好奇心を、自分で実験。

自分で探してみると

中央の数を確認すると、答えがない半分を一度に除外できます。

二分探索はデータが整列されているときに使えます。この体験では整列済みの数を使い、整列にかかるコストは比較に含めません。目標が先頭にあれば、線形探索のほうが早く見つかることもあります。

原理をもっと読む · NIST: 二分探索

待ち時間を分けてみると

ファイルを送る速さと応答を待つ時間は、別々の要素です。

合計時間 = 一往復分の遅延 + ファイルサイズ × 8 ÷ 回線速度です。接続準備や混雑がなく、一定速度で転送される単純なモデルです。実際のダウンロードは、複数回の通信、サーバーの処理、混雑、転送損失によって変わります。

原理をもっと読む · Cloudflare: ネットワーク遅延

自分で比べてみると

pHが低いほど、水素イオン濃度の近似値は大きくなります。

ここでは[H₃O⁺] ≈ 10^−pH mol/Lとして計算します。厳密なpHの定義では、濃度の代わりに活量を使います。中性のpH 7は25°Cでの基準で、pHだけで安全性や酸自体の強さは判断できません。0~14はこの体験の探索範囲で、すべての溶液のpHがこの範囲内にあるわけではありません。

原理をもっと読む · OpenStax: pHとpOH

自分で組み合わせてみると

必要な比率で組み合わせられる分子が、できる水の数を決めます。

一組にはH₂が2個とO₂が1個必要です。作れる組の数は、「水素の数 ÷ 2の整数部分」と「酸素の数」の小さいほうです。水素が奇数個なら水素が1個余るため、両方の種類が残ることもあります。実際の反応速度や条件、収率を再現する実験ではありません。

原理をもっと読む · OpenStax: 限定反応物と反応収率

自分で回路の値を変えてみると

抵抗が一定なら、電流は電圧に比例し、電力は電圧の二乗に比例します。

オームの法則I = V ÷ R、電力P = V² ÷ Rで計算します。抵抗値が一定の単一抵抗を使った直流モデルです。実際の材料・電球・電子機器では、温度や動作状態によって抵抗が変わることがあります。画面で関係を理解する体験であり、実際の配線方法を案内するものではありません。

原理をもっと読む · OpenStax: オームの法則 · 電力と電気エネルギー

自分で位置を変えてみると

減った位置エネルギーの分だけ、運動エネルギーが増えます。

重力加速度9.8m/s²で、摩擦と空気抵抗がないモデルです。初めの高さをh、落下した割合をpとすると、位置エネルギーはmgh(1 − p)、運動エネルギーはmghp、速さは√(2ghp)です。位置エネルギーの基準は床面で、100%は衝突直前です。衝突後に変形・熱・音へ変わる過程は含めません。

原理をもっと読む · OpenStax: 重力による位置エネルギー · NASA: エネルギー保存

自分で変えてみると

収入が似ていると、平均と中央値は近くなります。

平均はすべての値を足して人数で割った値、中央値は大きさ順に並べたときの中央の値です。六人なら、中央の二つの値の平均を使います。どの代表値が適切かは、分布と問いによって変わります。

自分で変えてみると

同じ構成でも、色を変えると違う印象に見えます。

背景色は広い面の印象を、アクセント色は目を引く部分を変えます。文字と背景の明るさの差は、読みやすさにつながります。表示される数値は、二色の相対輝度から計算したコントラストです。

自分で並べてみると

番号が本を主題ごとにまとめ、書架のどこを探せばよいか教えてくれます。

KDCは本を主題別に分類する体系です。ここでは大きな主題の分類番号で順番を学びます。実際の図書館では、同じ分類番号の中でも、著者記号など請求記号のほかの要素と図書館のルールで順番を決めます。

自分で変えてみると

複利では元本だけでなく、すでに付いた利息にも次の利息が付きます。

単利 = 元本 × (1 + 年利率 × 期間)、年複利 = 元本 × (1 + 年利率)^期間です。計算では、利率の%を100で割って使います。税金・手数料・物価変動を除いた学習用の計算であり、実際の商品の利回りを予測するものではありません。

原理をもっと読む · Investor.gov: 複利の原理

自分で変えてみると

スパムがまれな場合、小さな誤検出率でも多数の正常なメッセージに適用されることがあります。

正しい通知 = 10,000 × スパムの割合 × 検出率、誤通知 = 10,000 × 正常なメッセージの割合 × 誤検出率です。通知中のスパムの割合は、正しい通知 ÷ 全通知です。同じ検出性能でも、もともとスパムがどれほど多いかによって結果は変わります。

原理をもっと読む · OpenStax: 確率と条件付き確率

自分で変えてみると

環境の限界に近づくほど、さらに増える余地が小さくなります。

ロジスティックモデルではdN/dt = rN(1 − N/K)を使います。Nは個体数、Kは一定の環境収容力、rは増加係数です。ここでは、この式の連続時間の解を表示します。移住・季節・餌の変化がない単純なモデルで、実際の生態系を予測するものではありません。

原理をもっと読む · OpenStax: ロジスティック方程式

自分で変えてみると

横と縦が近づくほど、同じ柵でより広い空間を作れます。

横 + 縦 = 周長 ÷ 2で、面積 = 横 × 縦です。周長が一定の長方形では、横と縦が等しい正方形の面積が最大になります。最大面積 = (周長 ÷ 4)²で比較します。

原理をもっと読む · OpenStax: 同じ周長の面積比較

自分で変えてみると

縮尺の分母が大きくなると、地図上の同じ長さに、実際のより広い空間が収まります。

縮尺1 : Sでは、実際の距離(km) = 地図上の長さ(cm) × S ÷ 100,000です。正方形の実際の面積は、実際の一辺(km)を二乗します。地図投影のひずみと地形の傾斜は除きます。画面上で地図を拡大しても、印刷用の縮尺表示の数字が自動で変わるわけではありません。

原理をもっと読む · USGS: 地図と縮尺の案内

自分で変えてみると

同じ季節の位置でも、北半球と南半球では日光の角度が変わります。

太陽正午の高度 ≈ 90° − |緯度 − 太陽赤緯|です。水平面に垂直に立てた1mの棒の影の長さは、1 ÷ tan(高度)で計算します。高度90°では影は0です。大気の屈折と地形は除き、季節の赤緯には代表値を使います。

原理をもっと読む · NOAA: 太陽位置の計算式

自分で変えてみると

横と縦をそれぞれ二倍にすると、画素数とデータ容量は四倍になります。

画素データ（バイト） = 横の画素数 × 縦の画素数 × 画素当たりのビット数 ÷ 8です。ここで1MBは1,000,000バイトです。ファイルヘッダー・パレット・行末の埋め草データと圧縮は除くため、実際の画像ファイルのサイズは異なります。8ビットは白黒の明るさなどを表す一つの方式で、32ビットの追加の8ビットは、この例では透明度を表します。

原理をもっと読む · Microsoft: ビットマップの画素データと保存構造

自分で変えてみると

溶液の体積が二倍になると濃度は半分になりますが、溶質の量は変わりません。

初めの濃度 × 初めの体積 = 最後の濃度 × 最後の体積です。体積を同じ単位で入力すると計算できます。このモデルは、溶質が反応も蒸発もせず完全に混ざり、溶液と水の体積をそのまま足し合わせられると仮定しています。

原理をもっと読む · OpenStax：溶液の濃度と希釈

自分で変えてみると

同じレベルの音二つの強さを足すと、レベルは約3dB上がります。

音N個の合成レベル = 一つの音のレベル + 10 × log₁₀(N)です。同じ観測地点でレベルが等しく、互いに独立で一定の位相関係が保たれない音を仮定しています。位相のそろった波の合成や、体感音量、聴力に関する推奨値を計算するモデルではありません。

原理をもっと読む · Manchester大学：異なる音の強さの合算

自分で変えてみると

お金が増えても物価がそれより速く上がると、同じお金で買える量は減ります。

名目金額 = 初めの金額 × (1 + 金額増加率)^期間、初めの物価に換算した金額 = 名目金額 ÷ (1 + 物価上昇率)^期間です。物価を反映した年間増加率は、(1 + 金額増加率) ÷ (1 + 物価上昇率) − 1で計算します。計算時には、%で表した割合を100で割ります。一定の仮想的な割合を用い、税金・手数料・個人ごとの消費の違いを除いた学習用モデルです。

原理をもっと読む · 欧州中央銀行：インフレーションと購買力

自分で変えてみると

AaとAaを交配すると、四つの組み合わせのうち一つがaaです。しわのある種子になる理論上の確率は25%です。

各親が二つの対立遺伝子の一方を等確率で伝える、単一遺伝子の完全優性モデルです。四つのマスは等しく起こり得る組み合わせであり、実際の子が四個できるたびに必ず3 : 1の比になるという意味ではありません。それぞれの受精は別々の確率事象です。すべての生物の形質がこの規則に従うわけではなく、優性はより優れている、あるいはより多く見られるという意味でもありません。

原理をもっと読む · OpenStax：メンデルの遺伝法則とパネットの方形

自分で変えてみると

支えるロープの本数が二倍になると、力は半分、引く距離は二倍になります。同じ物体を同じ高さまで持ち上げる仕事の量は同じです。

引く力 = 質量 × 重力加速度 ÷ 支えるロープの本数、引く距離 = 支えるロープの本数 × 高さ、した仕事 = 力 × 引いた距離です。重力加速度を9.8m/s²とし、ロープと滑車の質量・摩擦を無視して、物体を一定の速さで持ち上げる理想モデルです。図は力を分担する原理を示す概念図であり、実際のロープの掛け方を案内するものではありません。

原理をもっと読む · OpenStax：滑車と機械的利得

自分で変えてみると

月の半分は常に太陽光を受けていますが、地球からその明るい面を見る方向が変わるため、月の形が変わります。

月の満ち欠けは、地球の影に隠れることで生じるのではありません。地球の影が月にかかる現象は月食です。この体験は、月が円軌道を一定の速さで動き、平均朔望月を29.53日としたモデルです。明るい割合は50 × (1 − cos 位置角)、経過日数は29.53 × 位置角 ÷ 360で計算します。実際の月の位置・旧暦の日付・月食の有無や観測時刻を予測する暦ではありません。

原理をもっと読む · NASA：月の位相と明るい面

自分で変えてみると

同じ割合で標本数を四倍に増やすと、誤差幅は半分になります。標本数が増えた分だけ、そのまま小さくなるわけではありません。

誤差幅(%p) = 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ 標本数) × 100で、pは賛成率を100で割った値です。母集団が非常に大きく、標本を独立に無作為抽出した場合の正規近似です。標本数が小さいほど、また割合が0%・100%に近いほど、この近似の精度は低くなります。同じ方法で調査を繰り返して区間を作ると、そのうち約95%が真の割合を含むという意味であり、今回の区間に真の割合が入る確率が95%という意味ではありません。標本を増やしても、回答の偏りや調査から漏れた集団の問題は解決しません。

原理をもっと読む · NIST：割合の信頼区間と正規近似

自分で変えてみると

同じ撮影位置とセンサーでは、焦点距離が長くなるほど狭い範囲が写ります。センサーの横幅が小さくなっても画角は狭くなります。

水平画角 = 2 × arctan(センサーの横幅 ÷ (2 × 焦点距離))、写る幅 = 被写体までの距離 × センサーの横幅 ÷ 焦点距離です。センサーと焦点距離は同じ単位で入力し、画角は度に換算して表示します。直線を直線として表す理想的なピンホールモデルで、歪みやピント調整による画角の変化を除いています。被写体までの距離はこのモデルの投影中心から測るもので、実際のレンズ鏡筒の前面から測った距離ではありません。同じ場所でレンズを変えると画角が変わり、前後の物体の相対的な大きさを変える遠近感の変化は、撮影位置を移動したときに生じます。

原理をもっと読む · Edmund Optics：焦点距離と画角

実際に組み合わせてみると

条件が同じでも、AND、OR、XOR、NOTのどの規則を使うかによって結果が変わります。

0と1の二つの値だけを使う論理モデルです。ANDはAとBが両方とも1のとき、ORは一つ以上が1のとき、XORは互いに異なるときに1になります。NOTはAが0なら1、Aが1なら0です。実際の回路の電圧や動作時間を再現せず、条件判断の構造を示します。

原理をもっと読む · OpenStax：条件と論理演算 · Analog Devices：XOR論理

実際に時間を進めてみると

平衡では、AとBの量が等しい必要はありません。双方向の変換速度が等しいため、それぞれの量が変わらなくなります。

A ↔ Bが1 : 1で変換される閉じた仮想モデルで、変換速度は各物質の量 × 変換係数です。係数は一定で、合計は100に保たれます。平衡でのBの量 = 100 × 正方向の係数 ÷ (正方向の係数 + 逆方向の係数)です。双方向の変換は続きますが、正味の変化は0に近づきます。実際の物質・温度・反応段階による複雑な速度は含みません。

原理をもっと読む · OpenStax：化学平衡と動的平衡

実際に段階を上げてみると

各段階で10%ずつ伝わると、二段階上には初めの1%が伝わります。

選択した段階のエネルギー = 生産者のエネルギー × (伝達率 ÷ 100)^段階数です。伝わらなかったエネルギーは、生命活動で熱に変わったり、食べられなかった部分・排泄物・死骸などを通じて別の経路へ移動したりします。エネルギーが消えたという意味ではありません。生態系の栄養分は循環しますが、エネルギーは流入して移動し、最終的には熱として周囲に広がります。

原理をもっと読む · OpenStax：生態系のエネルギーの流れ

実際に分業してみると

Aは両方の製品をより速く作れますが、Xを作るときに諦めるYの量はAのほうが少なくなります。

Xを1単位作るために諦めるYは、Aが0.5単位、Bが1単位です。このように、機会費用が小さいほうがXの比較優位を持ちます。AがXに使う時間を75%、BがXに使う時間を0%にすると、Xが24、Yが12となり、初めよりXを4単位多く作れます。生産量は作業時間に比例し、品質・移動・調整の費用を除いた仮想例です。

原理をもっと読む · OpenStax：絶対優位と比較優位

実際に世代を進めてみると

次世代により多く寄与するタイプは、世代が進むほど集団に占める割合が大きくなります。

初めのAの割合をp₀（0～1）、二つの寄与係数をwA・wB、世代数をgとすると、Aの割合はp₀ × wA^g ÷ [p₀ × wA^g + (1 − p₀) × wB^g]です。二つのタイプが無性生殖で自分の形質をそのまま伝え、環境と係数が一定である学習用モデルです。遺伝子型を交配するモデルとは異なり、変異・移住・偶然による遺伝的浮動を除いています。割合を比較するだけで、実際の個体数は予測しません。進化には決まった目標や到達点はありません。

原理をもっと読む · UC Berkeley：自然選択の割合モデル（PDF） · OpenStax：環境と相対適応度

実際に値下げしてみると

値下げをしても販売量が十分に増えなければ、売上は減ります。

区間弾力性は、販売量の変化率を価格の変化率の絶対値で割った値で、各変化率の基準は値下げ前後の値の平均です。1より小さければ値下げ後の売上は減り、1なら同じ、1より大きければ増えます。価格27.5、Q = 100 − 2Pを選ぶと、値下げ前後の売上はどちらも1,237.5で同じです。費用・競争・季節・消費者ごとの違いを除いた、線形の仮想需要モデルです。値下げ前後の区間を比較するもので、実際の商品の需要や収益は予測しません。

原理をもっと読む · OpenStax：中点法と価格弾力性 · 弾力性と売上の関係

実際に高さを変えてみると

高度が上がると、その上にある空気の重さが減り、気圧が下がります。

気圧P = P₀ × exp[−Mgh ÷ (RT)]で表される等温の理想大気モデルです。海面気圧P₀は1,013.25hPa、空気のモル質量Mは0.0289644kg/mol、重力加速度gは9.80665m/s²、気体定数Rは約8.31446J/(mol·K)で、hは高度(m)、Tは摂氏温度 + 273.15(K)です。空気層全体の温度・組成・重力を一定とし、水蒸気や天候の変化を除いています。高度に応じて気温が下がる標準大気の計算とは異なり、実際の気圧予報や高度の測定値としては使えません。

原理をもっと読む · NASA：重力下の理想気体と等温近似

実際に音を移動してみると

一オクターブは半音12段です。12段上がると周波数は二倍、下がると半分になります。

12平均律では、周波数 = 基準周波数 × 2^{(半音の数 ÷ 12)}です。半音一段ごとに約1.05946倍を掛けるため、同じ段数だけ移動しても、Hzで表した差は基準音によって変わります。ボタンを押したときだけ、二つの正弦波の音を同じ振幅で再生し、実際の楽器の音色・倍音・調律の違いは除いています。周波数比が二倍ということは、体感する音の大きさが二倍という意味ではありません。

原理をもっと読む · UNSW：音の周波数と12平均律

実際に繰り返しをまとめてみると

同じ文字が長く続くほど、少ないまとまりで元のデータを保存できます。

この方式はランレングス符号化（RLE）です。例えば、AAAAAAAAを「8, A」として保存し、Aを8回書けば元のデータを復元できます。AとBが毎回交互に現れると、一文字ごとに2バイトを使うため、サイズが二倍に増えます。画面の個数は読みやすい数字で表示しますが、保存モデルでは数値を1バイトとして数えます。ヘッダーを除いたA・Bの文字用の教育モデルであり、実際のBMPファイル形式や一般的な圧縮ソフト全体を再現するものではありません。圧縮方法の効果はデータのパターンによって変わります。

原理をもっと読む · Microsoft：連続する個数と色の値で保存するRLE

実際に物体を浮かべてみると

体積が大きくなると、重さと最大浮力がともに大きくなります。浮く割合を決めるのは、二つの密度の比です。

アルキメデスの原理により、浮力は物体が押しのけた液体の重さに等しくなります。物体が浮いているときは浮力 = 重さなので、沈んだ体積の割合 = 物体の密度 ÷ 液体の密度です。この比が1より大きいと液面に浮くことができないため、沈んだ割合を100%と表示します。物体全体の密度が均一で圧縮されないと仮定し、静止した液体で表面張力・流体抵抗・底との接触を除いています。下向きの力は、完全に沈んだ後の重さから浮力を引いた値であり、沈む速さを意味しません。Nは力の単位で、重力加速度は9.80665m/s²を使います。

原理をもっと読む · OpenStax：アルキメデスの原理

実際に人数を増やしてみると

23人の間には、比較できるペアが253組あります。誰と誰でも誕生日が同じである可能性は、特定の日が誕生日の人がいる可能性よりはるかに大きくなります。

誕生日が重なる確率は、1から「全員の誕生日が異なる確率」を引いて求めます。人数がn人なら、比較できるペアはn(n − 1) ÷ 2組です。すべてのペアの誕生日が重なる事象を互いに独立と扱うことはできず、ペアの数に1/365を掛けて全体の確率を求めることもできません。誕生日が365日に均等に分布し、人ごとに独立していると仮定して、うるう日や実際の出生日の季節的な偏りは除いています。人数が少なくても可能性が高まるという意味であり、必ず重なるという意味ではありません。

原理をもっと読む · UC Berkeley：誕生日問題と余事象（PDF）

実際に空気を冷やしてみると

冷えるほど飽和水蒸気圧が下がり、相対湿度が高くなります。露点より低くなると、一部の水蒸気が水に凝結します。

相対湿度は、現在の水蒸気圧 ÷ その温度での飽和水蒸気圧 × 100%です。飽和水蒸気圧は、水面を基準としたMagnus近似eₛ(T) = 6.112 × exp[17.62T ÷ (243.12 + T)]hPaで計算します。露点は、初めの空気の水蒸気圧と飽和水蒸気圧が等しくなる温度です。目標温度がそれより低いと、余分な水蒸気が凝結して水蒸気圧が飽和値まで下がり、相対湿度を100%と表示します。「飽和超過分」は、凝結前の水蒸気圧と目標温度での飽和水蒸気圧の差であり、水滴の質量や凝結速度ではありません。氷点下の露点も液体の水を基準に表示し、霜点とは異なります。過飽和・気圧変化・熱交換速度を除いた平衡モデルです。

原理をもっと読む · NPL：露点と相対湿度

実際に矢印を足してみると

極性を持つ結合があっても、互いに対称で反対方向なら、和が0になることがあります。

同じ大きさmの二つの結合双極子がなす角をθとすると、合成ベクトルの大きさは2m × cos(θ/2)です。分子の極性を理解するには、結合角と方向を併せて見る必要があります。この体験は、同じ二つの結合のベクトルだけを足す幾何学モデルであり、実際の分子全体の電子分布や双極子モーメントは計算しません。104.5°は折れ曲がった形を比較する例であり、表示した相対単位は水の実測値やDebye単位ではありません。実際の結合角は電子対の配置などで決まり、スライダーのように自由には変わりません。

原理をもっと読む · OpenStax: 分子構造と極性

実際に材料を加えてみると

酵素の大部分が基質を処理していると、材料を追加しても速度はわずかしか増えません。酵素の量を増やすと、最大速度も大きくなります。

Michaelis–Mentenモデルの初期速度v = Vₘₐₓ × [S] ÷ (Kₘ + [S])を使います。基質濃度[S]とKₘの単位はmMで、Kₘは2mMに固定します。最大速度Vₘₐₓは、酵素の相対量 × 10で定めた仮想の速度単位です。基質濃度がKₘと等しいと、酵素量にかかわらず最大速度の半分になります。基質が酵素より十分に多く、単純な飽和反応に従うと仮定し、阻害・協同性・時間に伴う材料の枯渇と酵素の変性は除外します。酵素による総生産量や、特定の実験の実際の速度を予測するモデルではありません。

原理をもっと読む · MIT: 酵素触媒と反応速度(PDF)

実際に互いの選択を変えてみると

相手が何を選んでも、個人の得点は裏切るほうが高くなります。しかし、二人とも裏切ったときの合計は、二人とも協力したときより低くなります。

この得点構造を囚人のジレンマといいます。一度だけ同時に決め、選択前の意思疎通や拘束力のある約束はありません。自分の得点だけを考えると、二人とも裏切る選択がナッシュ均衡です。均衡とは、誰も単独で選択を変えて利益を得られないことを意味し、全員にとって最善の結果という意味ではありません。得点は仮想の報酬であり、収監期間ではありません。繰り返される関係での信頼・報復・交渉や、他者に配慮する動機を含めると、結果が変わることがあります。

原理をもっと読む · MIT: 囚人のジレンマとナッシュ均衡(PDF)

実際に行列の条件を変えてみると

到着速度が処理速度に近づくほど、待っている客の処理に追いつく余裕が減り、待ち時間が急激に長くなります。

一つの窓口で先に来た人から処理するM/M/1定常状態モデルです。到着は独立なPoisson過程、サービス時間は独立な指数分布に従い、待つ場所は十分にあると仮定します。平均到着速度λと平均処理速度μの単位が人/分のとき、待ち時間 = 60λ ÷ [μ(μ − λ)]秒、滞在時間 = 60 ÷ (μ − λ)秒、待ち人数 = λ² ÷ [μ(μ − λ)]人です。λ < μのときに限り有限の定常状態の平均が存在し、このときλ/μは窓口の利用率です。λ ≥ μでは、λ/μは処理能力に対する要求負荷の比であり、実際の稼働率ではありません。この場合は安定した平均を表示できないという意味で、各客が必ず無限に待つという意味ではありません。瞬間的な行列の長さや、予約・複数の窓口・サービス中の離脱、実際の店舗の混雑を予測する値ではありません。

原理をもっと読む · MIT: M/M/1待ち行列モデル(PDF)

実際にビットを反転させてみると

偶数パリティでは、1の個数が偶数になるように検査ビットを付けます。受信した1の個数が奇数なら、誤りを検出します。

四つのデータビットは左から8・4・2・1の値を表し、右端の検査ビットはデータの値に含めません。送信した五つのビットのうち、最終的に奇数個が変わると検出しますが、偶数個が変わると見逃すことがあります。「検出されず」は、データが正しいという保証ではありません。検査ビットだけが変わっても誤りが検出され、データの値はそのままの場合があります。この方式だけでは、どのビットが誤っているかを特定したり、元のデータに訂正したりすることはできません。この体験は、最大二回のビット反転を比較するモデルです。

原理をもっと読む · MIT: デジタル情報とパリティ検査

実際に膜の両側を変えてみると

両側の水圧が等しいと、水は溶質濃度の低い側から高い側へ正味で移動します。濃度が等しければ、この差による正味の移動はありません。

希薄な理想非電解質溶液の浸透圧はπ = CRTです。Cはmol/m³、Rは約8.31446J/(mol·K)、Tは摂氏温度 + 273.15(K)です。数値上、1mM = 1mol/m³なので、表示濃度 × R × T ÷ 1,000でkPaを求めます。内側 − 外側の浸透圧差は、水の正味の移動を止めるために必要な内側 − 外側の水圧差であり、最初からその水圧差が実際にかかっているという意味ではありません。初期濃度で比較するだけで、時間に伴う体積・濃度の変化や移動速度は計算しません。実際の細胞の複雑な溶質・膜輸送や、特定の生物の反応を予測するモデルではありません。

原理をもっと読む · OpenStax: 溶液の浸透圧

実際に問題構成を変えてみると

全体の成功率は、グループ別の成功率を問題数で重み付けした平均です。易しい問題の割合が違うと、各グループで上回っていたAが全体では下回ることがあります。

このような逆転をシンプソンのパラドックスといいます。易しい問題の割合を0～1のa・bとすると、A全体 = 90a + 40(1 − a)、B全体 = 80b + 30(1 − b)です。同じ割合を適用するとAが常に10%p上回りますが、A 10%・B 90%では、全体の成功率はA 45%・B 75%になります。各難易度での差と全体の差は、異なる問いに答えています。二つの方法に異なる構成を割り当てた仮想データであり、これだけでどちらの方法が実際の成功の原因かを決めることはできません。実際の比較では、グループの分け方と、構成の違いが生じた理由も調べる必要があります。

原理をもっと読む · Williams College: 加重平均とシンプソンのパラドックス(PDF)

実際に熱の移動をたどってみると

伝えた熱には、投入エネルギーと低温側から取り込んだ熱の両方が含まれます。電気エネルギーを超える熱を伝えても、エネルギーを新たに作ったわけではありません。

可逆なCarnotヒートポンプの理想限界は、暖房COP = T_高温 ÷ (T_高温 − T_低温)、冷房COP = T_低温 ÷ (T_高温 − T_低温)です。温度は、摂氏温度に273.15を加えた絶対温度Kで計算する必要があります。高温側に与えた熱 = 低温側から取り込んだ熱 + 投入した仕事であり、二つのCOPの差は常に1です。両側は熱をやり取りしても温度が一定の熱浴で、電気エネルギーがすべて仕事に変わると仮定します。実際の機器の摩擦・圧縮損失・熱交換に必要な温度差などを除外した理論上の上限であり、表示値を実際のエアコンや暖房機の性能・料金の予測に使うことはできません。

原理をもっと読む · OpenStax: 熱力学とヒートポンプの主要な式

実際に電極を選んでみると

標準還元電位が低い側で金属が電子を放出し、高い側で金属イオンが電子を受け取ります。外部回路の電子は、酸化極から還元極へ移動します。

理想的なガルバニ電池の標準電圧は、還元極の標準還元電位 − 酸化極の標準還元電位です。自発的な反応方向を選んで電圧の大きさを表示し、同じ金属でイオンの活量も同じなら電位差はありません。25°Cで純粋な固体金属と各M²⁺イオンの活量1を仮定し、標準水素電極を基準に比較します。表の電位は小数第三位に丸めた値です。最大電気仕事の大きさはnFEで、n = 2mol電子/mol反応、F = 96,485.33212C/molを使い、kJ/molで表示します。実際の電池の濃度変化・内部抵抗・過電圧・副反応は除外します。電圧は蓄えられた電荷の量である容量とは異なり、この値だけでは実際の出力や使用時間は分かりません。

原理をもっと読む · OpenStax: 電極電位と電池電圧 · 標準半電池電位表

実際に光の方向を変えてみると

屈折率の大きい物質に入ると、光は法線側に曲がります。小さい物質へ進むときは法線から離れ、臨界角を超えると全反射します。

スネルの法則n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂で屈折角を計算します。n₁がn₂より大きいときに限り、臨界角θc = asin(n₂/n₁)が存在します。入射角が臨界角と等しいと、屈折角は90°となり、境界に沿う極限の方向になります。全反射するのは臨界角より大きい場合です。「条件なし」は、二つの物質の屈折率の関係上、全反射が起こり得ないことを意味します。透明で均一な二つの物質の平らな境界と固定した屈折率を仮定し、実際の屈折率の波長・温度依存性は除外します。この体験は光の方向を比較するもので、一部の反射光の強度・偏光・吸収は計算しません。同じ屈折率を選ぶと、光学的に方向は変わらず、境界での反射も表示しません。

原理をもっと読む · OpenStax: 屈折とスネルの法則

実際に所得区分を超えてみると

平均税率は所得全体に占める税額の割合で、限界税率は次の追加所得にかかる税率です。二つの数値は異なる問いに答えています。

区分別の累進課税では、各区分に入る所得部分 × その区分の税率を合計します。所得400単位では、最初の200にかかる税額は0、次の200にかかる税額は20で、合計20単位です。その後の追加部分には20%がかかるため、境界点の限界税率は「次の所得」を基準に表示します。このモデルでは、すべての区分の税率が100%より低いため、所得を増やすと税引後所得も増え、境界を超えた瞬間に税引後所得が減ることはありません。仮想の課税対象所得と仮想税率だけを使い、所得控除・税額控除・福祉給付・他の税目は除外します。実際の税額や受取額を計算する道具ではなく、区分課税の原理を比較する体験です。

原理をもっと読む · IRS: 税率区分に該当する部分への課税原理

実際に二つの波を比べてみると

速いP波と遅いS波は、遠くへ進むほど到着時間差が広がります。この差に両方の速度を併せて適用することで、距離を求められます。

同じ距離dを進むとき、到着時間差Δt = d/vS − d/vPなので、d = Δt ÷ (1/vS − 1/vP)です。この体験では、均一な固体の中を二つの波が同じ直線経路に沿って一定の速度で進むと仮定します。震源距離は観測所と地下の地震発生点の間の距離であり、地図上で震央まで測った地表の距離ではありません。P波・S波の時間は、発生時点を0としたモデルの伝播時間です。「時間差1秒に相当する距離」は距離への換算係数であり、一つの波の速度とは異なります。実際の地球内部の層ごとの速度変化・屈折・異なる経路は除外しており、震源の方向と位置を求めるには複数の観測所の記録と、より詳しいモデルが必要です。この体験は地震の発生を予測しません。

原理をもっと読む · USGS: 地震波と到着時間から地震を特定する

実際に保存規則を変えてみると

キャッシュの効果は、枠数だけでなく置換規則と要求の順序にも左右されます。同じ要求をどう保存するか、段階ごとにたどってみましょう。

FIFOは入った順序を保ち、キャッシュヒット時にも順序を変えません。LRUはヒットしたデータを最も最近使った位置へ移します。データがなく、枠も満杯のとき、各規則で最も古いデータを置き換えます。この要求列ではFIFOのミスが3枠の9回から4枠の10回へ増え、これをベラディの異常といいます。同じ4枠のLRUでは8回ミスします。この結果だけで、FIFOが常に悪い、またはLRUがすべての要求で優れているとはいえません。ヒット率はヒット回数 ÷ 処理した要求数であり、要求が0件の場合は定義しません。各番号を同じ大きさのデータ一つとみなす置換原理のモデルであり、実際のブラウザーキャッシュの有効期間・通信時間・容量・書き込みコストは計算しません。

原理をもっと読む · MIT: FIFO・LRUとメモリ置換

実際にモデルの複雑さを変えてみると

すべての観測点を通るモデルでも、別の基準点からは遠くなることがあります。当てはめた点での誤差と、別に比較する点での誤差を併せて見てみましょう。

観測xは−1・−0.6・−0.2・0.2・0.6・1で、y = 3 + 2xに、揺らぎの倍率 × [0.2, −0.2, 0.3, −0.3, 0.2, −0.2]を加えます。多項式は、この六つの点での二乗誤差の和を最小にするように当てはめます。基準xは−0.95から0.95まで0.1間隔の二十点で、基準yは揺らぎのない3 + 2xです。この体験は、生成原理が分かっている仮想データの基準誤差を比較するもので、基準点は実際に別途収集した観測データではありません。5次は揺らいだ六つの観測点をすべて通れますが、点の間で大きく曲がり、基準誤差が増えることがあります。複雑なモデルが常に悪い、または単純なモデルが常に良いという意味ではなく、揺らぎが0なら三つのモデルはすべて同じ直線に一致します。この数値は、実際には未知である将来の結果に対する誤差を保証しません。

原理をもっと読む · scikit-learn: 未学習と過学習

実際に種の割合を変えてみると

種数が同じでも、一部の種に割合が偏ると分布の多様性は低くなります。種数と割合の均等さは、異なる特徴です。

種の割合をpとすると、シャノン多様度H = −Σp ln(p)で、自然対数を使います。exp(H)は、同じHを持つ均等な分布の有効種数であり、実際に小数個の種が存在するという意味ではありません。均等度はH ÷ ln(種数) × 100で表示し、すべての種の割合が等しければ100%です。4種で最初の種が25%ならすべて25%、最初の種が70%なら残りは各10%です。スライダーは5%刻みなので、3種の正確に均等な割合である⅓は選べません。割合がすべて正の理想的な分布を比較し、標本サイズ・観測誤差・種間関係は扱いません。指標が高ければ常に健全な生態系というわけではなく、種の同一性・希少性・保全上の価値は別に検討する必要があります。

原理をもっと読む · Hokkaido University: 多様性指標

作業時間を実際に変えてみると

完了時点を決める最も長い作業経路をクリティカルパスといいます。短い経路の作業だけを短縮しても、全体の完了時点は変わらないことがあります。

全体の完了時間は 2 + max(B + D, C + E) + 1です。「作業時間の合計」は六つの作業時間をすべて足した値で、二つの経路が同時に進むため、実際の経過時間とは異なります。各経路の余裕は、長いほうの経路の時間からその経路の時間を引いた値で、その分だけ遅れても全体の完了は遅れません。初期設定では下側の経路が8分、上側の経路が7分なので、上側の経路には1分の余裕があります。二つの経路が同じ長さになると、どちらもクリティカルパスとなり、片方だけを短縮しても、もう片方を待つ必要があります。作業を短縮するうちに、クリティカルパス自体が変わることもあります。異なるチームが資源を共有せず、各作業時間が確定していると仮定した依存関係モデルであり、人員の競合・作業の中断・時間の不確実性を除いた最も早い完了時間です。

原理をもっと読む · MIT：クリティカルパス法（PDF）

溶ける限界を実際に変えてみると

ある条件で溶ける量には限界があります。それより多く入れると残りの固体は溶けず、冷やして限界が下がると、一部が再び固体として出てきます。

最大溶解量 = 溶解度 × 水の質量 ÷ 100、溶けた量 = min(入れた量, 最大溶解量)、残った固体 = 入れた量 − 溶けた量です。表示した割合は、溶けた固体の質量 ÷ 水の質量 × 100で、溶液全体の質量を基準とする質量百分率とは異なります。十分な時間が経ち、各条件で溶解平衡に達したと仮定しています。最大溶解量まで溶けていれば飽和しており、固体が残っている場合だけが飽和ではありません。水の蒸発・過飽和・溶ける速さ・溶解熱は除外しています。温度を上げると溶解度が増すように設定した仮想物質であり、すべての固体がこの関係に従うわけではありません。

原理をもっと読む · OpenStax：溶解度と飽和溶液

変化の速さを実際に変えてみると

同じ磁場の変化でも、より短い時間で起きると平均誘導電圧の大きさが増します。変化の方向を逆にすると、電圧の符号も変わります。

磁束は、コイル面を貫く磁場を面積と方向も考慮して表す量で、一様な磁場では Φ = BAcosθ です。θはコイル面に垂直な法線と磁場のなす角です。ファラデーの法則より、平均誘導起電力は ε = −NΔΦ ÷ Δt で、Nは巻き数です。1mWbは0.001Wbです。符号は選んだ法線と巻く方向を基準に表示しており、負の値は電圧の大きさが小さいという意味ではありません。レンツの法則の負号は、磁束の変化を妨げる方向を表します。コイルの各巻きで面積と磁場が同じと仮定し、時間に伴う詳細な波形・コイルの抵抗・自己誘導は除外しています。実際の電流や電力は計算せず、定めた時間区間の平均電圧を比較します。

原理をもっと読む · OpenStax：磁束 · ファラデー・レンツの法則

抜けていた費用を実際に加えてみると

取引当事者が払わない被害費用があると、市場の生産量と、社会全体の純便益を最大にする生産量が異なることがあります。

外部費用は、取引に直接参加していない第3者が負担する費用です。社会的限界費用 = 私的限界費用 + 限界外部費用で計算します。競争市場で私的費用だけを反映した生産量は q = 120 − 私的費用、外部費用を含めて全体の純便益を最大にする生産量は q = 120 − 私的費用 − 外部費用です。二つの生産量の間では追加便益より社会的費用が大きくなり、三角形の面積である純便益損失 = ½ × 生産量の差 × 限界外部費用となります。すべての生産による外部被害の総額と、この損失は異なる値です。生産に伴う負の外部性だけを設定した連続的な数量モデルであり、汚染の実際の被害推定・市場支配力・政策実施費用・正の外部性は除外しています。仮想商品と費用単位による比較であり、実際の規制や税の効果を予測する値ではありません。

原理をもっと読む · OpenStax：汚染と外部費用の経済学

反射率を実際に変えてみると

より多く反射すると吸収するエネルギーが減り、同じ量を放射で放出する平衡温度も下がります。摂氏温度が吸収量に比例するわけではありません。

すべての波長と惑星全体にわたる太陽光の反射率をBondアルベドaといいます。全面積平均の吸収量 = S(1 − a) ÷ 4、黒体の放出量 = σT⁴で、両者が等しくなる温度は T = [S(1 − a) ÷ (4σ)]^¼です。S = 1,361W/m²、σ = 5.670374419 × 10⁻⁸W/(m²·K⁴)を使用し、摂氏温度は T − 273.15です。太陽放射だけを吸収し、熱放射の放射率が1である球形惑星全体を、単一の温度とみなす単純なモデルです。大気と温室効果・昼夜や緯度による温度差・氷や雲のフィードバック・平衡に達するまでの時間は除外しています。表示した温度は、実際の地球の表面温度や特定地域の気候予測ではありません。

原理をもっと読む · NASA：地球のエネルギー収支 · 太陽放射と地球の数値資料

文字を実際に選んでみると

ハングルの「가」一文字は一つのコードポイントですが、UTF-8で保存すると3バイトです。文字を数える基準と保存サイズを数える基準は異なります。

Unicodeコードポイントは文字を区別する番号で、UTF-8は各Unicodeスカラー値を1～4バイトで保存するエンコーディングです。JavaScriptの文字列の長さはUTF-16コード単位の数で、笑顔の絵文字😊一つにはコード単位を2個使います。拡張書記素クラスタは、結合アクセントや連結された絵文字のように、複数のコードポイントをまとめるUnicodeの境界基準です。é(U+00E9)とe + 結合アクセント(U+0065 U+0301)は似て見えても保存されたコードポイントが異なり、UTF-8のサイズはそれぞれ2バイトと3バイトです。この体験では固定した六つの例を比較し、入力の正規化や任意の文字列の分割は行いません。画面に描かれる形の数とUnicodeのまとまりの数は、常に同じとは限りません。ファイルヘッダー・エンコーディングの印・圧縮サイズは除外しています。

原理をもっと読む · Python公式ドキュメント：UnicodeとUTF-8 · Unicode：書記素クラスタの境界

つながりを実際に変えてみると

途中の地点では、入る道と出る道が対になります。すべての道を一回ずつ通るには、つながり方と奇数次数の地点の数を併せて見る必要があります。

地点につながる道の数を、グラフの次数といいます。道のある地点がひとつにつながっているとき、奇数次数の地点が0か所なら、同じ地点で始まり終わるオイラー閉路があり、2か所なら、その二地点を始点と終点とする開いたオイラー路があります。奇数次数の地点がそれより多いと、すべての道を一回ずつ通ることはできません。道のある地点同士がつながっていなければ、すべての次数が偶数でも一度に完走できません。孤立して道のない地点は連結条件から除外します。この体験の道は方向や通行制限のない仮想グラフであり、図の長さ・距離や実際の道路での最適な移動経路は計算しません。

原理をもっと読む · MIT：グラフとオイラー路（PDF）

重複する数を実際に変えてみると

標識を付けた個体が全体に十分混ざっていれば、二回目の観察で標識個体に出会う割合は、全体の標識個体の割合に近いと考えます。

Lincoln–Petersen法の点推定は、全個体数 N̂ = M × C ÷ R です。全体の標識個体の割合M/Nが、二回目の観察での標識個体の割合R/Cに近いという関係から導かれます。直接確認した異なる個体の数は M + C − R で、全体の推定値とは異なる値です。Rが0なら、この式では推定できず、Rが小さい場合は、重複が数匹違うだけでも推定値が大きく変動します。二回の観察の間に出生・死亡・移動がない閉鎖個体群、十分な混合、標識の保持と正確な識別、各個体の捕獲確率が等しいこと、標識後に行動が変化しないことを仮定しています。標本が小さい場合の偏りの補正や信頼区間は計算しません。仮想の観察数の関係を理解する体験であり、実際の動物の捕獲・標識方法や実際の個体群の数を案内する資料ではありません。

原理をもっと読む · University of Wyoming：標識再捕獲と個体数推定

カメラを実際に動かしてみると

カメラから前後の物体までの距離の比が、二つの物体の投影サイズの比を決めます。同じ位置で焦点距離だけを変えると、両方の幅が一緒に変わり、比はそのままです。

理想的なピンホール投影では、像面の幅は w′ = f × w ÷ z です。fは焦点距離、wは実際の幅、zはカメラから物体までの距離です。実際の幅が同じ二つの物体の投影幅の比は、遠い物体の距離 ÷ 近い物体の距離 = (d + 間隔) ÷ d で、焦点距離は式から約分されます。カメラが後ろへ下がるほど、この比は1に近づきます。焦点距離を変えながら同じ構図に合わせようと撮影位置も動かす場合は、位置の変化によって遠近感の差が生まれます。上の配置図は、カメラと物体の距離関係を示しています。棒の36mmの目盛りは、投影幅を比べるための固定基準です。物体面と像面が平行な幾何モデルであり、レンズの歪み・ピンぼけ・被写界深度・顔の形の変化は計算しません。

原理をもっと読む · MIT教材：画像とピンホール投影 · Columbia：透視投影の幾何

光が通る条件を実際に変えてみると

濃度と通過距離の積で吸光度が決まります。吸光度が二倍になっても、通過する光の割合が半分になるわけではありません。

Beer–Lambertの法則は、吸光度 A = ε × 濃度c × 光路長l = −log₁₀(通過した光 ÷ 入射した光)です。この体験では、透過率を100 × 10⁻ᴬ %、通過した光の量を入射光 × 10⁻ᴬで計算します。吸光度は対数値であり、吸収された光の百分率とは異なります。Aが0.5から1に増えると、透過率は約31.623%から10%に下がります。同じ濃度と距離で入射光だけを半分にすると、通過した光と吸収された光は半分になりますが、透過率と吸光度はそのままです。濃度が0なら、このモデルでは光がすべて通過します。理想的な線形吸光モデルであり、単色光が均一な溶液を通り、反射・散乱・発光がないと仮定し、容器と溶媒の吸収は除外しています。実際の物質の濃度測定や、特定の液体の透明度を予測する道具ではありません。

原理をもっと読む · IUPAC：Beer–Lambertの法則

衝突条件を実際に変えてみると

二物体に外から加わる力積が0なら、運動量の合計は衝突前後で同じです。運動エネルギーが保存されるかどうかは、別に確かめる必要があります。

運動量の合計は p = m₁v₁ + m₂v₂、運動エネルギーは ½m₁v₁² + ½m₂v₂² です。接近している場合の衝突後の速度は、v₁′ = [p − m₂e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂)、v₂′ = [p + m₁e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂)で求めます。eは、衝突後に相対的に遠ざかる速さ ÷ 衝突前に近づく速さです。e = 1なら運動エネルギーが保存され、e = 0なら二物体は p ÷ (m₁ + m₂)の同じ速度で動きます。一緒に動くからといって、常に静止するわけではありません。減少した運動エネルギーは、変形・熱・音など別の形に変わった分であり、全エネルギーが消えるという意味ではありません。外部からの力積がない一直線上の理想的な衝突であり、摩擦・回転・衝突時間・変形過程は計算しません。二物体の間隔が保たれる場合や広がる場合には、衝突を適用しません。

原理をもっと読む · University of Florida：二物体の衝突（PDF）

票の集計方法を実際に変えてみると

最多得票方式は第一順位だけを見て、ボルダ方式はすべての順位に点を与えます。同じ選好でも、何を合計するかによって勝者が変わることがあります。

最多得票方式は、各人の第1位の候補に一票を与えます。ボルダ方式は第1位に2点・第2位に1点・第3位に0点なので、A = 2a + c、B = a + 2b、C = b + 2c です。上位二候補による決選では、第1位の票数を比べ、過半数（全体の半分を超える数）があれば、その候補がそのまま勝利します。過半数がなく、上位二人を決められる場合は、各人が残った二候補のうち、より好む候補に一票を与えます。二番目の候補が同票で二人を選べない場合は、「追加ルールが必要」と表示し、任意には決めません。最多得票・ボルダおよび最終決選で最高値が並んだ場合は、同率と表示します。初期設定の選好では、最多得票はAが40票、ボルダはBが110点、決選はAが65票となり、勝者が変わります。すべて仮想の完全な選好であり、実際の選挙規則・戦略的投票・棄権・不完全な順位は扱いません。一つの方式があらゆる状況で最善という意味ではありません。

原理をもっと読む · OpenStax：投票方式

水の通り道の条件を実際に変えてみると

同じ水頭差でも、水を通しやすい層ほど多く流れ、通過距離が長いほど単位距離あたりの差は小さくなります。

Darcyの法則では、動水勾配 i = Δh ÷ L、全断面基準の流速 q = K × i、流量 Q = q × 断面積です。qは、水が実際に流れる隙間だけでなく、固体を含む全断面を基準とする値です。有効間隙率 nₑ = 0.3を使うと、間隙内の平均流速は q ÷ nₑ となり、ここではDarcy流速の約3.333倍です。水頭差が0なら、このモデルの流れは0となり、Kだけを二倍にすると流量も二倍になります。両端の水頭差を固定して距離を二倍にすると、動水勾配と流量は半分に減ります。水で完全に飽和した均一な層の定常流であり、水の性質・断面積・間隙率は固定しています。Kは比較のために選んだ仮想値で、特定の土壌や岩石の測定値ではありません。不飽和土壌への雨水浸透・実際の地下水の到達時間・汚染物質の移動・地盤の安全性は予測しません。

原理をもっと読む · USGS：地下水水理学（PDF） · USGS：間隙と地下水の流れ

実行順序を実際に変えてみると

それぞれ一回ずつ足すコードでも、共有値を読み書きする順序によって、一回分の加算が失われることがあります。

AとBがともに10を読むと、それぞれ11を用意します。二人が順番に11を書き込んでも最終値は11となり、更新が一回分失われます。これを更新の喪失といいます。読み取り・計算・書き込みの全体を一つのロックで保護すると、先に始めた人が終わってから次の人が新しい値を読み、最終値は12になります。書き込みだけをロックしても、その前に古い値を読む問題は解決しません。目標の12は二つの加算がともに終わった後の値であり、途中段階の正解を意味しません。二人が読み取りだけを終えた段階では、共有値はまだ変わっておらず、更新の喪失も起きていません。この体験は動作の順序を示すモデルで、実際のブラウザのスレッドは実行せず、複数のコンピューター間の同期やデッドロックは扱いません。

原理をもっと読む · OSTEP：スレッドと共有値（PDF） · OSTEP：ロック（PDF）

実際に検定数を変えてみると

各検定の誤りの基準が小さくても、多くの検定のうち一つでも偽陽性が出る確率は大きくなることがあります。

一つの検定の偽陽性確率をp、検定数をmとすると、すべての帰無仮説が真である独立した検定で、偽陽性が一つでも出る確率は1 − (1 − p)ᵐです。偽陽性の平均件数はmpです。補正せずに基準α = 5%を20個に適用すると、全体の確率は約64.15%になります。ボンフェローニ補正は各基準をα ÷ mに下げ、全体の誤り率がαを超えないようにします。この上限の保証に検定の独立性は必要ありませんが、ここに表示する正確な確率は独立性を仮定しています。全体の確率と平均件数は異なる値です。検定結果や実際のp値を生成する体験ではなく、p値は帰無仮説が真である確率や効果が存在する確率を意味しません。基準を厳しくすると小さな差を発見しにくくなることがあり、実際の研究では仮説のまとまりや検定間の関係も考慮する必要があります。

原理をもっと読む · MIT：複数の検定における誤りの確率（PDF） · NIST：ボンフェローニの原理

実際にRNAの一文字を変えてみると

複数のコドンが同じアミノ酸を意味することがあるため、一文字の変化でアミノ酸が変わるかどうかはコドンによって異なります。

コドンはRNAの連続した三つの塩基です。標準遺伝暗号表（表1）を使うと、GAAとGAGはどちらもGluなので、アミノ酸配列を変えない同義変化です。GUAはVal（バリン）を指定するミスセンス変化で、UAAに変わると終止シグナルが早まるナンセンス変化になります。二番目のコドンが終止なら、Metを一つ作った後で翻訳が終わり、後ろのUUCは翻訳されません。元の文字をそのまま入れると、変化なしとして区別します。開始位置と三文字ずつ区切る読み枠は固定し、文字の挿入・欠失は扱いません。コドン表には生物や細胞小器官による例外があり、同義変化も実際の生物で常に影響がないという意味ではありません。短い合成RNAの翻訳原理を見るモデルであり、実際の遺伝子や疾患への影響を判断する資料ではありません。

原理をもっと読む · NCBI：標準遺伝暗号表 · OpenStax：コドンと遺伝暗号

実際に撮影条件を変えてみると

絞りとシャッター時間は入ってくる光を変え、ISOはその光に対するモデルの明るさを変えます。同じ明るさでも、動きの軌跡は異なることがあります。

同じ条件では、光量はシャッター時間に比例し、絞り値の二乗に反比例します。f/4からf/2に開くと光は四倍になり、1/200秒から1/800秒に短くすると光は¼倍になるので、両方を変えると基準と同じ量を受けます。時間が短いため、動きの軌跡は¼倍です。f/8でISO 400に変えると、受けた光は¼倍ですが、モデルの明るさは基準と同じです。明るさの差が+1ストップは二倍、−1ストップは半分を意味します。モデルの明るさはISOに比例する線形増幅で、明部が限界に達して白飛びする現象や、実際の写真の階調処理・測光・ノイズは再現しません。動きの軌跡は一定速度で動く点が残す相対的な長さであり、手ぶれや鮮明さ全体を評価する値ではありません。レンズの光透過率の違い・被写界深度・自動露出も含みません。

原理をもっと読む · Nikon：絞りとシャッター、露出の基礎 · Nikon：ISO感度

実際に酸の量を変えてみると

共役塩基が加わったH+を受け取って弱酸に変わると、pHの変化を抑えられます。ただし、受け止める相手の量には限界があります。

まずA− + H+ → HAの量的な反応を計算します。共役塩基が受け取った分だけA−が減り、HAが増えます。図の量は中和量から計算した値で、微量の酸の解離や水の平衡を反映した正確なイオン量ではありません。Henderson–Hasselbalchの近似式はpH ≈ pKa + log₁₀(A− ÷ HA)です。比率が同じ二つの溶液は初めのpH近似値が同じですが、弱酸と共役塩基をより多く含む方が、同じ量の強酸をより小さなpH変化で受け止められます。この体験では、計算後にA−が10mmol以上残り、A− ÷ HAが0.1～10のときだけ近似値を表示します。範囲を外れると「近似範囲外」と区別しますが、実際のpHが存在しない、または0であるという意味ではありません。用意した共役塩基を使い切った後に残る強酸の量は表示しますが、この式でpHの計算は続けません。弱酸・共役塩基の量的な反応後に適用する理想溶液の近似であり、正確な酸解離平衡・イオン活量・体積変化は計算しません。

原理をもっと読む · OpenStax：緩衝溶液と緩衝能

実際に力を加える位置を変えてみると

トルクは力の大きさだけでなく、支点からの距離や力の方向にも依存します。

トルクの大きさはτ = rF sin θです。r sin θは、回転軸から力の作用線までの垂直距離であるモーメントアームです。同じ力を二倍遠くから垂直に加えるとトルクは二倍になり、30°に傾けると同じ距離・力で半分になります。棒と平行な0°・180°ではトルクが0なので、右側の力だけでは左側のトルクを打ち消せません。「つり合う力」は必要な計算値であり、調整範囲の10～40Nより大きい場合もあります。合計トルクが+なら初めに反時計回り、−なら時計回りに回そうとする効果があります。0はこのモデルでの回転のつり合いであり、自由な物体に働くすべての力がつり合うという意味ではありません。支点は固定され、その反力で棒の並進移動を制限します。重さのない剛体の棒が初めは静止し、回転摩擦はないと仮定し、時間に伴う動きは計算しません。トルクのN·mは、エネルギーを意味するJに置き換えて表示しません。

原理をもっと読む · OpenStax：トルクとモーメントアーム · OpenStax：力とトルクのつり合い

実際に支払いルールを変えてみると

同じ人が落札しても、自分の入札額を払うか、次に高い入札額を払うかによって支払額は異なります。

最高入札額が一つなら、どちらのルールでもその人が落札します。第1価格封印入札オークションでは落札者自身の入札額を払い、第2価格封印入札オークションでは他の参加者の中で最も高い入札額を払います。落札しなかった人の支払いは0点です。Aの純便益は、Aが落札した場合は80 − 支払額で、落札しなければ0です。Aが90点で入札し、第1価格で落札すると、純便益は−10点になることがあります。最高額が同額なら勝者を任意に決めず、支払額と純便益を「未定」と表示します。商品一つ・一回の入札・仮想の価値と点数を使うモデルで、最低落札価格や参加費・手数料はありません。参加者の戦略選択や情報の違い、あらゆるオークションでの最善の戦略は計算しません。

原理をもっと読む · MIT：オークションの支払いルールと戦略（PDF）

実際に軌道条件を変えてみると

中心質量が同じなら、遠い円軌道ほど速度が小さく、一周するのに長くかかります。

円軌道で重力が向心力を与えると、周期はT ∝ √(r³ ÷ M)、速度はv ∝ √(M ÷ r)です。ここではAU単位の半径rと太陽質量単位のMを使い、T = √(r³ ÷ M)モデル年、基準に対する速度 = √(M ÷ r)倍と正規化します。同じ質量で半径を二倍にすると、周期は√8倍、速度は1 ÷ √2倍です。同じ半径で中心質量を二倍にすると、周期は1 ÷ √2倍、速度は√2倍です。累積周回数は時間 ÷ 周期で、現在の角度はそのうち一周内の位置を表します。中心星の質量は公転する物体より非常に大きく、軌道は円であると仮定します。各設定は異なる可能な軌道を比較するもので、宇宙船の瞬間的な軌道変更を再現するものではありません。星の図の大きさは固定され、質量から実際の星の半径を計算するという意味ではありません。楕円軌道・複数天体の相互作用・実際の惑星の位置は計算しません。

原理をもっと読む · OpenStax：重力と公転周期

実際に表の対応を変えてみると

結合は同じキーの行をすべて組み合わせます。右のキーが重複すると、左の一行が結果では複数行になることがあります。

INNER JOINは同じキーで対応する行の組をすべて結果に含めます。対応のない左右の行は除かれます。LEFT JOINもすべての組を含めますが、まったく対応のない左の行ごとに、右の値をNULLとした一行を追加します。そのため、LEFT JOINは左のデータを保持しますが、結果が常に左と同じ3行になるという意味ではありません。右のAが二行なら、左のAは二回対応します。キーの異なるD・Eは左のA・B・Cと対応しません。この画面は小さな固定の表を比較し、実際のデータベースには接続しません。行順は説明のため左の順序と右の順序に固定しており、実際のSQLで順序を保証するにはORDER BYが必要です。

原理をもっと読む · PostgreSQL：表の結合 · PostgreSQL：SELECTと結合した表

実際に面積を分割してみると

曲線の下の面積は、小区間の面積を足して近似できます。同じ分割数でも、どの高さを使うかで差が生じます。

分割数がnなら、幅はΔx = 2 ÷ nです。長方形では選んだ位置のx² × Δxを足し、台形では両端の高さの平均 × Δxを足します。この曲線の正確な面積は∫₀² x² dx = 8 ÷ 3です。ここでは増加する下に凸のx²を使うため、左端と中点は過小、右端と台形は過大になります。この関係をすべての関数にそのまま適用することはできません。表示値は小数第三位までに丸め、計算には丸める前の値を使います。yの実際の物理単位は定めておらず、x²の[0, 2]の面積を確率とは解釈しません。確率密度関数を扱うには、全体の面積が1になるなどの条件を別途確認する必要があります。

原理をもっと読む · OpenStax：小さな和で面積を近似する · OpenStax：中点法と台形法による積分

実際に大きさと分割を変えてみると

球が大きくなると、体積は半径の三乗、表面積は二乗に比例して増えます。同じ総体積を小さな球に分けると、新しい表面が増えます。

球の表面積は4πr²、体積は4πr³ ÷ 3で、表面積/体積は3 ÷ rです。半径Rの球の体積をN個の等しい球に分けると、小さな球の半径はR ÷ ∛N、総表面積は元の∛N倍です。8個なら表面積は2倍、64個なら4倍になります。分割時は総体積だけを保ち、新しい表面を作り、各球の表面が独立して露出すると仮定します。小さな球を元の球の内部に隙間なく詰めた図ではなく、実際の細胞分裂の過程は再現しません。表面の交換可能な面積と、体積に比例する内部の需要の関係を理解するモデルです。実際の細胞は形・膜のひだ・輸送系・代謝率が異なるため、交換速度や生存可能な大きさをこの比率だけでは予測できません。小数表示は丸め、計算には丸める前の値を使います。

原理をもっと読む · OpenStax：細胞の表面積と体積

実際に改行ルールを変えてみると

前の行をできるだけ埋める選択が、全体のコストを最小にするとは限りません。後に続く行の余白も一緒に比較する必要があります。

前の行優先の配置は、次の単語が入る限り一行を埋めてから改行します。最小コストの配置は可能な改行を比較し、残り幅の二乗または三乗の和が最も小さい結果を探します。この体験では最終行のコストを0とし、一行の単語間には1単位の空白だけを置きます。単語の順序は保ち、省略・重複・分割は認めません。幅6で「one of」から始めると、次の「us」の行の余白が4となり、二乗コストは16です。「one」と「of us」に分けると、コストは9 + 1 = 10に減ります。最小コストが同じなら行数の少ない配置を優先し、行数も同じなら前の行に単語を多く置いた配置を表示します。複数の最適配置のうち一つを示す場合があります。等幅の短い英単語を使う仮想コストのモデルであり、実際の文章の美しさや読みやすさを判定するものではありません。プロポーショナルフォント・韓国語の句読点・言語別の改行・ハイフネーションは計算しません。

原理をもっと読む · MIT：全体のコストを比較する改行

実際に温度と空間を変えてみると

同じ量の理想気体は、絶対温度が高いほど、体積が小さいほど圧力が高くなります。何を固定したかが重要です。

理想気体の状態方程式はPV = nRTです。ここではn = 0.1mol、R = 8.314462618J/(mol·K)で、体積をL、圧力をkPaで表すとkPa × L = Jになります。圧力はnRT ÷ Vで求め、温度には常に絶対温度Kを使います。摂氏はK − 273.15に換算して表示するだけで、比率の計算には使いません。温度が一定のときだけ圧力 × 体積が一定で、温度を上げるとこの積も大きくなります。二つの気体の図は、同じ体積の目盛りと同じ数の代表点を使います。点は実際の粒子数や衝突の過程を再現しません。分子間力と粒子自体の体積を無視した理想気体モデルなので、実在気体の高圧状態や液化・相変化は予測しません。表示値は丸め、計算には丸める前の値を使います。

原理をもっと読む · OpenStax：理想気体の圧力・体積・温度 · OpenStax：気体分子運動モデル