Detrás de una de las tres puertas hay un automóvil, y detrás de cada una de las otras dos hay una cabra. Elijo la puerta 1 y el presentador, que sabe dónde está el automóvil, abre la puerta 3, me muestra una cabra y me pregunta «¿Quiere cambiar a la puerta 2?». Como quedan dos puertas, parece que ambas tienen la misma probabilidad, pero cambiar duplica las posibilidades de ganar. El problema de Monty Hall (Monty Hall Problem) es el famoso acertijo que ilustra este choque entre la intuición y la respuesta correcta.
En pocas palabras, el problema de Monty Hall es un ejemplo clásico de probabilidad condicional que plantea cómo recalcular las probabilidades cuando se recibe información nueva. Su nombre viene de Monty Hall, presentador del concurso de televisión estadounidense «Hagamos un trato» (Let's Make a Deal), que comenzó en 1963.
En este artículo veremos las reglas del problema de Monty Hall, por qué conviene cambiar de puerta, la polémica en la que se equivocaron numerosos expertos y la lección que este acertijo ofrece para la vida cotidiana.
La solución del problema de Monty Hall y el origen del error
¿En qué consiste el problema de Monty Hall?
El estadístico estadounidense Steve Selvin presentó por primera vez este problema en 1975, en una carta que envió a la revista The American Statistician. En una segunda carta lo llamó «problema de Monty Hall». Para que la respuesta sea válida, deben quedar claras las reglas que sigue el presentador.
- Conocimiento del presentador (Host Knowledge). El presentador sabe detrás de qué puerta está el automóvil.
- Apertura obligatoria de una puerta (Always Opens a Door). El presentador siempre abre una de las puertas que el participante no eligió.
- Siempre muestra una cabra (Always Reveals a Goat). El presentador nunca abre la puerta que esconde el automóvil.
- Oportunidad de cambiar (Always Offers a Switch). El presentador siempre ofrece la posibilidad de cambiar a la puerta que queda.
(1) Acertijos equivalentes más antiguos
Ya existían acertijos matemáticamente equivalentes al problema de Monty Hall. En 1959, Martin Gardner presentó en una columna de Scientific American el «problema de los tres prisioneros», en el que solo uno de los tres recibe el indulto. Mucho antes, en 1889, el matemático francés Joseph Bertrand planteó la «paradoja de las cajas de Bertrand», que aborda el mismo error de intuición.
Por qué al cambiar la probabilidad de ganar es de 2/3
Al elegir inicialmente la puerta 1, la probabilidad de que el automóvil esté detrás de esa puerta es de 1/3, y la de que esté detrás de alguna de las otras dos es de 2/3. Esto sigue siendo así cuando el presentador abre una puerta que esconde una cabra. Como sabe dónde está el automóvil y abre deliberadamente una puerta con una cabra, su acción no aporta información nueva sobre la puerta elegida al principio. Así, toda la probabilidad de 2/3 que correspondía a las otras dos puertas se concentra en la única de ellas que sigue cerrada.
(1) Análisis de los tres casos
Si el automóvil está detrás de la puerta 1, cambiar supone perder. Si está detrás de la puerta 2 o de la 3, cambiar garantiza la victoria, porque el presentador abre la otra puerta, que esconde una cabra. Como se gana en dos de los tres casos, la probabilidad de ganar al cambiar es de 2/3.
(2) Si hubiera un millón de puertas
Marilyn vos Savant propuso imaginar que había un millón de puertas. Si elijo una y el presentador, evitando la que esconde el automóvil, abre todas las demás salvo una, cualquiera puede ver fácilmente que conviene cambiar a esa única puerta que dejó cerrada.
La polémica de Monty Hall en la que hasta los genios se equivocaron
El problema se dio a conocer gracias a la columna de preguntas y respuestas «Pregúntale a Marilyn» (Ask Marilyn), publicada en la revista estadounidense Parade en el mes 9 de 1990. Cuando vos Savant respondió que convenía cambiar de puerta, llegaron unas 1 decenas de millar de cartas, de las cuales cerca de 1,000 procedían de personas con un doctorado. La mayoría sostenía que su respuesta era incorrecta.
[Caso 1] El matemático que solo se convenció al ver los resultados de una simulación informática
Paul Erdős, considerado uno de los matemáticos que más artículos han publicado en la historia, tampoco creyó al principio que la respuesta fuera correcta. Según se cuenta, solo aceptó que cambiar era más ventajoso después de ver los resultados de repetir el juego innumerables veces en una computadora.
[Caso 2] Las palomas superan a las personas
En 2010, un estudio estadounidense hizo que unas palomas jugaran repetidamente al juego de Monty Hall. Con la práctica, las palomas acabaron cambiando de puerta casi siempre, mientras que las personas que realizaron la misma tarea nunca llegaron a adoptar la mejor estrategia. En otro estudio con personas, solo el 13 % de los 228 participantes cambió de puerta.
Las reglas del presentador cambian la respuesta
En el problema de Monty Hall, es decisivo que la persona que abrió la puerta supiera dónde estaba el automóvil. Si el presentador hubiera abierto una puerta al azar sin saber dónde estaba el automóvil y hubiera aparecido una cabra por casualidad, la probabilidad de ganar sería la misma al cambiar que al mantener la elección. Ante una misma escena, la probabilidad varía según cómo se haya obtenido la información.
(1) El concurso real era distinto
En una entrevista con The New York Times en 1991, el propio Monty Hall demostró que comprendía bien el problema. Añadió que, en el concurso real, conducía el juego sin ceñirse a esas reglas y aprovechaba la psicología de los concursantes, por lo que el cálculo no se aplicaba tal cual.
(2) Una lección para la vida cotidiana
Cuando recibimos información nueva, primero debemos examinar quién la filtró y con qué reglas. La dificultad para renunciar a nuestra primera elección puede nublar el juicio.
El problema de Monty Hall muestra que, aunque queden dos opciones, sus probabilidades pueden ser distintas. Este acertijo, en el que se equivocaron incluso personas muy inteligentes, nos recuerda lo fácil que es pasar por alto el origen de la información al dejarnos llevar por la intuición.
El primer paso para interpretar bien las probabilidades es preguntarse cómo se obtuvo la información que dio lugar al resultado que tenemos delante.
