। शिकार 1 से अधिक हो तो परभक्षी बढ़ते हैं और परभक्षी 1 से अधिक हों तो शिकार घटते हैं। दोनों के 1 होने वाला बिंदु संतुलन है; अन्य धनात्मक शुरुआती मानों पर वे उदासीन बंद कक्षाओं का अनुसरण करते हैं, जो अवमंदित होकर उस बिंदु पर अभिसरित नहीं होतीं। H = x − ln x + y − ln y इस आदर्श मॉडल की संरक्षित राशि है। दिखाए गए वक्र चुने गए वर्तमान समय तक की संख्यात्मक गणना का इतिहास हैं; इनमें अभी न बीता भविष्य नहीं जोड़ा जाता। शिखरों का समयांतर परस्पर क्रिया से पैदा होता है, किसी निश्चित बाहरी विलंब को निर्धारित करने से नहीं। वहन क्षमता वाली एकल समष्टि की वृद्धि से अलग, दोनों समूह एक-दूसरे की परिवर्तन दर बदलते हैं, लेकिन इसमें वहन क्षमता, प्रवास, ऋतुएँ, यादृच्छिक विलुप्ति या पर्यावरणीय आघात नहीं हैं। इसका अर्थ यह नहीं कि वास्तविक पारितंत्र अनिवार्य रूप से इसी अवधि में चक्रित होते हैं; यह वास्तविक जीव संख्या, नियंत्रण के प्रभाव या विलुप्ति के जोखिम की भविष्यवाणी नहीं करता। स्क्रीन पर मान पूर्णांकित करके दिखाए जाते हैं, लेकिन गणना में पूर्णांकन से पहले के मान उपयोग होते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: पारितंत्र का परभक्षी–शिकार मॉडल (PDF) · MIT: परभक्षी–शिकार समीकरण
नीचे दिया गया लाल ज्वार लेख आहार संबंधों और पारितंत्र के बदलावों की पृष्ठभूमि सामग्री है। यह परभक्षी समीकरणों की अवधि या वास्तविक नियंत्रण के प्रभाव की पुष्टि नहीं करता।
जीवन व सामान्य ज्ञान · परतों का ऊष्मारोधन
तीन परतों से गुजरती ऊष्मा,
तापमान कहाँ गिरता है?
काल्पनिक मध्य परत की मोटाई और ऊष्मीय चालकता तथा बाहरी परत की मोटाई बदलें।
समान तापांतर पर ऊष्मा फ्लक्स और हर परत में तापमान की गिरावट की तुलना करें।
भीतरी परत 1cm·k = 0.20 और बाहरी परत की k = 0.80 W/(m·K) पर स्थिर हैं। ऊष्मीय चालकता के मान काल्पनिक हैं; ये किसी विशेष उत्पाद का प्रदर्शन नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
हर परत का तापमान स्वयं देखने पर
समान तापांतर पर कुल ऊष्मीय प्रतिरोध बढ़ने से चालन द्वारा बहने वाली ऊष्मा घटती है। हर परत में तापमान की गिरावट केवल मोटाई के नहीं, ऊष्मीय प्रतिरोध के अनुपात में होती है।
तीनों परतों का प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मीय प्रतिरोध Rᵢ = Lᵢ ÷ kᵢ है, जहाँ L को cm से m में बदलकर उपयोग करते हैं। श्रेणीक्रम में लगी परतों का कुल प्रतिरोध ΣRᵢ और ऊष्मा फ्लक्स q = तापांतर ÷ ΣRᵢ है। स्थिर अवस्था में सभी परतों से गुजरने वाला ऊष्मा फ्लक्स समान होता है और हर परत में तापमान की गिरावट qRᵢ होती है। चित्र का क्षैतिज अक्ष तीनों परतों के लिए वास्तविक मोटाई का समान पैमाना उपयोग करता है और तापमान रेखा भी उन्हीं गहराइयों पर सीमा मानों को जोड़ती है। मध्य परत की मोटाई 0 होने पर वह परत हट जाती है और चुनी गई ऊष्मीय चालकता गणना को प्रभावित नहीं करती। यह काल्पनिक उदाहरण बाहरी संदर्भ तापमान 0°C रखता है और भीतरी तापमान को चुने गए तापांतर जितना अधिक रखता है। तापांतर के K मान और °C अंतर समान हैं, लेकिन निरपेक्ष तापमान की इकाइयों को आपस में नहीं मिलाया जाता। केवल पूर्ण संपर्क वाली 1-विमीय स्थिर ऊष्मा चालन की गणना होती है; संवहन, विकिरण, ऊष्मीय सेतु, नमी और समय के साथ ऊष्मा संचय शामिल नहीं हैं। यह वास्तविक भवन के हीटिंग खर्च या किसी उत्पाद से होने वाली बचत की भविष्यवाणी का मॉडल नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: ऊष्मा चालन और बहुपरत ऊष्मीय प्रतिरोध
नीचे दिया गया पर्यावरण अनुकूल पॉलिमर लेख भवनों के ऊष्मारोधन में उपयोग होने वाले पॉलिमरों की पृष्ठभूमि सामग्री है। यह इस अभ्यास की काल्पनिक ऊष्मीय चालकता प्रमाणित नहीं करता और न ही उत्पादों के प्रदर्शन की तुलना करता है।
IT · सार्वजनिक कुंजी कूटलेखन
ताला लगाने की कुंजी सबके पास,
फिर केवल मैं ही इसे कैसे खोलूँ?
बहुत छोटी सार्वजनिक संख्याओं से एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन की प्रक्रिया देखें।
कुंजी युग्म और संदेश बदलकर जाँचें कि मूल संख्या वापस मिलती है या नहीं।
असली पासवर्ड या निजी कुंजी दर्ज न करें। बहुत छोटे सार्वजनिक उदाहरण और बिना पैडिंग की RSA गणना सुरक्षित व्यावहारिक क्रिप्टोग्राफी नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी के बदलाव स्वयं देखने पर
एन्क्रिप्शन और डिक्रिप्शन अलग-अलग घातांक उपयोग करते हैं, लेकिन शेषफल का आधार n साझा करते हैं। हर संदेश का परिणाम निकालकर दोनों कुंजियों का संबंध जाँच सकते हैं।
अलग-अलग अभाज्य p, q से n = pq और φ = (p − 1)(q − 1) बनाते हैं। सार्वजनिक घातांक e और डिक्रिप्शन घातांक d ऐसे जोड़े जाते हैं कि ed को φ से भाग देने पर शेषफल 1 हो। कूटपाठ c = mᵉ mod n और डिक्रिप्शन cᵈ mod n है; पूरी बड़ी घात निकालने के बजाय पूर्णांकों के शेषफल बार-बार गणना किए जाते हैं। 0 ≤ m < n के पूर्णांक संदेश 0 होने पर या p·q से उभयनिष्ठ गुणनखंड रखने पर भी वापस मिलते हैं। कुंजी युग्म बदलने पर संदेश स्लाइडर का अधिकतम मान n − 1 हो जाता है और सीमा से अधिक मान घटा दिया जाता है। इस स्क्रीन के p·q·d सभी सार्वजनिक छोटी शैक्षिक संख्याएँ हैं। वास्तविक सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी में पर्याप्त बड़ी कुंजियाँ, सुरक्षित पैडिंग और प्रोटोकॉल आदि चाहिए; इस तरह बिना पैडिंग वाले मूल RSA का उपयोग असली गोपनीय जानकारी एन्क्रिप्ट करने के लिए नहीं किया जाता। यह HTTPS की वास्तविक संचार प्रक्रिया को पूरी तरह पुनः प्रस्तुत नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · RSA का मूल शोधपत्र: सार्वजनिक कुंजी और डिक्रिप्शन (PDF)
नीचे दिया गया संचार लेख TLS·HTTPS और एन्क्रिप्शन की भूमिका समझने की आधारभूत सामग्री है। यह छोटा RSA मॉडल वास्तविक TLS की सभी एन्क्रिप्शन प्रक्रियाओं को नहीं समझाता।
रसायन विज्ञान · सक्रियण ऊर्जा
अभिक्रिया को पार करनी है जो पहाड़ी,
तापमान और उत्प्रेरक उसे बदलते हैं।
तापमान, सक्रियण अवरोध और उत्प्रेरक से अवरोध में होने वाली कमी बदलें।
उसी अभिक्रिया के 300K संदर्भ से तुलना करके दर का अनुपात देखें।
सभी के लिए समान काल्पनिक आवृत्ति गुणक उपयोग होता है। अनुपात 2 गुना होने का अर्थ यह नहीं कि मॉडल में हर वास्तविक अभिक्रिया का समय ठीक आधा हो जाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
सक्रियण ऊर्जा के बदलाव स्वयं देखने पर
तापमान अवरोध पार कर सकने वाले अणुओं का अंश बदलता है और उत्प्रेरक अलग मार्ग से अवरोध घटाता है। दोनों प्रभाव दर अनुपात में साथ दिखाई देते हैं।
Arrhenius समीकरण k = A exp(−Eₐ/RT) उपयोग होता है। सभी मार्गों के लिए काल्पनिक आवृत्ति गुणक A समान है और गैस स्थिरांक R = 8.31446261815324 J/(mol·K) है। गणना के लिए अवरोध की kJ/mol इकाई को J/mol में बदलते हैं। केवल तापमान बदलने का अनुपात exp[(Eₐ/R)(1/300 − 1/T)] है और समान तापमान पर उत्प्रेरक से अवरोध में कमी C का प्रभाव exp(C/RT) है। संयुक्त अनुपात दोनों अनुपातों का गुणनफल है और संदर्भ उसी Eₐ वाली 300K की अनुत्प्रेरित अभिक्रिया है। ग्राफ का ऊर्ध्वाधर अक्ष दर अनुपात के लघुगणकीय पैमाने पर है, जहाँ एक खाने का अंतर समान गुणक अंतर दर्शाता है। मार्ग चित्र में उत्प्रेरक जोड़ने से पहले और बाद की आरंभिक तथा अंतिम ऊर्जाएँ समान रखी जाती हैं। उत्प्रेरक सक्रियण अवरोध और मार्ग बदलता है, लेकिन अभिक्रिया का ऊर्जा अंतर ΔE या स्वयं संतुलन नहीं बदलता। यह अभिक्रिया तंत्र, सांद्रता परिवर्तन और उत्प्रेरक की खपत आदि को छोड़कर की गई काल्पनिक तुलना है; यह वास्तविक पदार्थों की अभिक्रिया के समय या जोखिम की भविष्यवाणी नहीं करती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: संघट्ट सिद्धांत और Arrhenius समीकरण
नीचे दिए गए उत्प्रेरक लेख में सक्रियण ऊर्जा और अभिक्रिया मार्ग के अंतर के बारे में आगे पढ़ सकते हैं।
भौतिकी · अप्रगामी तरंगें और अनुनाद
हिलती हुई डोरी में भी,
कुछ स्थान हमेशा स्थिर रहते हैं।
डोरी की लंबाई, कंपन मोड और क्षणिक कला बदलें।
निस्पंदों के स्थान और पूरी डोरी के सीधा होने के क्षण में अंतर देखें।
कला समय का एक क्षण चुनने वाला कोण है, बीते सेकंड नहीं। सभी बिंदु क्षण भर के लिए 0 होने पर भी स्थायी निस्पंद अलग दिखाए जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
अप्रगामी तरंग और अनुनाद के बदलाव स्वयं देखने पर
दोनों सिरों से परावर्तित तरंगें अध्यारोपित होने पर कुछ स्थान हमेशा स्थिर रहते हैं। क्षण भर के लिए सीधी हुई डोरी का हर बिंदु निस्पंद नहीं बन जाता।
दोनों सिरों से स्थिर आदर्श डोरी पर तरंग चाल v = 100m/s पर निश्चित है। nवें मोड की तरंगदैर्ध्य λ = 2L/n और प्राकृतिक आवृत्ति f = nv/(2L) है। सामान्यीकृत विस्थापन y(x) = sin(nπx/L) cos(कला) से दिखाया जाता है। निस्पंद x = jL/n पर हैं; दोनों सिरों को छोड़कर उनकी संख्या n − 1 और प्रस्पंदों की संख्या n है। 90°·270° पर सभी बिंदुओं का क्षणिक विस्थापन 0 होने पर भी स्थायी निस्पंदों के स्थान वही रहते हैं। चित्र का क्षैतिज अक्ष सभी डोरियों के लिए समान वास्तविक लंबाई 0~2m और ऊर्ध्वाधर अक्ष सामान्यीकृत विस्थापन −1~1 है; डोरी की लंबाई बदलने पर दायाँ सिरा भी खिसकता है। कला स्थिर चित्र का एक क्षण चुनती है; इसका अर्थ वास्तविक बीता समय या सभी मोडों का समान समय नहीं है। तनाव, रैखिक घनत्व, अवमंदन और मिश्रित कंपन शामिल नहीं हैं तथा ध्वनि अपने आप नहीं बजती।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: अप्रगामी तरंगें और अनुनाद
नीचे दिया गया अनुनाद लेख डोरी की लंबाई और प्राकृतिक आवृत्ति को वाद्ययंत्रों के अनुनाद से जोड़ता है।
गणित व सांख्यिकी · यादृच्छिक चाल
हर कदम बेतरतीब होने पर भी,
फैलाव की चौड़ाई में एक नियम है।
कदमों की संख्या और उदाहरण पथ बदलें।
एक पथ की अंतिम स्थिति और सभी संभावित पथों की प्रायिकता को अलग-अलग देखें।
हर कदम स्वतंत्र रूप से बाएँ या दाएँ 1 खाना है और दोनों की प्रायिकता 1/2 है। उदाहरण पथ बदलने पर भी सटीक प्रायिकता वितरण और सैद्धांतिक मान नहीं बदलते।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
यादृच्छिक चाल के बदलाव स्वयं देखने पर
हर बार दिशा यादृच्छिक होने पर भी माध्य वर्ग दूरी कदमों की संख्या के बराबर बढ़ती है। एक पथ की अंतिम दूरी और सभी पथों का औसत अलग होते हैं।
स्वतंत्र सममित 1-विमीय चाल में n कदमों में से k कदम दाएँ जाने पर अंतिम स्थिति X = 2k − n है। इसकी प्रायिकता संयोजन संख्या C(n,k)/2ⁿ से सटीक निकाली जाती है। सभी पथों की औसत स्थिति 0, माध्य वर्ग दूरी n और RMS दूरी √n है। माध्य निरपेक्ष दूरी E|X| हर स्थिति के निरपेक्ष मान को उसकी प्रायिकता से गुणा करके जोड़ने से मिलती है, इसलिए यह RMS के बराबर नहीं है। पथ A·B·C सार्वजनिक निश्चित यादृच्छिक बीजों से बनाए गए एक-एक उदाहरण हैं; बटन दबाने पर नया यादृच्छिक नमूना नहीं चुना जाता और न ही इन पथों को मिलाकर सैद्धांतिक मान का अनुमान लगाया जाता है। सटीक प्रायिकता वितरण उदाहरण पथों से अलग गणना किया जाता है। पथ का क्षैतिज अक्ष कदमों की संख्या और ऊर्ध्वाधर अक्ष स्थिति है; प्रायिकता पट्टियों का क्षैतिज अक्ष अंतिम स्थिति और ऊर्ध्वाधर अक्ष सटीक प्रायिकता है। किसी एक पथ की वास्तविक अंतिम दूरी अनिवार्य रूप से √n नहीं होती। यह सतत ब्राउनी गति को हूबहू पुनः प्रस्तुत नहीं करता और न ही शेयरों या कीमतों की भविष्यवाणी करता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: यादृच्छिक चाल और विसरण
नीचे दिए गए ब्राउनी गति लेख में अनियमित गति और यादृच्छिक चाल का संबंध पढ़ सकते हैं।
जीव विज्ञान व पर्यावरण · पदार्थ का संचय
भोजन से भीतर आने वाली मात्रा और,
शरीर से बाहर निकलने वाली मात्रा
भोजन की सांद्रता, निष्कासन दर, स्तर और समय बदलें।
वर्तमान सांद्रता की तुलना पर्याप्त समय बाद की संतुलन सांद्रता से करें।
भोजन भंडार की सांद्रता लगातार स्थिर रहती है और सभी उपभोक्ता 0 सांद्रता से शुरू करते हैं। ये काल्पनिक सांद्रता और मॉडल समय हैं, वास्तविक पदार्थों की विषाक्तता या खाद्य सुरक्षा के मानक नहीं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
पदार्थ संचय के बदलाव स्वयं देखने पर
ऊपरी स्तर पर सांद्रता अधिक होगी या नहीं, यह ग्रहण और निष्कासन की दरों के संबंध पर निर्भर करता है। समय कम हो तो संतुलन सांद्रता तक पहुँचना अभी बाकी हो सकता है।
भोजन की स्थिर सांद्रता C₀ है और चारों उपभोक्ता स्तरों की सांद्रता 0 से शुरू होती है। हर स्तर का अंतर्वाह गुणांक a = 0.5/मॉडल समय है और निष्कासन दर k सभी स्तरों पर समान है। dCⱼ/dt = aCⱼ₋₁ − kCⱼ से अंतर्वाह और निष्कासन की साथ गणना होती है। पहले स्तर का अंतर्वाह aC₀ है। हल Cⱼ(t) = C₀(a/k)ʲ[1 − exp(−kt)Σᵢ₌₀ʲ⁻¹(kt)ⁱ/i!] और संतुलन Cⱼ* = C₀(a/k)ʲ है। वर्तमान मान संतुलन मान से अलग रखा जाता है और समय 0 पर उपभोक्ता सांद्रता ठीक 0 है। a/k > 1 होने पर संतुलन सांद्रता हर स्तर पर बढ़ती है, लेकिन a/k ≤ 1 होने पर केवल खाद्य शृंखला में ऊपर जाने से स्वतः सांद्रण नहीं बढ़ता। चित्र ऊर्जा अंतरण की मात्रा की जगह पदार्थ की सांद्रता तथा अंतर्वाह और निष्कासन दरों की तुलना करता है। यह सरल रैखिक मॉडल वास्तविक पर्यावरण में भोजन के बदलाव, वृद्धि से तनुकरण, पदार्थ-विशिष्ट चयापचय और पानी से सीधे अंतर्वाह आदि को शामिल नहीं करता। यह वास्तविक प्रदूषकों की सांद्रता, संपर्क जोखिम, विषाक्तता या भोजन सेवन का निर्णय करने की सामग्री नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · अमेरिकी EPA: खाद्य शृंखला में पदार्थ संचय का अंतर्वाह–निष्कासन मॉडल
नीचे दिया गया पर्यावरण प्रदूषण लेख पर्यावरण में लंबे समय तक बने रहने वाले पदार्थों और पारितंत्र के संबंध को समझने की आधारभूत सामग्री है। यह यहाँ के काल्पनिक गुणांक या विषाक्तता मानक नहीं देता।
अर्थव्यवस्था व समाज · कर का भार
कर जमा करने वाला और,
वास्तव में उसका बोझ उठाने वाला
माँग और आपूर्ति की कीमत के प्रति प्रतिक्रिया तथा प्रति लेनदेन कर बदलें।
यह भी देखें कि समान कर कौन जमा करता है, इससे परिणाम बदलता है या नहीं।
ढाल जितनी अधिक होगी, समान कीमत परिवर्तन पर मात्रा उतनी कम बदलेगी। कर 0 होने पर भी दिखाया गया हिस्सा धनात्मक कर लगने की स्थिति का बोझ अनुपात है; वास्तविक बोझ 0 है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
कर बोझ के बदलाव स्वयं देखने पर
कानूनन कर जमा करने वाला पक्ष बदलने पर भी इस प्रतिस्पर्धी मॉडल में कीमत और लेनदेन मात्रा समान रहती हैं। जो पक्ष अपनी मात्रा अपेक्षाकृत कम बदलता है, वह कीमत में बदलाव से अधिक बोझ उठाता है।
काल्पनिक माँग में खरीद कीमत Pb = 60 − bD·Q और आपूर्ति में बिक्री प्राप्ति Ps = 20 + bS·Q है। कर से पहले मात्रा Q₀ = 40/(bD + bS) और कीमत P₀ = 20 + bS·Q₀ है। प्रति इकाई कर t लगने पर Pb − Ps = t होता है, इसलिए Q = (40 − t)/(bD + bS) है। खरीदार का प्रति इकाई बोझ Pb − P₀ = bD·t/(bD + bS) और विक्रेता का बोझ P₀ − Ps = bS·t/(bD + bS) है; दोनों का योग t है। धनात्मक कर में खरीदार का हिस्सा bD/(bD + bS) और विक्रेता का हिस्सा bS/(bD + bS) है; कर 0 होने पर वास्तविक बोझ और कर राजस्व भी 0 हैं। कानूनन कर जमा करने वाला पक्ष केवल कर आगे पहुँचाने की भूमिका बदलता है, इस मॉडल का आर्थिक परिणाम नहीं। ग्राफ वास्तविक निर्देशांकों से कर से पहले का बिंदु तथा कर के बाद समान लेनदेन मात्रा पर खरीद और बिक्री कीमतों का अंतर दिखाता है। पूर्ण प्रतिस्पर्धा, कर से बचाव का अभाव और कीमत नियंत्रण का अभाव माना गया है तथा उपभोक्ता और उत्पादक वक्र स्वयं स्थिर रखे गए हैं। पहले के प्रगतिशील आयकर अभ्यास से अलग, यह लेनदेन कर से बाजार कीमतों पर पड़ने वाला बोझ दिखाता है; यह वास्तविक कर कानून, नीतिगत प्रभाव या व्यक्तिगत कर निर्णय नहीं देता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: लोच और कर बोझ
नीचे दिया गया माँग–आपूर्ति लेख बाजार कीमतों और कीमत के प्रति प्रतिक्रिया को समझने की आधारभूत सामग्री है। यह इस काल्पनिक लेनदेन कर मॉडल या वास्तविक कर कानून की व्याख्या नहीं करता।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · रेडियोधर्मी काल निर्धारण
बचे हुए और बने हुए तत्वों से,
बीते समय का पता लगाएँ।
अर्धायु, बीती अर्धायुओं की संख्या और शुरू से मौजूद संतति तत्व बदलें।
प्रारंभिक संतति तत्व का सुधार करने और उसे अनदेखा करने से मिली आयु की तुलना करें।
जनक तत्व की शुरुआती अपेक्षित मात्रा 64 है। संख्यात्मक परिणाम अपेक्षित मात्राओं से निकाले जाते हैं और नीचे व्यक्तिगत परमाणुओं के चित्र के एक उदाहरण से अलग हैं। ये वास्तविक समस्थानिकों की आयु के मान नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
रेडियोमितीय आयु के बदलाव स्वयं देखने पर
समय जानने के लिए क्षय से बने संतति तत्व और शुरू से मौजूद संतति तत्व में अंतर करना आवश्यक है। पूरी प्रारंभिक मात्रा को क्षय का परिणाम मानने पर अधिक पुरानी आयु निकलती है।
बंद तंत्र में जनक तत्व की प्रारंभिक अपेक्षित मात्रा P₀ = 64 और प्रारंभिक संतति तत्व D₀ = 64 × चुना गया प्रारंभिक अनुपात है। बीती अर्धायुओं की संख्या s और अर्धायु h होने पर P = 64 × 2⁻ˢ, क्षय से बना संतति तत्व 64 − P और कुल संतति तत्व D = D₀ + 64 − P है। इसलिए जनक और कुल संतति तत्व का योग 64 + D₀ के रूप में संरक्षित रहता है। प्रारंभिक संतति तत्व का सुधार करने पर आयु h·log₂[1 + (D − D₀)/P] और उसे अनदेखा करने पर आयु h·log₂(1 + D/P) है। यह गणना अपेक्षित मात्राएँ उपयोग करती है। व्यक्तिगत परमाणुओं का चित्र सार्वजनिक निश्चित बीज से उत्पन्न चरघातांकीय रूप से वितरित जीवनकाल वाला एक उदाहरण है; यह हर अर्धायु में ठीक आधे परमाणुओं के क्षय होने का नियम नहीं है। प्रत्येक बचे हुए परमाणु की प्रति इकाई समय क्षय की संभावना स्थिर है और प्रारंभिक संतति तत्व व्यक्तिगत जनकों के क्षय चित्र से अलग दिखाया जाता है। बाहरी जनक या संतति तत्व का कोई अंतर्वाह या नुकसान न होने और प्रारंभिक संतति तत्व ज्ञात होने की आदर्श शर्तें मानी गई हैं। वास्तविक चट्टानों के लिए जाँचना होता है कि खनिज बनने के बाद तंत्र बंद रहा है या नहीं, साथ ही प्रारंभिक घटकों और समस्थानिक तंत्र की भी समीक्षा करनी होती है; इस काल्पनिक तत्व से वास्तविक चट्टानों की आयु या विकिरण जोखिम का निर्णय नहीं किया जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: रेडियोधर्मी क्षय और आयु निर्धारण
नीचे दिया गया नाभिकीय विखंडन–संलयन लेख नाभिकीय क्षय और समस्थानिकों को समझने की आधारभूत सामग्री है। यह इस काल्पनिक आयु गणना या वास्तविक चट्टानों की आयु की पुष्टि नहीं करता।
जीवन व सामान्य ज्ञान · फ़ीडबैक नियंत्रण
अभी बदला गया नियंत्रण,
देर से मिले तापमान पर चले तो?
नियंत्रण लाभ, मापन विलंब, लक्ष्य और समय बदलें।
अब तक के तापमान की तुलना अगले क्षण के तापन और शीतलन आदेश से करें।
परिवेश तापमान से 0 अंतर पर शुरुआत होती है और ऋणात्मक आदेश सक्रिय शीतलन है। यह सामान्य हीटर के चालू–बंद स्विच या वास्तविक उपकरण की अनुशंसित सेटिंग को पुनः प्रस्तुत नहीं करता।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
फीडबैक नियंत्रण के बदलाव स्वयं देखने पर
देर से मिले मान पर प्रबल प्रतिक्रिया देने से लक्ष्य पार होने के बाद भी तापन जारी रह सकता है। केवल आनुपातिक नियंत्रण में परिवेश की ओर ऊष्मा रिसने के कारण लक्ष्य से अंतर बचता है।
परिवेश तापमान को 0 मानकर सामान्यीकृत अंतर x से गणना होती है और x₀ = 0 है। ऊष्मीय मॉडल x(k + 1) = 0.8x(k) + 0.2u(k) और नियंत्रण u(k) = लाभ × [लक्ष्य − x(max(0, k − विलंब))] है। शुरुआत से पहले के मापन 0 रखे जाते हैं; धनात्मक आदेश तापन और ऋणात्मक आदेश सक्रिय शीतलन दर्शाते हैं। अंतिम चरण का आदेश अभी गणना न किए गए अगले चरण के लिए है और अब तक के तापमान इतिहास से अलग है। संतुलन पर x* = लाभ × लक्ष्य/(1 + लाभ) है, जिससे आनुपातिक नियंत्रण का ऑफसेट दिखता है, जिसमें स्थिर अवस्था में भी लक्ष्य से अंतर बचता है। यह संतुलन मान समीकरण का स्थिर बिंदु है; हर लाभ–विलंब संयोजन के वहाँ अभिसरित होने की गारंटी नहीं है। चित्र केवल चुने गए वर्तमान चरण तक का इतिहास दिखाता है और समान तापांतर पैमाने 0~5 पर लक्ष्य और संतुलन अलग दर्शाता है। प्रबल लाभ और विलंब से लक्ष्य अतिक्रमण या दोलन होने पर भी छोटी अवलोकन अवधि से दीर्घकालीन स्थिरता सिद्ध नहीं होती। यह काल्पनिक सक्रिय तापन–शीतलन उपकरण है; यह वास्तविक हीटर के स्विच, बिजली खपत या सुरक्षित संचालन की भविष्यवाणी नहीं करता और न ही सेटिंग सुझाता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: फीडबैक और नियंत्रण की मूल बातें · MIT: विविक्त समय में फीडबैक और दोलन
नीचे दिया गया स्मार्ट हीटर लेख तापमान सेंसर और ऐक्चुएटर का संबंध समझने की आधारभूत सामग्री है। यह इस अभ्यास के काल्पनिक नियंत्रण लाभ या विलंब के मान नहीं सुझाता।
रसायन विज्ञान · ऊष्मा धारिता और तापीय साम्य
अलग तापमान वाली दो वस्तुएँ,
किस तापमान पर समान होंगी?
दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान, शुरुआती तापमान और A की काल्पनिक विशिष्ट ऊष्मा बदलें।
अंतिम तापमान और दोनों के बीच आदान-प्रदान हुई ऊष्मा साथ देखें।
B की विशिष्ट ऊष्मा 1 kJ/(kg·K) पर स्थिर है। विशिष्ट ऊष्मा और द्रव्यमान के गुणनफल से मिलने वाली ऊष्मा धारिता समान हो तो द्रव्यमान अलग होने पर भी अंतिम तापमान दोनों शुरुआती तापमानों के बीच का मध्य मान होता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
ऊष्मा धारिता स्वयं बदलने पर
तापमान किस बिंदु पर समान होंगे, यह केवल द्रव्यमान से तय नहीं होता। समान तापांतर पर भी अधिक ऊष्मा का आदान-प्रदान करने वाली वस्तु की ऊष्मा धारिता को साथ देखें।
ऊष्मा धारिता C = द्रव्यमान × विशिष्ट ऊष्मा है। दोनों वस्तुओं की ऊष्मा धारिताएँ C_A, C_B हों, तो अंतिम तापमान T_f = (C_A·T_A + C_B·T_B)/(C_A + C_B) है। प्रत्येक वस्तु को मिली ऊष्मा Q_A = C_A(T_f − T_A), Q_B = C_B(T_f − T_B) है; ऊष्मा मिलने पर धनात्मक और खोने पर ऋणात्मक मान दिखता है। बाहर से ऊष्मा का आदान-प्रदान नहीं होता, इसलिए Q_A + Q_B = 0 है और अंतिम तापमान दोनों प्रारंभिक तापमानों के बीच होता है। ऊष्मा अधिक तापमान वाली वस्तु से कम तापमान वाली वस्तु की ओर जाती है; प्रारंभिक तापमान समान हों, तो स्थानांतरित ऊष्मा 0 है। सेल्सियस में 1°C का तापांतर 1K के बराबर है। इसमें स्थिर विशिष्ट ऊष्मा वाली दो काल्पनिक वस्तुएँ और पूर्ण ऊष्मीय संपर्क माना गया है; अवस्था परिवर्तन, रासायनिक अभिक्रियाएँ और बाहर होने वाली ऊष्मा हानि शामिल नहीं हैं। यह वास्तविक पदार्थों को मिलाने के प्रयोग या खाना पकाने के परिणाम की गणना करने का नुस्खा नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: विशिष्ट ऊष्मा और कैलोरीमिति
नीचे का लेख रासायनिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा संरक्षण और ऊर्जा संतुलन का बुनियादी परिचय देता है। इस गतिविधि की दो वस्तुएँ और काल्पनिक विशिष्ट ऊष्माएँ वास्तविक प्रक्रियाओं में पदार्थों का मिश्रण नहीं दर्शातीं।
भौतिकी · वृत्ताकार छिद्र से विवर्तन
छिद्र छोटा करने पर,
प्रकाश अधिक फैलता है।
वृत्ताकार छिद्र का व्यास, प्रकाश की तरंगदैर्घ्य और पर्दे तक की दूरी बदलें।
पहले अंधकारमय वलय और केंद्र से दूर किसी बिंदु पर सापेक्ष तीव्रता की तुलना करें।
हर विन्यास में केंद्र की तीव्रता 1 करके तुलना की जाती है। पर्दा दूर करने पर वलय की वास्तविक त्रिज्या बढ़ती है, लेकिन छिद्र और तरंगदैर्घ्य समान रहने पर कोणीय चौड़ाई समान रहती है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
छिद्र और तरंगदैर्घ्य बदलकर देखने पर
छोटा छिद्र प्रकाश को एक बिंदु पर अधिक केंद्रित करने के बजाय विवर्तन से अधिक फैलाता है। उसी छिद्र में बड़ी तरंगदैर्घ्य भी अधिक चौड़ा प्रतिरूप बनाती है।
यह वृत्ताकार छिद्र पर समान रूप से पड़ते एकवर्णी प्रकाश से बना आदर्श Airy प्रतिरूप है। व्यास D, तरंगदैर्घ्य λ, पर्दे की दूरी z और केंद्र से दूरी r सभी को m में लेकर u = πDr/(λz) रखने पर सापेक्ष तीव्रता I = [2J₁(u)/u]² होती है। J₁, 1 क्रम का Bessel फलन है और केंद्र u = 0 पर I = 1 है। पहला अंधकारमय वलय J₁ के पहले धनात्मक शून्य u ≈ 3.831706 पर बनता है। इसका कोण लगभग 1.21967λ/D है, पर्दे पर त्रिज्या इस मान को z से गुणा करने पर मिलती है और अंदर के वृत्त का क्षेत्रफल πr² है। हर विन्यास में केंद्र की तीव्रता 1 किए गए वक्र दिखते हैं, इसलिए निरपेक्ष तीव्रता या आने वाले कुल प्रकाश की तुलना नहीं होती। इसमें सुसंगत एकवर्णी प्रकाश के लिए दूर क्षेत्र और लघु कोण विवर्तन सन्निकटन का उपयोग होता है; यह वास्तविक कैमरे की समग्र स्पष्टता या अन्य प्रकाशीय हानियों का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: वृत्ताकार छिद्र और विवर्तन की चौड़ाई · MIT: Airy प्रतिरूप की सापेक्ष तीव्रता (PDF)
नीचे के लेख में समुद्री लहरों के संरचनाओं के आसपास फैलने वाले विवर्तन से तुलना कर सकते हैं। यह गतिविधि एकवर्णी प्रकाश और वृत्ताकार छिद्र पर केंद्रित है; यह समुद्री लहरों का आकार गणना करने वाला मॉडल नहीं है।
अर्थव्यवस्था व समाज · स्थिर युग्मन
एक-दूसरे के लिए पसंद का क्रम,
प्रस्ताव लंबित रखकर जोड़ियाँ बनाएँ।
दोनों पक्षों की वरीयता सूची और पहले प्रस्ताव देने वाला पक्ष बदलें।
प्रस्तावों को चरणबद्ध देखें और जानें कि जोड़ी बनी क्यों रहती है या बदलती क्यों है।
काल्पनिक A·B·C एक पक्ष हैं और X·Y·Z दूसरा पक्ष। सभी बिना बराबरी के क्रम देते हैं; अभी जोड़ी न बनी हो, तब भी वर्तमान आवंटन से सुधार करने वाली जोड़ियाँ गिनी जाती हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रस्तावों के क्रम को देखकर
मिले प्रस्ताव को अस्थायी रूप से रख सकते हैं और अधिक पसंदीदा प्रस्ताव आने पर बदल सकते हैं। अंत में ऐसी कोई अन्य जोड़ी नहीं बचती जिसके दोनों सदस्य अपने वर्तमान साथी से अधिक एक-दूसरे को चाहते हों।
यह Gale–Shapley की विलंबित स्वीकृति प्रक्रिया है। बिना जोड़ी वाले प्रस्तावकों में से नामक्रम में पहला सदस्य चुना जाता है, जो अपनी वरीयता के क्रम में ऐसे सदस्य को प्रस्ताव देता है जिसे उसने अभी प्रस्ताव नहीं दिया है। प्रस्ताव पाने वाला पक्ष सबसे पसंदीदा प्रस्ताव अस्थायी रूप से रखता है और बेहतर प्रस्ताव आने पर पिछले प्रस्तावक को मुक्त कर देता है। अस्वीकृत या मुक्त हुआ प्रस्तावक अगले सदस्य को प्रस्ताव देता है; सभी की जोड़ियाँ बनने तक यह दोहराया जाता है। ऐसे दो अन्य सदस्य जो अपने वर्तमान साथी से अधिक एक-दूसरे को पसंद करते हैं, सुधार करने वाली जोड़ी के रूप में गिने जाते हैं। बिना जोड़ी होने को हर संभावित साथी से नीचे माना जाता है, इसलिए प्रक्रिया के दौरान यह संख्या अधूरे आवंटन में सुधार की संभावनाएँ दर्शाती है। पूरे आवंटन में ऐसी कोई जोड़ी न हो, तो वह स्थिर है। स्थिरता का अर्थ कुल संतुष्टि का अधिकतम होना या सबसे न्यायसंगत परिणाम नहीं है। यहाँ की तरह दोनों पक्षों की संख्या समान हो और पूर्ण, बिना बराबरी वाली वरीयता सूचियाँ हों, तो यह प्रक्रिया प्रस्ताव देने वाले पक्ष के लिए सबसे अनुकूल स्थिर जोड़ीकरण बनाती है। वरीयता समूह या प्रस्ताव की दिशा बदलने पर नई स्थितियों के अनुसार शुरू से गणना किया गया इतिहास दिखता है; यह वास्तविक लोगों के मूल्य या उपयुक्तता का आकलन नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: स्थिर जोड़ीकरण और विलंबित स्वीकृति (PDF)
नीचे का लेख खेल सिद्धांत का बुनियादी परिचय है, जिसमें दूसरे के चुनाव मेरे परिणाम को प्रभावित करते हैं। स्थिर जोड़ीकरण की प्रस्ताव प्रक्रिया और वरीयता संबंधी शर्तें इस गतिविधि में अलग से समझाई गई हैं।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · घूर्णन निर्देशांक
वही सीधी रेखा में गति भी,
घूमते पर्दे पर वक्र दिखती है
घूर्णन दर तथा वस्तु की प्रारंभिक चाल, दिशा और समय बदलें।
अघूर्णी और घूर्णी निर्देशांक तंत्रों में दिखने वाली एक ही गति की तुलना करें।
प्रारंभिक बिंदु (1, 0) है और प्रारंभिक दिशा 0° दाईं ओर है। केवल घूर्णन दर बदलने पर वही वास्तविक सीधा पथ अलग दृष्टिकोण से दिखता है; वस्तु की प्रारंभिक चाल या दिशा बदलने पर वास्तविक पथ भी बदलता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
देखने के निर्देशांक तंत्र को घुमाने पर
वस्तु जड़त्वीय निर्देशांकों में सीधी चले, तब भी घूर्णी निर्देशांकों में उसका पथ मुड़ा हुआ दिखता है। उस तंत्र में त्वरण समझाने के लिए कोरिओलिस और अपकेंद्रीय दोनों पद देखने पड़ते हैं।
बाहरी बल के बिना वस्तु अघूर्णी जड़त्वीय निर्देशांकों में r(t) = (1, 0) + vt के अनुसार एकसमान सीधी गति करती है। घूर्णन दर स्थिर ω है और घूर्णी निर्देशांक r′ = R(−ωt)r से निकाले जाते हैं। R समतलीय घूर्णन रूपांतरण है। घूर्णी निर्देशांकों में वेग v′ = R(−ωt)v − ω × r′ है और त्वरण कोरिओलिस पद −2ω × v′ तथा अपकेंद्रीय पद −ω × (ω × r′) का योग है। समतलीय घटकों में कोरिओलिस पद (2ωv′y, −2ωv′x) और अपकेंद्रीय पद (ω²x′, ω²y′) हैं। जड़त्वीय निर्देशांकों में त्वरण 0 है; दोनों पद घूर्णी निर्देशांकों में गति व्यक्त करने से उत्पन्न होते हैं, वास्तव में कोई नया बल लगाने से नहीं। दोनों पथ समान लंबाई पैमाने पर चुने गए समय तक दिखाए जाते हैं। यह समान दर से घूमते समतल चक्र का काल्पनिक निर्देशांक मॉडल है; यह पृथ्वी की वास्तविक हवाओं, चक्रवातों या किसी विशेष गोलार्ध की वायुमंडलीय गति का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: घूर्णी संदर्भ तंत्र
नीचे के लेख में जड़त्व का आधार पढ़ सकते हैं, जिसके अनुसार बाहरी बल न होने पर वस्तु एकसमान सीधी गति बनाए रखती है। घूर्णी निर्देशांकों में दिखने वाला पथ और दोनों जड़त्वीय पद इस गतिविधि में अलग से समझाए गए हैं।
IT · न्यूनतम पथ
पहला रास्ता सस्ता हो, फिर भी
मंजिल तक की कुल लागत अलग होती है।
तीरों की लागत बदलें और S से T तक जाएँ।
सामने के सबसे सस्ते रास्ते और न्यूनतम कुल लागत वाले रास्ते की तुलना करें।
बाकी लागतें A → C = 8, B → C = 1, B → T = 9 हैं। चित्र में रेखाओं की लंबाई का लागत से संबंध नहीं है; केवल तीर की दिशा में जा सकते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
पथ की लागतें बदलकर देखने पर
पहला खंड सस्ता होने से पूरा पथ सबसे सस्ता नहीं हो जाता। S से T तक न्यूनतम लागत जानने के लिए आगे के खंडों की लागत भी जोड़नी होती है।
पथ की कुल लागत उसके सभी तीरों की लागत का योग है। इस छोटे निर्देशित नेटवर्क में चार पथ हैं: S → A → T, S → A → C → T, S → B → T, S → B → C → T। स्थानीय चुनाव में वर्तमान स्थान से सबसे सस्ता अगला तीर चुना जाता है; लागत बराबर हो, तो गंतव्य शीर्ष के नामक्रम से चुनाव होता है। न्यूनतम कुल लागत के लिए चारों पूरे पथों की तुलना होती है। न्यूनतम मान बराबर हो, तो पथों की संख्या दिखाई जाती है और नामक्रम का एक पथ प्रतिनिधि के रूप में खींचा जाता है। स्थानीय चुनाव का यह नियम Dijkstra एल्गोरिदम से अलग है। यह धनात्मक काल्पनिक लागतों वाला शैक्षिक मॉडल है; यह वास्तविक संचार नेटवर्क की स्थिति या यातायात के समय का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: न्यूनतम लागत वाले पथ और लागतों का योग (PDF)
नीचे के लेख में नोड, लिंक, राउटर और वैकल्पिक पथों की बुनियादी जानकारी पढ़ सकते हैं। चार पथों की न्यूनतम कुल लागत की गणना इस गतिविधि में अलग से समझाई गई है।
गणित व सांख्यिकी · पुनरावृत्ति और मापन
उसी रेखा को बारीकी से नापने पर,
उसके मोड़ों की अधिक लंबाई सामने आती है।
रेखाखंड में छोटे त्रिकोणीय मोड़ बार-बार बनाएँ।
शीर्षों को छोड़कर मापी लंबाई और सभी मोड़ों का अनुसरण करने वाली लंबाई की तुलना करें।
समान लंबाई का पैमाना आगे बढ़ाने के बजाय, निश्चित संख्या के अंतराल पर शीर्षों को जोड़ा जाता है। कम चरण होने पर उपलब्ध शीर्ष-अंतराल भी कम हो जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
छोटे मोड़ों का अनुसरण करके मापने पर
बड़े अंतराल वाली मापन रेखा छोटे मोड़ों को छोड़ देती है। उसी वक्र के शीर्षों का अधिक बारीकी से अनुसरण करने पर मापी गई लंबाई सभी रेखाखंडों की कुल लंबाई के करीब आती है।
Koch वक्र में हर रेखाखंड को मूल लंबाई के 1/3 वाले चार रेखाखंडों से बदला जाता है। पुनरावृत्ति के nवें चरण में रेखाखंडों की संख्या 4ⁿ, हर रेखाखंड की लंबाई प्रारंभिक लंबाई L/3ⁿ और कुल लंबाई L(4/3)ⁿ होती है। मापन रेखा हर 2ʳ शीर्ष पर रखे गए शीर्षों को जोड़कर लंबाइयाँ जोड़ती है और अंतिम छोर को भी शामिल करती है। इसका नियम वास्तविक तटरेखा पर समान लंबाई का पैमाना आगे बढ़ाकर मापने की विधि से अलग है। पर्दे पर 0~4 चरणों की सीमित बहुरेखा दिखाई जाती है, जिसका अपना आयाम 1 है। log 4 / log 3 आदर्श रूप से अनंत बार दोहराई गई स्वसमरूप संरचना का आयाम है, वर्तमान पर्दे से मापा गया आयाम नहीं। दोनों रेखाएँ समान cm पैमाना उपयोग करती हैं; यह वास्तविक तटरेखा की लंबाई या आयाम का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Brown: पुनरावर्ती संरचनाओं की लंबाई और वृद्धि · Wisconsin: स्वसमरूप संरचनाओं का आयाम
जीव विज्ञान व पर्यावरण · लय का समकालिकरण
अलग अवधि से चलने वाली घड़ी,
क्या संकेत से ताल मिला सकती है?
आंतरिक घड़ी की अवधि और बाहरी संकेत से उसका युग्मन बदलें।
हर दिन एक ही समय पर दोनों लयों का कला अंतर देखें।
बाहरी अवधि 24 घंटे पर स्थिर है। कला-घंटे दोनों लयों के कोणीय अंतर को घंटों में बदलकर व्यक्त करते हैं; यह सोने का वास्तविक समय नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
दोनों घड़ियों का अंतर देखने पर
मुक्त अवधियाँ अलग हों, तो कला अंतर संचित होता है। पर्याप्त प्रबल संकेत से मॉडल में स्थिर कला बनती है, लेकिन केवल इस शर्त से यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि अभी दोनों लय मिल चुकी हैं।
काल्पनिक दोलक की आंतरिक कला में से बाहरी कला घटाने पर मिले अंतर को φ कहते हैं। कला परिवर्तन की दर dφ/dt = Δ − K sin φ है और मुक्त अवधियों से उत्पन्न अंतर Δ = 2π(1/τ − 1/24) है। τ आंतरिक मुक्त अवधि और K मॉडल का युग्मन गुणांक है। K > |Δ| होने पर स्थिर कला मौजूद होती है; बराबरी की सीमा कठोर स्थिरता की शर्त में शामिल नहीं है। K = 0 और τ = 24 हों, तो सभी कलाएँ तटस्थ रूप से बनी रहती हैं; यह उस समकालिकता से अलग है जिसमें संकेत अंतर को वापस सुधारता है। स्थिर बिंदु होने पर भी क्षणिक प्रतिक्रिया में समय लगता है, और ठीक विपरीत अस्थिर बिंदु से शुरू होने वाला विशेष प्रक्षेपपथ वहीं रह सकता है। वर्तमान कला को −12 से लेकर +12 से कम की सीमा में लपेटकर दिखाया जाता है; संचित परिवर्तन और ग्राफ में पूरे चक्र भी शामिल हैं। यह सरल कला मॉडल हर दिन बाहरी घड़ी के समान समय की स्थिति और चुने गए दिन तक का पिछला पथ दिखाता है। K प्रकाश की चमक या भोजन की मात्रा नहीं है; यह लोगों के सोने या खाने का समय निर्धारित नहीं करता और स्वास्थ्य का आकलन नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · मूल शोध: जैविक लयों की कला समकालिकता
नीचे का लेख शरीर की केंद्रीय और परिधीय घड़ियों तथा पर्यावरणीय संकेतों के संबंध का बुनियादी परिचय देता है। इस काल्पनिक मॉडल के अंकों को भोजन या नींद की समय-सारणी के रूप में न समझें।
जीवन व सामान्य ज्ञान · चयनात्मक ध्यान
शब्द का अर्थ कुछ देर छोड़कर,
स्याही का रंग चुनें।
शब्द और रंग के मेल खाने तथा अलग होने की स्थितियों की तुलना करें।
9 प्रश्नों के उत्तर देकर पढ़ने और रंग चुनने के बीच टकराव महसूस करें।
शब्द जिस रंग का अर्थ बताता है, उसके बजाय उसकी स्याही का रंग चुनें। बटन या कीबोर्ड की 1·2·3 कुंजियों से उत्तर दे सकते हैं।
स्थिति चुनकर शुरू करें।
हर पूरी की गई स्थिति के रिकॉर्ड की तुलना केवल इस पेज को देखते समय होती है। स्थिति बदलने पर चल रहा प्रश्न रद्द हो जाता है; क्रम बदलने या रीसेट करने पर तुलना के रिकॉर्ड भी मिट जाते हैं।
संगत स्थिति · अभी कोई पूरा रिकॉर्ड नहीं है।
असंगत स्थिति · अभी कोई पूरा रिकॉर्ड नहीं है।
खुद उत्तर देकर आज का मिशन खोजें।
शब्द को अनदेखा करके रंग चुनने पर
पढ़ने की परिचित आदत स्याही का रंग चुनने से टकरा सकती है। संगत और असंगत स्थितियों में सही उत्तरों के प्रतिक्रिया समय और गलत उत्तरों को साथ रखकर देखें।
Stroop के मूल शोध में शब्द को अनदेखा करके स्याही का रंग बोलने का कार्य था। यह स्क्रीन बटन से उत्तर देने वाली छोटी शैक्षिक गतिविधि है, जो मूल शोध के मौखिक प्रतिक्रिया परीक्षण से अलग है। हर क्रम में लाल, नीली और हरी स्याही तीन-तीन बार दिखाई जाती है। शुरू करने का बटन दबाने पर उद्दीपक दिखने से पहले उत्तर तक का समय उपकरण की घड़ी से मापा जाता है; उत्तर के बाद अगला प्रश्न आपको खुद दबाना होता है। केवल सही उत्तरों के समय क्रमबद्ध करके माध्यिका निकाली जाती है; कोई सही उत्तर न हो, तो समय नहीं दिखाया जाता। गलत उत्तरों को 0 समय या दंड में बदलने के बजाय अलग गिना जाता है। टैब छोड़ने या विंडो छिपने पर चल रही गतिविधि रद्द हो जाती है। उपकरण, इनपुट विलंब, रंग दृष्टि, अभ्यास और स्थितियों का क्रम परिणामों को प्रभावित करते हैं, इसलिए असंगत स्थिति हमेशा धीमी होगी, ऐसा परिणाम अनिवार्य नहीं है। इसे व्यक्तिगत बुद्धि या एकाग्रता का अंक अथवा नैदानिक निष्कर्ष न समझें। अलग-अलग उत्तरों के प्रतिक्रिया समय और तुलना रिकॉर्ड न भेजे जाते हैं, न उपकरण पर सहेजे जाते हैं; केवल मिशन पूरा होने की स्थिति पहले से मौजूद गतिविधि रिकॉर्ड में रहती है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Stroop: पढ़ने और रंग बताने के बीच हस्तक्षेप का मूल शोध
नीचे के लेख में जरूरी जानकारी चुनने और गैरजरूरी जानकारी हटाने वाली ध्यान प्रक्रिया का आधार पढ़ सकते हैं। इस गतिविधि के प्रतिक्रिया समय को प्रशिक्षण के प्रभाव या स्वास्थ्य की स्थिति का आकलन करने का आधार न बनाएँ।
रसायन विज्ञान · आवेश और धातु निर्माण
समान आवेश प्रवाहित करने पर भी,
बनने वाली धातु की मात्रा अलग होती है।
धारा, प्रवाह का समय और धातु आयन बदलें।
इलेक्ट्रॉनों की मात्रा से धातु के मोल और द्रव्यमान तक का संबंध खोजें।
यह आदर्श मॉडल मानता है कि दिया गया पूरा आवेश चुने गए धातु आयन के अपचयन में लगता है। एल्युमिनियम के लिए उपयुक्त विद्युत अपघटन स्थितियाँ मानी गई हैं; यह जलीय विलयन में विद्युतलेपन का उदाहरण नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
इलेक्ट्रॉनों की मात्रा से धातु की मात्रा समझने पर
ताँबे का एक आयन दो इलेक्ट्रॉन और चाँदी का एक आयन एक इलेक्ट्रॉन लेकर धातु बनता है। समान आवेश पर भी आवश्यक इलेक्ट्रॉन संख्या और मोलर द्रव्यमान के अनुसार उत्पाद का द्रव्यमान बदलता है।
धारा I को t सेकंड तक स्थिर रूप से प्रवाहित करने पर कुल आवेश Q = It होता है। इसे 1mol इलेक्ट्रॉनों के आवेश, अर्थात फैराडे नियतांक F ≈ 96485.33212331001 C/mol से भाग देने पर इलेक्ट्रॉनों की मोल संख्या Q/F मिलती है। धातु के एक आयन को आवश्यक इलेक्ट्रॉनों की संख्या n हो, तो धातु की मोल संख्या Q/(nF) और द्रव्यमान, मोलर द्रव्यमान M से गुणा करके MQ/(nF) होता है। ताँबे, चाँदी और एल्युमिनियम के प्रतिनिधि मोलर द्रव्यमान क्रमशः 63.546, 107.8682, 26.9815384 g/mol हैं और आवश्यक इलेक्ट्रॉन क्रमशः 2·1·3 हैं। F मूल आवेश और आवोगाद्रो नियतांक का गुणनफल है। चित्र की तीन सीधी रेखाएँ समान आवेश पर आदर्श उत्पाद द्रव्यमान का संबंध दिखाती हैं और चुना गया बिंदु वर्तमान गणना का परिणाम है। दिया गया आवेश 0 हो, तो इलेक्ट्रॉनों और धातु की मात्रा दोनों 0 होती हैं। गणना में पर्याप्त धातु आयन और 100% धारा दक्षता मानी गई है। वास्तविक विद्युत अपघटन में अन्य अभिक्रियाएँ, विभव, विद्युत अपघट्य और सतह की स्थिति भी परिणाम प्रभावित करते हैं; इसका अर्थ यह नहीं कि जलीय विलयन में एल्युमिनियम का विद्युतलेपन संभव है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: विद्युत अपघटन और बने पदार्थ की मात्रा · NIST: SI परिभाषक नियतांक · CIAAW: मानक परमाणु भार
नीचे का विद्युतरसायन लेख विद्युत अपघटनी सेल, फैराडे के पदार्थ-मात्रा संबंध और विद्युतलेपन की पृष्ठभूमि समझाता है। पढ़ते समय गतिविधि की आदर्श उत्पाद मात्रा और वास्तविक विद्युतलेपन प्रक्रिया के परिणाम में अंतर रखें।
भौतिकी · स्थैतिक और गतिज घर्षण
घर्षण बल की ऊपरी सीमा और वास्तविक मान,
कब समान और कब अलग होते हैं?
ढलान, घर्षण गुणांक, द्रव्यमान और गति की स्थिति बदलें।
समान स्थितियों में रुकी हुई वस्तु और पहले से नीचे फिसलती वस्तु की तुलना करें।
स्थैतिक घर्षण केवल आवश्यकता भर लगता है और अपनी ऊपरी सीमा पार नहीं कर सकता। पहले से फिसलती वस्तु के लिए गतिज घर्षण लिया जाता है और वर्तमान त्वरण की दिशा दिखाई जाती है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
घर्षण बल का वास्तविक मान देखने पर
रुकी हुई वस्तु का घर्षण बल हमेशा अधिकतम नहीं होता। यह नीचे खींचने वाले बल को संतुलित करने जितना ही होता है; पहले से फिसलने पर दूसरे गुणांक से गणना की जाती है।
ढलान के कोण θ की स्पर्शज्या ऊँचाई/क्षैतिज लंबाई है। ढलान की दिशा में गुरुत्व बल का घटक mg sin θ और अभिलंब बल N = mg cos θ है; g = 9.80665 m/s² लिया जाता है। स्थैतिक घर्षण की ऊपरी सीमा μsN है। वस्तु शुरू में रुकी हो और tan θ ≤ μs हो, तो वास्तविक घर्षण बल mg sin θ के बराबर और परिणामी बल 0 है। इस आदर्श मॉडल में सीमा के ठीक बराबर होने पर भी वस्तु विराम में रह सकती है। ढलान और खड़ी हो, तो वस्तु फिसलने लगती है; पहले से नीचे फिसलने पर भी गतिज घर्षण μkN लिया जाता है। μk, μs को चुने गए गुणांक अनुपात से गुणा करने पर मिलता है। तब नीचे की ओर त्वरण g(sin θ − μk cos θ) है। ऋणात्मक मान का अर्थ है कि उस क्षण नीचे जाती वस्तु धीमी हो रही है; इसका अर्थ यह नहीं कि वह रुक चुकी है या ऊपर जा रही है। चित्र में गुरुत्व बल, अभिलंब बल और वास्तविक घर्षण बल समान पैमाने पर दिखाए जाते हैं। ढलान की दिशा वाला गुरुत्व घटक, गुरुत्व बल का विभाजित घटक है; इसे अलग चौथे बल के रूप में नहीं जोड़ा जाता। यह एक क्षण की तुलना और संपर्क सतह के घर्षण का सरल मॉडल है, जो वेग या गति-पथ की गणना नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: स्थैतिक और गतिज घर्षण
नीचे का चिरसम्मत यांत्रिकी लेख परिणामी बल, द्रव्यमान और त्वरण के संबंध का आधार समझाता है। आनत तल के घर्षण गुणांक और स्थैतिक घर्षण की ऊपरी सीमा के सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र-संबंधी स्रोत में आगे पढ़ सकते हैं।
अर्थव्यवस्था व समाज · एकाधिकार और व्यापार मात्रा
माँग और लागत समान हों, फिर भी
बिक्री के नियम लेनदेन की मात्रा बदलते हैं।
माँग का आरंभिक मूल्य, ढाल और सीमांत लागत बदलें।
प्रतिस्पर्धी मानक और एकल-मूल्य एकाधिकार में लेनदेन की मात्रा, मूल्य और कल्याण की तुलना करें।
यह स्थिर लागत, बाहरी लागत और मूल्य भेदभाव को छोड़ने वाला काल्पनिक बाजार है। लेनदेन की मात्रा 0 हो, तो वास्तविक बिक्री न होने के कारण लेनदेन मूल्य नहीं दिखाया जाता और अधिशेष तथा कल्याण हानि सभी 0 दिखाए जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
बिक्री की मात्रा और मूल्य साथ बदलने पर
एक ही मूल्य पर बेचने से बिक्री बढ़ाते समय पहले बिकने वाली इकाइयों का मूल्य भी घटता है। इसलिए सीमांत आय मूल्य से कम होती है और लाभ अधिकतम करने वाली लेनदेन मात्रा प्रतिस्पर्धी मानक से कम होती है।
काल्पनिक प्रतिलोम माँग P = A − Bq है और स्थिर सीमांत लागत c है। कुल आय Pq = Aq − Bq² तथा एक अतिरिक्त इकाई बेचने से बढ़ने वाली सीमांत आय MR = A − 2Bq है। प्रतिस्पर्धी मानक में P = c होने से qC = max(0, (A − c)/B) और एकल-मूल्य एकाधिकार में MR = c होने से qM = qC/2 है। एकाधिकार बिक्री आय के बजाय आय से लागत cq घटाकर मिले लाभ को अधिकतम करता है। उपभोक्ता अधिशेष भुगतान की इच्छा और मूल्य के बीच का त्रिभुज है; उत्पादक अधिशेष मूल्य और लागत के बीच का आयत है। स्थिर लागत न होने के कारण इस मॉडल में उत्पादक अधिशेष लाभ के बराबर है। दोनों अधिशेषों का योग कुल अधिशेष है और प्रतिस्पर्धी मानक के कुल अधिशेष में जो कमी आती है, वह कल्याण हानि है। कल्याण हानि गायब हुए लेनदेन का शुद्ध लाभ है और उसका क्षेत्र उपभोक्ता अधिशेष से अलग है। लागत c आरंभिक मूल्य A के बराबर या अधिक हो, तो दोनों नियमों में कोई लेनदेन नहीं होता, इसलिए वास्तविक बिक्री मूल्य नहीं दिखाया जाता। ग्राफ में केवल धनात्मक मूल्य पैमाने के भीतर आने वाला सीमांत आय का भाग खींचा जाता है और अधिशेष तथा हानि के क्षेत्र वास्तविक मात्रा-मूल्य निर्देशांकों में दिखाए जाते हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: एकाधिकार का लाभ अधिकतमीकरण और कल्याण
नीचे का सूक्ष्मअर्थशास्त्र लेख मूल्य के प्रति माँग की प्रतिक्रिया तथा प्रतिस्पर्धा और एकाधिकार की मूल्य-निर्धारण शक्ति के अंतर का आधार समझाता है। सीमांत आय और कल्याण हानि की सटीक गणना ऊपर दिए गए सूत्र-संबंधी स्रोत में आगे पढ़ सकते हैं।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · गुरुत्व का अंतर
सब एक ही दिशा में खिंचें, फिर भी
केंद्र की तुलना में अंतर अलग होता है।
बाहरी खगोलीय पिंड की गुरुत्वीय तीव्रता, दूरी और सतह की स्थिति बदलें।
गुरुत्वीय त्वरण और पृथ्वी के केंद्र का मान घटाकर मिले विभेदी गुरुत्वीय त्वरण को साथ देखें।
पृथ्वी के केंद्र के साथ चलने वाले संदर्भ तंत्र में सतह और केंद्र पर बाहरी गुरुत्व का अंतर देखें। बाहरी खगोलीय पिंड एक बिंदु द्रव्यमान है; पृथ्वी का अपना गुरुत्व और समुद्री जल की ऊँचाई नहीं दिखाई गई है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
पृथ्वी के केंद्र से तुलना करने पर
निकट वाला भाग केंद्र से अधिक और विपरीत भाग कम खिंचता है। केंद्र से अंतर देखें तो दोनों ओर दिशा बाहर की हो सकती है, लेकिन वास्तविक गुरुत्व की दिशा उलटी नहीं हुई है।
मॉडल की त्रिज्या R = 1, बाहरी बिंदु द्रव्यमान की गुरुत्वीय तीव्रता μ और केंद्रों की दूरी D का उपयोग किया जाता है। केंद्र को (0, 0), बाहरी पिंड को (D, 0) और सतह को p = (cos α, sin α) मानें, तो बाहरी गुरुत्वीय त्वरण g(p) = μ(D − x, −y)/[(D − x)² + y²]³ᐟ² है। केंद्र g(0) = (μ/D², 0) से खिंचता है और सतह तथा केंद्र का विभेदी गुरुत्व Δg = g(p) − g(0) है। सतह से बाहर की दिशा में Δg का प्रक्षेप धनात्मक हो तो बाहर और ऋणात्मक हो तो भीतर की दिशा दर्शाता है। विपरीत भाग पर भी बाहरी गुरुत्व पिंड की ओर ही है; केंद्र से कम खिंचने का अंतर बाहर की ओर दिखता है। सतह का बड़ा चित्र बारह स्थानों की तुलना तीरों के समान पैमाने पर करता है। पिंड पर्याप्त दूर हो तो विभेदी गुरुत्व का विशिष्ट परिमाण लगभग दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती होता है; इसे बाहरी गुरुत्व के स्वयं दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होने से अलग समझें। वास्तविक ज्वार पर तट, समुद्र तल, घूर्णन, अन्य पिंड और समुद्र की प्रतिक्रिया भी प्रभाव डालते हैं। यह चित्र समुद्री जल की ऊँचाई, ज्वार-भाटे के समय या स्थानीय ज्वारीय समय का पूर्वानुमान नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NOAA: ज्वार उत्पन्न करने वाला विभेदी गुरुत्व · OpenStax: ज्वारीय बल और केंद्र के सापेक्ष अंतर
IT · अविभाज्य विकल्प
प्रति भार मूल्य के क्रम में चुनने पर भी,
सबसे अच्छा संयोजन अलग हो सकता है।
बैग की सीमा, सामान की सूची और चयन विधि बदलें।
प्रति भार मूल्य के क्रम में भरने की विधि की सभी संभव संयोजनों से तुलना करें।
हर वस्तु एक ही है और उसे बाँटकर नहीं रख सकते। बैग की सीमा न लाँघने वाले संयोजनों के कुल मूल्य की तुलना की जाती है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
अच्छी वस्तु और अच्छे संयोजन की तुलना करने पर
प्रति भार अधिक मूल्य वाली एक वस्तु शेष जगह को अनुपयोगी बना सकती है। अविभाज्य वस्तुओं में उनकी अलग-अलग रैंक के साथ उन्हें साथ रखने का संयोजन भी महत्त्वपूर्ण है।
0/1 नैपसैक समस्या में हर वस्तु को पूरा रखने या छोड़ने का चुनाव होता है। अनुपात क्रम विधि मूल्य/भार में सबसे बड़ी वस्तु पहले देखती है और शेष सीमा में समाए तो रखती है। अनुपात बराबर हो तो A को पहले देखा जाता है। समग्र इष्टतम विधि खाली बैग सहित सभी 64 संयोजनों की तुलना कर सीमा के भीतर अधिकतम मूल्य वाला संयोजन चुनती है। एक ही अधिकतम मूल्य देने वाले कई संयोजन हों तो उनमें से एक दिखाया जाता है। अनुपात क्रम विधि हमेशा गलत नहीं होती; सूची B में सीमा 6 होने पर दोनों विधियों का मूल्य 16 है। यह मॉडल वस्तुओं को बाँटकर रखने वाली भिन्नात्मक नैपसैक समस्या से अलग है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: 0/1 नैपसैक समस्या और विकल्पों के संयोजन
गणित व सांख्यिकी · शेषफल और आवर्त
दो दोहराते कार्यक्रम,
एक साथ पड़ने के लिए शुरुआत भी मेल खानी चाहिए।
दो आवर्तकालों का संयोजन और उनके शेषफल बदलें।
खोजें कि एक ही समय को दर्शाने वाली दोनों शर्तें कब एक साथ पूरी होती हैं।
वे समय खोजे जाते हैं जिनमें t को हर आवर्तकाल से भाग देने पर निर्धारित शेषफल मिलता है। लघुत्तम समापवर्त्य होने पर भी शुरुआती स्थितियाँ मेल न खाएँ तो दोनों कार्यक्रम कभी एक साथ नहीं पड़ते।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
आवर्तकाल के साथ शेषफल भी मिलाने पर
दो सह-अभाज्य आवर्तकालों में कोई भी शेषफल चुनें, दोनों के मेल का समय होता है। यदि समापवर्तक हो, तो दोनों शेषफलों का अंतर उससे पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।
दो शर्तें t ≡ rA (mod m), t ≡ rB (mod n) हैं। महत्तम समापवर्तक g = gcd(m, n) शेषफलों के अंतर rB − rA को विभाजित करे तो हल होता है और पहले हल से हर लघुत्तम समापवर्त्य mn/g के अंतराल पर फिर मेल होता है। अन्यथा किसी भी समय हल नहीं होता। स्क्रीन पर लघुत्तम समापवर्त्य दोनों आवर्तकालों का अपना मान है; हल न होने पर इसका अर्थ वास्तविक मेल का अंतराल होना नहीं है। ग्राफ में पूर्णांक समय 0~70 के दोनों सिरे शामिल हैं और पहला हल 0 से कम नहीं तथा लघुत्तम समापवर्त्य से कम के बीच खोजा जाता है। यह पूर्णांक आवर्तकालों का मॉडल है, जिसमें वास्तविक कैलेंडर की छुट्टियाँ और अनियमित कार्यक्रम शामिल नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: चीनी शेषफल प्रमेय
जीव विज्ञान व पर्यावरण · बंद समूह में संक्रमण
प्रसार का अनुपात समान होने पर भी,
ग्रहण करने वाला समूह घटे तो परिणाम बदलता है।
प्रसार और निकास के अनुपात तथा शुरू में प्रसार कर रही मात्रा बदलें।
ग्रहण कर सकने वाला समूह घटने पर तीनों समूहों में बदलाव देखें।
यह 100 इकाइयों का काल्पनिक समूह है जिसमें बाहर से कोई प्रवेश नहीं होता। दशमलव मॉडल की सतत मात्राएँ हैं; ये वास्तविक लोगों की संख्या, तारीख या संक्रमण के जोखिम का पूर्वानुमान नहीं हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रसार ग्रहण करने वालों के घटने का क्रम देखने पर
केवल प्रसार गुणांक से वृद्धि या कमी तय नहीं होती। अभी ग्रहण कर सकने वाली मात्रा S घटे तो वर्तमान प्रभावी प्रसार अनुपात भी घटता है, जिससे प्रसार कर रही मात्रा में कमी का चरण आ सकता है।
बंद SIR मॉडल dS/dt = −βSI/100, dI/dt = βSI/100 − γI, dR/dt = γI से तीनों समूहों को जोड़ता है। योग हमेशा 100 है और नया प्रवेश, जन्म या पुनः प्रसार नहीं होता। R प्रसार की अवस्था से बाहर हुए समूह को दर्शाता है; इसका अर्थ केवल सभी का स्वस्थ हो जाना नहीं है। β/γ आधार अनुपात है और वर्तमान प्रभावी अनुपात (β/γ)S/100 है। I धनात्मक हो तो यह मान 1 से बड़ा होने पर उस क्षण बढ़ता और छोटा होने पर घटता है। ठीक 1 हो तो केवल उस क्षण परिवर्तन दर 0 है; इसका अर्थ लगातार स्थिर रहना नहीं है। शुरू में I = 0 हो तो अनुपात बड़ा होने पर भी प्रसार नहीं होता। मॉडल का समय और गुणांक वास्तविक रोग के नैदानिक आँकड़े नहीं हैं और व्यक्तिगत संक्रमण जोखिम या महामारी के आकार का आकलन नहीं करते।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Duke: SIR की मान्यताएँ और अवकल समीकरण · Duke: वृद्धि की शर्त और मॉडल का विश्लेषण
जीवन व सामान्य ज्ञान · आँख का अंध बिंदु
दिखती स्क्रीन और आँख में बनने वाले प्रतिबिंब,
इनके बीच एक छोटा रिक्त स्थान है।
देखने वाली आँख और लक्ष्य का अंतर बदलकर अवलोकन करें।
अलग प्रक्षेपण मॉडल में दूरी और बाएँ-दाएँ प्रतिबिंब के संबंध को देखें।
दूसरी आँख को बिना दबाए हल्के से ढकें, क्रॉस को देखते रहें और देखने की वास्तविक दूरी धीरे-धीरे बदलें। असुविधा हो तो रुकें और चाहें तो दोनों आँखों से देखें। लक्ष्य के गायब होने या न होने का मिशन के अंक पर प्रभाव नहीं पड़ता।
आँख की दिशा और मॉडल के मान बदलकर आज का मिशन खोजें।
आँख के रिक्त स्थान और प्रक्षेपण को अलग समझने पर
दृष्टि तंत्रिका जहाँ रेटिना से बाहर निकलती है, उस ऑप्टिक डिस्क में प्रकाश ग्रहण करने वाली कोशिकाएँ नहीं होतीं, जिससे अंध बिंदु बनता है। लक्ष्य दिखेगा या नहीं, यह व्यक्ति, स्क्रीन और देखने की दूरी पर निर्भर करता है।
दायाँ दृश्य क्षेत्र बाएँ रेटिना पर और बायाँ दृश्य क्षेत्र दाएँ रेटिना पर बनता है। नीचे का आदर्श पिनहोल प्रक्षेपण मॉडल प्रक्षेपण तल की दूरी 1 मनमानी इकाई मानकर, पार्श्व अंतर a और आगे की दूरी d से दिशा कोण arctan(a/d) तथा प्रतिबिंब की स्थिति −a/d दिखाता है। यह वास्तविक आँख के फोकस, रेटिना की वक्र सतह या व्यक्ति के अंध बिंदु की स्थिति और आकार को दोहराने वाला नेत्र मॉडल नहीं है। मॉडल के कोण और लंबाइयाँ वास्तविक स्क्रीन के दृश्य कोण या रेटिना की स्थिति के माप नहीं हैं और यह दृष्टि या नेत्र स्वास्थ्य की जाँच भी नहीं है। अवलोकन के परिणाम की परवाह किए बिना नियंत्रण बदलकर ही मिशन पूरा किया जा सकता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: रेटिना और ऑप्टिक डिस्क · Exploratorium: अंध बिंदु के अवलोकन की विधि
रसायन विज्ञान · इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर और प्रकाश
प्रारंभिक ऊँचाई से अधिक,
नीचे आने पर ऊर्जा का अंतर महत्त्वपूर्ण है।
काल्पनिक परमाणु के दो स्तरों का अंतर और आधार ऊँचाई बदलें।
उत्सर्जित एक फोटॉन की तरंगदैर्घ्य और कई फोटॉनों की कुल ऊर्जा की तुलना करें।
यह काल्पनिक मॉडल दो स्तरों के बीच एक निम्नगामी संक्रमण की अनुमति देता है। समान संक्रमण कई बार होने पर समान ऊर्जा के फोटॉन निकलते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
ऊर्जा स्तरों और एक फोटॉन को जोड़कर देखने पर
दोनों स्तर समान रूप से ऊपर उठाने पर भी नीचे आने का ऊर्जा अंतर समान रहता है। फोटॉन संख्या बढ़ने पर कुल ऊर्जा बढ़ती है, लेकिन एक फोटॉन की तरंगदैर्घ्य वही रहती है।
अनुमत संक्रमण में एक फोटॉन की ऊर्जा ΔE = Eऊपरी − Eनिचला = hf = hc/λ है। समान प्रकाश के N फोटॉन हों तो कुल ऊर्जा NΔE है। प्लांक स्थिरांक h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s, प्रकाश की चाल c = 299792458 m/s और 1eV = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ J का उपयोग किया जाता है। ऊर्जा अंतर बढ़ने पर आवृत्ति बढ़ती और तरंगदैर्घ्य घटती है। चित्र दो स्तर और एक प्रकार का अनुमत संक्रमण दिखाता है। दृश्य प्रकाश का क्षेत्र लगभग 380~780nm दिखाया गया है और इसकी सीमाएँ व्यक्ति के अनुसार बदल सकती हैं। वास्तविक परमाणुओं में कई स्तर और चयन नियम होते हैं, इसलिए सभी संक्रमण अनुमत नहीं होते। यह वास्तविक ज्वाला का रंग, तत्व का प्रकार, उत्सर्जन रेखाओं की सापेक्ष तीव्रता या आँखों को दिखने वाला रंग तय करने वाला मॉडल नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: परमाणु स्पेक्ट्रम और ऊर्जा स्तर संक्रमण · NIST: SI भौतिक स्थिरांक
नीचे ज्वाला परीक्षण के लेख में उत्तेजित इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा संक्रमण, उत्सर्जन रेखाओं और तत्व विश्लेषण की पृष्ठभूमि आगे पढ़ सकते हैं।
भौतिकी · तरंगदैर्घ्य और प्रकीर्णन
उसी छोटे कण पर भी,
प्रकाश की तरंगदैर्घ्य के अनुसार प्रकीर्णन बदलता है।
दो प्रकाशों की तरंगदैर्घ्य और अवलोकन दिशा बदलें।
समान पैमाने की प्रकीर्णन तीव्रता वक्र रेखाओं पर तरंगदैर्घ्य और दिशा के प्रभाव अलग-अलग देखें।
यह प्रकाश की तरंगदैर्घ्य से बहुत छोटे समान कणों पर अध्रुवित प्रकाश का प्रत्यास्थ एकल प्रकीर्णन है। आपतित तीव्रता, कण संख्या, अवलोकन दूरी और ध्रुवणशीलता समान रखी गई हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
तरंगदैर्घ्य और दिशा अलग-अलग बदलने पर
छोटी तरंगदैर्घ्य का प्रकीर्णन अधिक तीव्र होता है। समान दिशा में दोनों प्रकाशों की तीव्रताओं का अनुपात तरंगदैर्घ्य से तय होता है, जबकि प्रत्येक की तीव्रता अवलोकन दिशा के अनुसार बदलती है।
इन शर्तों में प्रकीर्णन तीव्रता (1 + cos²θ)/λ⁴ के समानुपाती है। 550nm प्रकाश के अग्र प्रकीर्णन को 1 मानें तो सापेक्ष तीव्रता (550/λ)⁴ × (1 + cos²θ)/2 है। θ आपतित प्रकाश की गति की दिशा और अवलोकन दिशा के बीच का कोण है। आगे 0° और पीछे 180° पर तीव्रताएँ समान हैं तथा पार्श्व दिशा 90° पर प्रत्येक की आधी हैं। समान दिशा में A को B से भाग देने पर कोणीय गुणक कट जाता है और तीव्रता अनुपात (λB/λA)⁴ होता है। चित्र की त्रिज्या सापेक्ष तीव्रता है, फोटॉन की यात्रा दूरी या प्रायिकता नहीं। आधार से अधिक तीव्र होने पर मान 1 से अधिक हो सकता है। वास्तविक आकाश के रंग पर सूर्य का स्पेक्ट्रम, वायुमंडलीय पथ, अवशोषण, बहु प्रकीर्णन और आँखों की संवेदनशीलता भी प्रभाव डालते हैं, इसलिए केवल इस वक्र से वास्तविक रंग का पूर्वानुमान नहीं होता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · University of Texas: प्रकाश का प्रकीर्णन और कोणीय वितरण · NOAA/NWS: आकाश नीला क्यों है
नीचे रैले प्रकीर्णन के लेख में छोटी तरंगदैर्घ्य के प्रकीर्णन तथा नीले आकाश और लाल सूर्यास्त की पृष्ठभूमि आगे पढ़ सकते हैं।
अर्थव्यवस्था व समाज · ऑर्डर और भंडार
कम बार ऑर्डर करें तो,
भंडार में प्रतीक्षारत माल बढ़ता है।
वार्षिक माँग, एक ऑर्डर की लागत और भंडारण लागत बदलें।
देखें कि एक बार में मँगाई गई मात्रा के अनुसार दोनों लागतों का योग कैसे बदलता है।
इस मॉडल में माँग स्थिर है, भंडार 0 होते ही तुरंत भर दिया जाता है और यह बिना माल की कमी या छूट के दोहरता है। प्रति वस्तु खरीद मूल्य स्थिर है, इसलिए ऑर्डर मात्रा के अनुसार लागत की तुलना से इसे बाहर रखा गया है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
बार-बार ऑर्डर की लागत अलग-अलग देखने पर
एक बार में अधिक मँगाने से ऑर्डर कम बार देने पड़ते हैं और ऑर्डर लागत बचती है। साथ ही औसत भंडार बढ़ने से भंडारण लागत बढ़ती है; जहाँ दोनों लागतें बराबर होती हैं, वहाँ योग न्यूनतम होता है।
वार्षिक माँग D, प्रति ऑर्डर स्थिर लागत K, प्रति वस्तु वार्षिक भंडारण लागत H और ऑर्डर मात्रा Q हो, तो औसत वार्षिक ऑर्डर आवृत्ति D/Q और औसत भंडार Q/2 है। इसलिए वार्षिक संबंधित लागत DK/Q + HQ/2, सतत मॉडल की इष्टतम मात्रा Q* = √(2DK/H) और न्यूनतम लागत √(2DKH) है। इष्टतम बिंदु पर वार्षिक ऑर्डर लागत और भंडारण लागत समान होती हैं। इष्टतम मात्रा की आधी या दोगुनी मात्रा मँगाने पर दोनों लागतों का योग न्यूनतम का 1.25 गुना होता है। स्लाइडर 20 वस्तुओं के चरणों में चलता है, लेकिन सतत इष्टतम मान बीच में हो सकता है। D/Q का दशमलव होना लंबे समय तक दोहराने की औसत वार्षिक आवृत्ति दर्शाता है, किसी वास्तविक वर्ष में ऑर्डर का पूर्णांक कार्यक्रम नहीं। लागत ग्राफ हर बार दिखाए गए समान वार्षिक लागत पैमाने पर तीनों वक्रों की तुलना करता है। यह सीखने का मॉडल है जिसमें माँग में बदलाव, आपूर्ति अवधि, जगह की सीमा और छूट शामिल नहीं हैं; यह वास्तविक व्यवसाय की ऑर्डर मात्रा सुझाने वाली गणना नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: भंडार प्रबंधन और आर्थिक ऑर्डर मात्रा
नीचे आर्थिक ऑर्डर मात्रा का लेख ऑर्डर लागत और भंडारण लागत के संबंध तथा इसी इष्टतम मात्रा के सूत्र को सीधे समझाता है।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · जल तरंगों का परिक्षेपण
लहर के शिखर और लहरों का समूह,
क्या समान चाल से आगे बढ़ते हैं?
तरंगदैर्घ्य और जल की गहराई बदलकर समान समय बाद की दूरी देखें।
आगे बढ़ते शिखर के कला वेग और संकीर्ण बैंड वाले तरंग समूह के समूह वेग की तुलना करें।
ये छोटे आयाम और स्थिर जल गहराई वाली रैखिक सतही गुरुत्व तरंगें हैं। धारा, पृष्ठ तनाव और श्यानता शामिल नहीं हैं; समूह वेग सभी जल कणों के स्थानांतरण का वेग नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
शिखर और तरंग समूह की गति की तुलना करने पर
तरंगदैर्घ्य की तुलना में जल उथला हो तो दोनों वेग लगभग समान होते हैं। अपेक्षाकृत गहरे जल में संकीर्ण बैंड वाले तरंग समूह का समूह वेग शिखर के कला वेग के आधे के निकट होता है।
तरंग संख्या k = 2π/λ, जल गहराई h और गुरुत्वीय त्वरण g = 9.80665 m/s² हो, तो परिक्षेपण संबंध ω² = gk tanh(kh) है। कला वेग cp = ω/k और समूह वेग cg = dω/dk = cp[1 + 2kh/sinh(2kh)]/2 है। kh बहुत छोटा हो तो दोनों वेग √(gh) के निकट होते हैं और kh बहुत बड़ा हो तो समूह वेग कला वेग के आधे के निकट होता है। यहाँ उथला और गहरा केवल गहराई का वर्गीकरण नहीं, तरंगदैर्घ्य और जल गहराई का संबंध है। समान समय t बाद तय दूरियाँ क्रमशः cp·t और cg·t हैं तथा 0 सेकंड पर दोनों दूरियाँ 0 हैं। केवल समय बदलने से स्वयं वेग नहीं बदलते। समूह वेग संकीर्ण आवृत्ति बैंड के तरंग समूह और ऊर्जा संचरण को समझाता है। यह स्थिर गहराई और छोटे आयाम का मॉडल है, इसलिए वास्तविक सुनामी की लहर की ऊँचाई, आगमन समय, जलमग्नता या नौवहन जोखिम का पूर्वानुमान नहीं करता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · MIT: सतही गुरुत्व तरंगों का परिक्षेपण और समूह वेग · NOAA: सुनामी और लंबी लहरों की मूल बातें
नीचे सुनामी का लेख तरंगदैर्घ्य जल गहराई से बहुत अधिक होने पर √(gh) संबंध और जल गहराई के प्रभाव की बुनियादी जानकारी देता है। सामान्य परिक्षेपण सूत्र और समूह वेग की व्युत्पत्ति ऊपर MIT की सामग्री में आगे पढ़ सकते हैं।
IT · समानांतर प्रसंस्करण और क्रमिक कार्य
मिलकर काम बाँटने पर भी,
कुछ काम क्रम से ही करने पड़ते हैं।
समान कार्य में क्रमिक भाग का अनुपात और कोर की संख्या बदलें।
कोर बढ़ाने पर घटने वाले समय और न घट सकने वाले समय की तुलना करें।
कुल कार्यभार स्थिर है। केवल समानांतर भाग बराबर बाँटा जाता है; यह संचार और वितरण लागत को छोड़कर आदर्श ऊपरी सीमा है।
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क्रमिक भाग त्वरण अनुपात की सीमा तय करता है
कोर बढ़ाने पर भी क्रमिक कार्य नहीं घटता। समानांतर भाग छोटा होने के साथ शेष क्रमिक भाग का प्रभाव बढ़ता है।
एक कोर का कार्य समय 1, क्रमिक अनुपात f और कोर संख्या N मानें तो लगने वाला समय T = f + (1−f)/N और त्वरण अनुपात 1/T है। प्रति कोर दक्षता त्वरण अनुपात/N है। f, 0 से बड़ा हो तो कोर अनंत बढ़ाने पर भी त्वरण अनुपात केवल 1/f के निकट पहुँचता है। f=0 पर ∞ का अर्थ कोई परिमित आदर्श ऊपरी सीमा न होना है; वर्तमान N कोर का त्वरण अनुपात N है। N=1 हो या सारा कार्य क्रमिक हो तो त्वरण अनुपात 1 है। कुल सक्रिय कार्यभार हमेशा 1 है और N×T प्रतीक्षारत कोर सहित आरक्षित कोर समय है, जो वास्तव में किए CPU कार्यभार से अलग है। वास्तविक कंप्यूटर में वितरण, संचार और मेमोरी की लागत जुड़ती है, इसलिए यह वक्र हार्डवेयर प्रदर्शन की गारंटी नहीं देता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · LLNL: समानांतर कंप्यूटिंग और अमदाल का नियम
गणित व सांख्यिकी · अनावरण के नियम और प्रायिकता
बकरी दिखाई दी,
लेकिन दरवाज़ा कैसे खोला गया, यह भी देखें।
शुरू में दरवाज़ा संख्या 1 चुनते हैं। संचालक दूसरे दरवाज़ों में केवल एक छोड़कर बाकी खोलता है।
उत्तर जानने वाले और यादृच्छिक संचालक के दरवाज़े खोलने के नियमों की तुलना करें।
यादृच्छिक संचालक ने पुरस्कार खोल दिया हो तो वे मामले धूसर रखे जाते हैं और जीत की प्रायिकता की गणना से हटाए जाते हैं। किसी विशेष संख्या का दरवाज़ा खुलने की अतिरिक्त शर्त नहीं लगाई जाती।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रकट जानकारी कैसे बनी, यह प्रक्रिया भी देखें
उत्तर जानने वाला संचालक हमेशा केवल बकरियों वाले दरवाज़े खोले तो शुरुआत में गलत चुनने के सभी मामले बदलने की रणनीति में जीत बन जाते हैं। बिना जाने खोलने पर केवल बकरियाँ दिखने वाले मामलों को फिर चुनकर गणना करनी होती है।
N दरवाज़ों में पुरस्कार समान प्रायिकता से छिपा है और शुरू में दरवाज़ा संख्या 1 चुना जाता है। संचालक दूसरे दरवाज़ों में केवल एक बंद रखकर N−2 दरवाज़े खोलता है। उत्तर जानने वाला संचालक पुरस्कार नहीं खोलता और प्रारंभिक चुनाव सही हो तो बचाने के लिए दूसरा दरवाज़ा समान प्रायिकता से चुनता है। तब बने रहने की जीत की प्रायिकता 1/N और बदलने की (N−1)/N है। उत्तर न जानने वाला संचालक बचाने का दरवाज़ा यादृच्छिक चुनता है, इसलिए पुरस्कार खोल सकता है। इनमें केवल बकरियाँ खुलने वाले मामलों का अनुपात 2/N है और इस शर्त पर बने रहने तथा बदलने, दोनों की जीत की प्रायिकता 1/2 है। चित्र का हर खाना पुरस्कार की N संभावित स्थितियों और संचालक की N−1 संभावित यादृच्छिक पसंदों का समप्रायिक संयोजन है। जानकार संचालक को बचाने वाला दरवाज़ा अनिवार्य रूप से तय हो तो यादृच्छिक मान परिणाम में उपयोग नहीं होता और एक ही परिणाम कई खानों में दिखता है। यह सभी मामलों को ठीक-ठीक गिनने वाला मॉडल है, यादृच्छिक प्रयोग में कुछ लगातार जीत का रिकॉर्ड नहीं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Jeffrey S. Rosenthal: मोंटी हॉल और यादृच्छिक खुलासे का अंतर
जीवन व सामान्य ज्ञान · छवि संयोजन और पारदर्शिता
हरी पृष्ठभूमि हटाएँ तो,
क्या मिलते-जुलते कपड़े भी हटेंगे?
रंग हटाने की सहनशीलता सीमा और मुलायम किनारा बदलें।
मूल चित्र, पारदर्शिता मैट और नई पृष्ठभूमि पर संयोजित चित्र की साथ-साथ तुलना करें।
काले मैट का अल्फा 0 और सफेद का अल्फा 1 है। कपड़ों और पृष्ठभूमि में अंतर केवल रंग से किया जाता है, इसलिए कुंजी रंग जैसे कपड़े भी हट जाते हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
रंग चुनना और पृष्ठभूमि संयोजित करना
सहनशीलता सीमा बढ़ाने से अधिक हरी पृष्ठभूमि हट सकती है, लेकिन मुख्य विषय के मिलते-जुलते रंग भी खो सकते हैं। अल्फा मैट तय करता है कि कौन-सा भाग कितना बचेगा, और उसके बाद नई पृष्ठभूमि संयोजित होती है।
कुंजी रंग RGB(0,180,0) है। हर पिक्सेल और कुंजी रंग के R·G·B अंतरों में सबसे बड़ा मान रंग दूरी d माना जाता है। d सहनशीलता सीमा t से कम या बराबर हो तो अल्फा α=0 है। इसके बाहर मुलायम किनारे की चौड़ाई s, 0 हो तो α=1 और s धनात्मक हो तो α=min(1,(d−t)/s) से गणना की जाती है। अपारदर्शी नई पृष्ठभूमि पर संयोजन हर चैनल के लिए α×मूल+(1−α)×नई पृष्ठभूमि है। अल्फा 0 केवल नई पृष्ठभूमि, 1 केवल मूल चित्र और बीच के मान दोनों संख्याओं का भारित योग दर्शाते हैं। यह अनुभव 8 बिट RGB चैनल संख्याओं को सीधे मिलाकर अंत में पूर्णांकित करने वाला शैक्षिक मॉडल है। यह अनुभूतिगत रंग अंतर, वास्तविक प्रकाश मात्रा या व्यावसायिक प्रोग्राम के कीइंग एल्गोरिदम को दोहराता नहीं है। बालों और रंग के फैलाव के सुधार जैसे वास्तविक शूटिंग के जटिल किनारे शामिल नहीं हैं।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · Adobe: कीइंग प्रभावों का उद्देश्य और समायोजन · W3C: अल्फा संयोजन की गणना
भौतिकी · प्रवाह और दाब
सँकरे भाग में प्रवाह तेज़ हो तो,
स्थैतिक दाब कैसे बदलता है?
निकास का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल और ऊँचाई तथा प्रवेश का प्रवाह वेग बदलें।
दाब, वेग और ऊँचाई की समान ऊर्जा पैमाने पर तुलना करें।
यह एक ही धारारेखा पर स्थिर और असंपीड्य प्रवाह है, जिसमें घर्षण, पंप या टरबाइन नहीं हैं। आदर्श शर्तों में प्रवेश का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल 4cm², निरपेक्ष दाब 300kPa और ऊँचाई 2m तय हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
प्रवाह तेज़ करने की ऊर्जा कहाँ से आती है?
समान ऊँचाई पर निकास सँकरा हो तो सातत्य समीकरण के कारण प्रवाह वेग बढ़ता और स्थैतिक दाब घटता है। ऊँचाई भी बदले तो स्थितिज ऊर्जा के बदलाव की गणना भी करनी होती है।
घनत्व ρ=1000kg/m³ वाला आदर्श द्रव और g=9.80665m/s² उपयोग करते हैं। निरंतरता समीकरण Q=A₁v₁=A₂v₂ से v₂=v₁/(A₂/A₁) मिलता है। एक ही प्रवाह रेखा पर बर्नूली समीकरण P/(ρg)+v²/(2g)+h=नियत का अर्थ है कि दाब शीर्ष, वेग शीर्ष और ऊँचाई शीर्ष का योग संरक्षित रहता है। इसलिए P₂=P₁+ρ(v₁²−v₂²)/2−ρg(h₂−h₁) है। वृत्त की त्रिज्या अनुप्रस्थ क्षेत्रफल के वर्गमूल के समानुपाती है, और सभी शीर्ष पट्टियाँ 0~36m का एक ही पैमाना उपयोग करती हैं। शीर्ष का अर्थ केवल वास्तविक पाइप की ऊँचाई नहीं है। हर बदलाव पर आदर्श सीमा शर्तों के तहत निर्धारित प्रवेश वेग और दाब स्थिर रखकर गणना की जाती है; इसका अर्थ यह नहीं कि वास्तविक पाइप का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल बदलने पर भी पंप की प्रवाह दर समान रहेगी। घर्षण हानि, संपीड़न और बाहरी कार्य छोड़ दिए गए हैं, इसलिए यह वास्तविक पाइप व्यवस्था के डिज़ाइन या दो असंबंधित प्रवाहों के दाब का पूर्वानुमान लगाने वाला कैलकुलेटर नहीं है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: बर्नूली समीकरण और ऊँचाई पद · NASA: प्रवाह वेग और स्थैतिक दाब · NASA: अनुप्रस्थ क्षेत्रफल और द्रव्यमान संरक्षण
रसायन विज्ञान · आसवन और घटक संतुलन
साथ वाष्पित होने पर भी,
वाष्प में अनुपात बदल जाता है।
एक काल्पनिक मिश्रण के 100mol का एक बार साम्यावस्था में पृथक्करण करें।
प्रवेश मिश्रण का संघटन, सापेक्ष वाष्पशीलता और वाष्प में अलग किए जाने वाला अंश बदलकर शुद्धता और पुनर्प्राप्ति की तुलना करें।
यह नियत सापेक्ष वाष्पशीलता वाला आदर्श द्विघटकीय साम्य है। वाष्प अंश पहले से निर्धारित पृथक्करण शर्त है; यह वास्तविक ऊष्मा आपूर्ति, दाब या तापमान निर्धारित करने वाला नियंत्रण नहीं है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
शुद्धता और पुनर्प्राप्त मात्रा अलग मान हैं
अधिक वाष्पशील घटक वाष्प में अधिक होता है। लेकिन अधिक वाष्प अलग करने पर वाष्प में उसका अंश और प्रवेश मिश्रण से पुनर्प्राप्त मात्रा अलग-अलग ढंग से बदलते हैं।
घटक A का प्रवेश मोल अंश z, द्रव मोल अंश x, वाष्प मोल अंश y और कुल में वाष्प अंश β मानें। नियत सापेक्ष वाष्पशीलता α पर y=αx/[1+(α−1)x] और घटक संतुलन z=(1−β)x+βy है। कुल 100mol, द्रव L=100(1−β) और वाष्प V=100β में बँटते हैं, और प्रवेश मिश्रण में A की मात्रा 100z, Lx+Vy के बराबर है। पुनर्प्राप्ति Vy/(100z) है, इसलिए यह वाष्प की शुद्धता y के समान नहीं है। α=1 होने पर x=y=z होता है और पृथक्करण का कोई प्रभाव नहीं होता। वक्र संघटन का पैमाना उपयोग करता है, जबकि नीचे की पट्टियाँ मात्रा का साझा 0~100mol पैमाना उपयोग करती हैं; दोनों प्रावस्थाओं को अलग-अलग खींचकर समान लंबाई नहीं दी जाती। यह एक साम्य चरण का आदर्श मॉडल है, इसलिए वास्तविक पदार्थों के क्वथनांक, गरम करने की विधि, स्थिरक्वाथी मिश्रण, रिफ्लक्स या आसवन स्तंभ के प्रदर्शन का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · IChemE: द्रव-वाष्प साम्य और कुल व घटक संतुलन · HKUST: सापेक्ष वाष्पशीलता और आसवन की मूल बातें
नीचे आसवन संबंधी लेख में दो घटकों के साथ वाष्पित होने पर संघटन के अंतर और वास्तविक पृथक्करण की सीमाओं के बारे में आगे पढ़ें।
जीव विज्ञान व पर्यावरण · जीन सहलग्नता और पुनर्संयोजन
दो जीनों के संयोजन,
कब स्वतंत्र रूप से तय होते हैं?
दो काल्पनिक जीन स्थलों को साथ देखें।
पुनर्संयोजन दर और जनकों के संयोजन बदलकर परीक्षण संकरण में अपेक्षित चार अनुपातों की तुलना करें।
AaBb और ab/ab का परीक्षण संकरण माना गया है। उत्परिवर्तन, चयन और लिंगगत अंतर नहीं हैं; संख्याएँ यादृच्छिक प्रयोग के परिणाम नहीं, अपेक्षित मान हैं।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
अलग-अलग जीनों से अधिक, साथ आए संयोजन देखें
पुनर्संयोजन दर कम होने पर जनक के संयोजन अधिक बार आगे पहुँचते हैं। जनकीय संयोजन बदलने पर अधिक बनने वाले युग्मकों के नाम बदलते हैं, लेकिन जनकीय प्रकार की कुल प्रायिकता समान रहती है।
दो जीन स्थलों वाला AaBb, AB·Ab·aB·ab युग्मक बनाता है। AB/ab युग्मन अवस्था में AB·ab जनकीय प्रकार हैं, जबकि Ab/aB प्रतिकर्षण अवस्था में Ab·aB जनकीय प्रकार हैं। पुनर्संयोजन दर r पर प्रत्येक जनकीय प्रकार की प्रायिकता (1−r)/2 और प्रत्येक पुनर्संयोजित प्रकार की r/2 है; चारों प्रायिकताओं का योग 1 है। परीक्षण संकरण का साथी ab/ab हमेशा ab युग्मक देता है, इसलिए संतानें क्रमशः AaBb·Aabb·aaBb·aabb होती हैं और प्रत्येक का अपेक्षित मान संतानों की संख्या×प्रायिकता है। r=50% होने पर चारों संयोजन प्रत्येक 25% होते हैं, जो स्वतंत्र अपव्यूहन जैसा वितरण है। इसका अर्थ यह नहीं कि वे अनिवार्य रूप से अलग गुणसूत्रों पर हैं या उनमें भौतिक सहलग्नता नहीं है। एक ही गुणसूत्र पर दूर स्थित स्थलों की प्रेक्षित पुनर्संयोजन दर भी 50% के करीब हो सकती है। इस अनुपात को वास्तविक DNA दूरी, परिवार के आनुवंशिक जोखिम या रोग के पूर्वानुमान में नहीं बदला जाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · OpenStax: जीन सहलग्नता, पुनर्संयोजन और आनुवंशिक मानचित्र
अर्थव्यवस्था व समाज · साझा संसाधन और उपयोग नियम
साझा भंडार,
कितने समय तक बचेगा?
चार लोग बारी-बारी से 24 इकाई के साझा भंडार का उपयोग करते हैं।
A·B की माँग, उपयोग अवधियों की संख्या और साझा सीमा बदलकर वास्तविक प्राप्त मात्रा और शेष भंडार देखें।
हर अवधि में क्रम A→B→C→D है। C·D प्रत्येक 2 इकाई माँगते हैं। भंडार का पुनर्भरण या वापसी नहीं होती, और वास्तव में केवल बची मात्रा तक ही मिलता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
माँगी गई और वास्तव में मिली मात्रा अलग करके देखें
हर व्यक्ति की छोटी प्राप्तियाँ भी जुड़कर साझा भंडार घटाती हैं। सीमा के कारण घटाई गई माँग और भंडार खत्म होने से नहीं मिली मात्रा के कारण अलग हैं।
शुरुआती भंडार 24 इकाई है और हर अवधि में चार लोग A→B→C→D क्रम में माँगते हैं। साझा सीमा होने पर हर माँग अधिकतम 2 इकाई तक घटाई जाती है, फिर शेष भंडार से तुलना करके वास्तविक प्राप्त मात्रा तय की जाती है और तुरंत घटा दी जाती है। हर अवधि में संचयी प्राप्त मात्रा+शेष भंडार=24 हमेशा सत्य रहता है। 0 अवधि पर किसी ने कुछ प्राप्त नहीं किया होता, इसलिए शेष भंडार 24 है। पूरी न हुई कुल माँग, साझा सीमा से घटाई गई मात्रा और भंडार की कमी से नहीं मिली मात्रा का योग है। इस काल्पनिक मॉडल में पुनर्भरण नहीं है, इसलिए साझा सीमा भी अनंत समय तक चलने की गारंटी नहीं देती और भंडार समाप्त हो सकता है। आगमन क्रम और माँग वितरण को भी प्रभावित करते हैं। यह मॉडल न तो यह निष्कर्ष देता है कि सीमा हमेशा सबसे न्यायसंगत या कुशल है, न वास्तविक नीतियों के प्रभाव या पारिस्थितिक संसाधनों के पुनर्भरण का पूर्वानुमान लगाता है।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · नोबेल पुरस्कार की आधिकारिक अकादमिक पृष्ठभूमि: साझा संसाधन और उपयोग के नियम
नीचे साझा संसाधनों के लेख में उपयोग की प्रतिस्पर्धा, अत्यधिक उपयोग और उपयोगकर्ताओं द्वारा तय प्रबंधन नियमों की पृष्ठभूमि आगे पढ़ें।
पृथ्वी व अंतरिक्ष · वायु राशि और वायुमंडलीय स्थिरता
ऊपर ले जाई गई हवा,
क्या आसपास की हवा से हल्की होगी?
शुष्क वायु पुंज और आसपास की हवा के तापमानों की अलग-अलग तुलना करें।
सतह का तापमान, पर्यावरणीय तापह्रास दर और उठाने की ऊँचाई बदलकर उसी ऊँचाई पर उत्प्लावन की दिशा देखें।
शुष्क वायु पुंज के लिए प्रति 1km लगभग 9.8℃ घटने वाली रैखिक तापमान रेखा मानी गई है। समान दाब और समान आदर्श गैस में केवल तापांतर से उत्पन्न उत्प्लावन का आकलन किया जाता है।
मान बदलकर आज की चुनौती जानें।
शुरुआती तापमान से अधिक, समान ऊँचाई का अंतर मायने रखता है
ऊपर उठाया गया वायु पुंज आसपास से ठंडा हो तो उस पर वापस लौटाने वाला उत्प्लावन बल लगता है। तापमान व्युत्क्रमण स्थिर स्थिति है, लेकिन उसके बिना भी शुष्क हवा स्थिर हो सकती है।
सतही तापमान T₀ से z(km) ऊँचाई पर उठाए गए शुष्क वायु पुंज की तुलना दी गई रैखिक तापमान रेखाओं Tₚ=T₀−9.8z और पर्यावरण के लिए Tₑ=T₀−Γz से की जाती है। समान दाब और संघटन वाली आदर्श गैस का घनत्व परम तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए वायु पुंज के प्रति इकाई द्रव्यमान पर उत्प्लावन त्वरण b=g(TₚK/TₑK−1) है। g=9.80665m/s² है और K वह परम तापमान है जो ℃ में 273.15 जोड़ने से मिलता है। 1K का तापांतर, 1℃ के अंतर के बराबर है। पर्यावरणीय तापह्रास दर Γ, 9.8℃/km से कम हो तो यह शुष्क मॉडल स्थिर, बराबर हो तो उदासीन और अधिक हो तो अस्थिर है। इसलिए 6.5℃/km पर भी शुष्क वायु पुंज स्थिर है, और ऋणात्मक Γ वाला व्युत्क्रमण, जिसमें ऊपर जाने पर पर्यावरण गर्म होता है, प्रबल स्थिरता का एक उदाहरण है। 0m ऊँचाई पर तापांतर और उत्प्लावन 0 हैं, लेकिन तापह्रास दर पर आधारित स्थिरता वर्गीकरण वही रहता है। यह नियत तापह्रास दर वाली शैक्षिक तुलना है; वास्तविक रुद्धोष्म या द्रवस्थैतिक अवकल समीकरणों अथवा आरोहण पथ का समाकलन नहीं है। संघनन, गुप्त ऊष्मा, मिश्रण, हवा और कर्षण छोड़ दिए गए हैं, इसलिए यह वास्तविक मौसम या प्रदूषक सांद्रता का पूर्वानुमान नहीं लगाता।
सिद्धांत के बारे में और पढ़ें · NWS: पर्यावरण और वायु पुंज की स्थिरता की तुलना · NWS: शुष्क रुद्धोष्म तापह्रास दर · NWS: तापमान व्युत्क्रमण और स्थिर परत
कल भी, एक छोटी खोज
आज की खोजें जुड़ती जाती हैं।
खोजे गए अनुभव 0/128 · आज पूरे किए गए मिशन 0/128
मिशन हर दिन कोरियाई समय के अनुसार बदलते हैं। रिकॉर्ड इस उपकरण के ब्राउज़र में सहेजे जाते हैं।
यदि आज के प्रयोग से जिज्ञासा जगी हो,
संबंधित सामग्री पढ़कर अपनी समझ बढ़ाएँ।