亲手实验，满足好奇。

亲自查找后发现

检查中间的数字，就能一次排除不含答案的那一半。

二分查找适用于已排序的数据。本体验使用已排好序的数字，比较时不计入排序的成本。如果目标就在最前面，顺序查找也可能更快找到。

进一步了解原理 · NIST：二分查找

亲自拆分等待时间后发现

文件传输速率与等待响应的时间是不同的因素。

总时间 = 一次往返时延 + 文件大小 × 8 ÷ 线路速率。这是忽略连接准备和拥塞、以恒定速率传输的简化模型。实际下载时间会随多次通信、服务器处理、拥塞和传输丢失而变化。

进一步了解原理 · Cloudflare：网络时延

亲自比较后发现

pH越低，氢离子浓度的近似值越大。

这里按[H₃O⁺] ≈ 10^−pH mol/L计算。严格的pH定义使用活度而非浓度。中性pH为7是25°C时的标准，仅凭pH无法判断安全性或酸本身的强弱。0~14是本体验的探索范围，并非所有溶液的pH都在此范围内。

进一步了解原理 · OpenStax：pH与pOH

亲自配对后发现

能按所需比例配对的分子，决定了可生成的水分子数量。

每组需要2个H₂和1个O₂。可组成的组数是“氢分子数 ÷ 2的整数部分”与“氧分子数”中的较小值。如果氢分子数为奇数，会剩下1个氢分子，因此两种分子都可能有剩余。本体验并非重现实际反应速率、条件和产率的实验。

进一步了解原理 · OpenStax：限量反应物与反应产率

亲自调整电路参数后发现

电阻不变时，电流与电压成正比，功率与电压的平方成正比。

按欧姆定律I = V ÷ R和功率公式P = V² ÷ R计算。这是由一个阻值恒定的电阻构成的直流模型。实际材料、灯泡和电子设备的电阻可能随温度及工作状态而变化。本体验用于在屏幕上理解这些关系，不提供实际接线指导。

进一步了解原理 · OpenStax：欧姆定律 · 电功率与电能

亲自调整位置后发现

势能减少多少，动能就增加多少。

本模型的重力加速度为9.8m/s²，无摩擦和空气阻力。设初始高度为h、已下降的比例为p，则势能为mgh(1 − p)，动能为mghp，速率为√(2ghp)。势能以地面为零点，100%表示碰撞前一刻。不包含碰撞后转化为形变、热和声音的过程。

进一步了解原理 · OpenStax：重力势能 · NASA：能量守恒

亲自调整后发现

收入相近时，平均数与中位数很接近。

平均数是所有数值之和除以人数，中位数是按大小排序后居中的值。六人时，取中间两个值的平均数。哪种代表值合适，取决于分布和所问的问题。

亲自调整后发现

相同的构图，换种颜色就会给人不同印象。

背景色改变大面积区域的观感，强调色改变吸引视线的部分。文字与背景的明暗差异影响易读性。显示的数值是根据两种颜色的相对亮度计算的对比度。

亲自上架后发现

分类号将相同主题的书归类，并指明在书架上查找的位置。

KDC是按主题分类图书的体系。这里通过大类主题的分类号学习排列顺序。实际图书馆中，同一分类号内还会根据著者号等索书号的其余部分及图书馆规则确定顺序。

亲自调整后发现

复利不仅对本金计息，也会对已产生的利息继续计息。

单利金额 = 本金 × (1 + 年利率 × 期限)，按年复利金额 = 本金 × (1 + 年利率)^期限。计算时，将以%表示的利率除以100使用。这是未计税费、手续费和物价变化的学习用计算，不预测实际产品的收益率。

进一步了解原理 · Investor.gov：复利原理

亲自调整后发现

垃圾消息稀少时，即使误报率很低，也可能作用于大量正常消息。

正确提醒数 = 10,000 × 垃圾消息比例 × 检出率，误报数 = 10,000 × 正常消息比例 × 误报率。提醒中垃圾消息的比例为正确提醒数 ÷ 全部提醒数。即使检测性能相同，结果也会随垃圾消息原本的普遍程度而变化。

进一步了解原理 · OpenStax：概率与条件概率

亲自调整后发现

越接近环境的上限，继续增长的余地就越小。

逻辑斯谛模型使用dN/dt = rN(1 − N/K)。N为个体数量，K为固定的环境容纳量，r为增长系数。这里显示该方程的连续时间解。这是忽略迁移、季节和食物变化的简化模型，不用于预测实际生态系统。

进一步了解原理 · OpenStax：逻辑斯谛方程

亲自调整后发现

长与宽越接近，同样长度的围栏就能围出越大的空间。

长 + 宽 = 周长 ÷ 2，面积 = 长 × 宽。周长固定的长方形中，长与宽相等的正方形面积最大。按最大面积 = (周长 ÷ 4)²进行比较。

进一步了解原理 · OpenStax：相同周长的面积比较

亲自调整后发现

比例尺分母越大，相同的图上长度所代表的实际空间就越大。

比例尺为1 : S时，实际距离(km) = 图上长度(cm) × S ÷ 100,000。正方形的实际面积为实际边长(km)的平方。不考虑地图投影变形和地形坡度。在屏幕上放大地图，也不意味着印刷用比例尺标注的数字会自动改变。

进一步了解原理 · USGS：地图与比例尺指南

亲自调整后发现

即使处于相同季节位置，南北半球的阳光角度也不同。

太阳正午高度角 ≈ 90° − |纬度 − 太阳赤纬|。垂直立于水平面上的1m高杆，其影长按1 ÷ tan(高度角)计算。高度角为90°时，影长为0。不考虑大气折射和地形，季节赤纬采用代表值。

进一步了解原理 · NOAA：太阳位置计算公式

亲自调整后发现

宽和高分别增大为两倍，像素数和数据量就会变为四倍。

像素数据量（字节） = 横向像素数 × 纵向像素数 × 每像素比特数 ÷ 8。这里1MB为1,000,000字节。由于不计文件头、调色板、行尾填充数据和压缩，实际图像文件大小会有所不同。8比特是表示灰度亮度等内容的一种方式；本例中，32比特里额外的8比特表示透明度。

进一步了解原理 · Microsoft：位图的像素数据与存储结构

亲自调整后发现

溶液体积变为两倍时，浓度减半，但溶质量保持不变。

初始浓度 × 初始体积 = 最终浓度 × 最终体积。体积使用相同单位即可计算。本模型假设溶质不发生反应或蒸发、完全混合，且溶液与水的体积可以直接相加。

进一步了解原理 · OpenStax：溶液的浓度与稀释

亲自调整后发现

将两个同声级声音的声强相加，声级约增加3dB。

N个声音的合成声级 = 单个声音的声级 + 10 × log₁₀(N)。假设这些声音在同一观测点的声级相同，彼此独立且不保持固定的相位关系。本模型不用于计算同相波的叠加、主观响度或听力保护建议。

进一步了解原理 · 曼彻斯特大学：不同声音的声强叠加

亲自调整后发现

即使金额增加，如果物价上涨得更快，同样的钱能买到的东西也会减少。

名义金额 = 初始金额 × (1 + 金额增长率)^期限，按初始物价折算的金额 = 名义金额 ÷ (1 + 通货膨胀率)^期限。考虑物价后的年增长率按(1 + 金额增长率) ÷ (1 + 通货膨胀率) − 1计算。计算时需将百分数除以100。这是使用固定虚拟比率的教学模型，不考虑税费、手续费及个人消费差异。

进一步了解原理 · 欧洲中央银行：通货膨胀与购买力

亲自调整后发现

Aa与Aa杂交时，四种组合中有一种为aa。皱粒种子的理论概率为25%。

这是单基因完全显性模型，每个亲本以相同概率传递两个等位基因中的一个。四个方格表示等可能的组合，并不意味着实际每四个后代的比例必定为3 : 1。每次受精都是独立的概率事件。并非所有生物的性状都遵循这一规律，显性也不意味着更好或更常见。

进一步了解原理 · OpenStax：孟德尔遗传定律与庞尼特方格

亲自调整后发现

承重绳段数加倍，所需的力减半，拉绳距离加倍。将同一物体提升到相同高度，所做的功相同。

拉力 = 质量 × 重力加速度 ÷ 承重绳段数，拉绳距离 = 承重绳段数 × 高度，所做的功 = 力 × 拉绳距离。本理想模型取重力加速度为9.8m/s²，忽略绳子和滑轮的质量及摩擦，使物体匀速上升。图中仅示意分担力的原理，不指导实际绕绳方法。

进一步了解原理 · OpenStax：滑轮与机械利益

亲自调整后发现

月球始终有一半受到太阳照射，但从地球看向这明亮一面的方向发生变化，因此月相也随之改变。

月相不是由地球的影子遮挡造成的。地球的影子投到月球上的现象称为月食。本体验采用月球沿圆形轨道匀速运动、平均朔望月为29.53天的模型。明亮比例按50 × (1 − cos 位置角)计算，经过天数按29.53 × 位置角 ÷ 360计算。本模型不是用于预测月球实际位置、农历日期、是否发生月食或观测时间的日历。

进一步了解原理 · NASA：月相与明亮的一面

亲自调整后发现

在比例相同的情况下，样本量增加到四倍，误差范围减半。误差范围并不会按样本量增加的倍数直接缩小。

误差范围(%p) = 1.96 × √(p × (1 − p) ÷ 样本量) × 100，其中p为赞成比例除以100所得的值。这是总体非常大且样本独立随机抽取时的正态近似。样本量越小，或比例越接近0%或100%，这一近似就越不准确。其含义是，以相同方式反复调查并构造区间，其中约95%的区间会包含真实比例，而不是本次区间包含真实比例的概率为95%。增加样本量也无法解决回答偏差或调查遗漏群体的问题。

进一步了解原理 · NIST：比例的置信区间与正态近似

亲自调整后发现

拍摄位置和传感器相同时，焦距越长，取景范围越窄。传感器宽度减小，视角也会变窄。

水平视角 = 2 × arctan(传感器宽度 ÷ (2 × 焦距))，取景宽度 = 被摄物距离 × 传感器宽度 ÷ 焦距。传感器宽度与焦距使用相同单位，视角换算为度显示。本模型是将直线呈现为直线的理想针孔模型，不考虑畸变及对焦导致的视角变化。被摄物距离从模型的投影中心量起，并非从实际镜筒前端量起。在同一位置更换镜头会改变视角，而改变前后物体相对大小的透视变化发生在移动拍摄位置时。

进一步了解原理 · Edmund Optics：焦距与视角

亲自组合后发现

即使条件相同，使用AND、OR、XOR或NOT中的不同规则，结果也会不同。

这是只使用0和1两个值的逻辑模型。AND在A和B都为1时、OR在至少一个为1时、XOR在两者不同时，结果为1。NOT在A为0时结果为1，A为1时结果为0。本模型展示条件判断的结构，不模拟实际电路的电压或运行时间。

进一步了解原理 · OpenStax：条件与逻辑运算 · Analog Devices：XOR逻辑

亲自调整时间后发现

平衡时A与B的量不必相等。双向转化速率相等，因此各自的量不再变化。

这是A ↔ B按1 : 1转化的封闭虚拟模型，转化速率为各物质的量 × 转化系数。系数保持不变，总量维持在100。平衡时B的量 = 100 × 正向系数 ÷ (正向系数 + 逆向系数)。双向转化持续进行，但净变化趋近0。不包含实际物质、温度和反应步骤带来的复杂速率变化。

进一步了解原理 · OpenStax：化学平衡与动态平衡

亲自提高营养级后发现

若每一级传递10%，向上两级后获得的能量就是初始能量的1%。

所选营养级的能量 = 生产者能量 × (传递比例 ÷ 100)^级数。未传递的能量会在生命活动中转化为热，或通过未被取食的部分、排泄物、遗体等转移到其他路径，并不表示能量消失了。生态系统中的营养物质循环利用，而能量进入并传递，最终以热的形式散布到周围。

进一步了解原理 · OpenStax：生态系统的能量流动

亲自分工后发现

A生产两种产品都更快，但生产X时，A放弃的Y更少。

生产1单位X需要放弃的Y，A为0.5单位，B为1单位。像这样，机会成本更低的一方就拥有生产X的比较优势。若A用于X的时间为75%，B为0%，则X产量为24、Y产量为12，比初始分配多生产4单位X。这是产量与工作时间成正比的虚拟示例，不考虑质量、运输和协调成本。

进一步了解原理 · OpenStax：绝对优势与比较优势

亲自调整世代后发现

对下一代贡献更多的类型，随着世代更替，在群体中所占的比例会增加。

设初始A比例为p₀（0~1）、两个贡献系数为wA·wB、世代数为g，则A的比例为p₀ × wA^g ÷ [p₀ × wA^g + (1 − p₀) × wB^g]。本教学模型假设两种类型通过无性生殖原样传递自身性状，且环境与系数保持不变。它不同于基因型杂交模型，不考虑变异、迁移和随机遗传漂变。仅比较比例，不预测实际个体数量。进化没有预定的目标或终点。

进一步了解原理 · 加州大学伯克利分校：自然选择的比例模型（PDF） · OpenStax：环境与相对适合度

亲自降价后发现

即使降低价格，如果销量增加得不够多，销售额也会减少。

区间弹性等于销量变化率除以价格变化率的绝对值，各变化率均以降价前后数值的平均值为基准。小于1时，降价后销售额减少；等于1时保持不变；大于1时增加。选择价格27.5、Q = 100 − 2P时，降价前后销售额均为1,237.5。这是不考虑成本、竞争、季节及消费者差异的线性虚拟需求模型。它比较降价前后的区间，不预测实际商品的需求或收益。

进一步了解原理 · OpenStax：中点法与价格弹性 · 弹性与销售额的关系

亲自改变高度后发现

海拔升高，上方空气的重量减少，气压随之降低。

这是气压P = P₀ × exp[−Mgh ÷ (RT)]的等温理想大气模型。海平面气压P₀为1,013.25hPa，空气摩尔质量M为0.0289644kg/mol，重力加速度g为9.80665m/s²，气体常数R约为8.31446J/(mol·K)，h为海拔高度(m)，T为摄氏温度 + 273.15(K)。假设整个空气层的温度、组成和重力保持不变，不考虑水汽及天气变化。它不同于气温随海拔降低的标准大气计算，不能用于实际气压预报或海拔测量。

进一步了解原理 · NASA：重力作用下的理想气体与等温近似

亲自移动音高后发现

一个八度包含12个半音。升高12格，频率加倍；降低则减半。

在12平均律中，频率 = 基准频率 × 2^{(半音数 ÷ 12)}。每移动一个半音，频率约乘以1.05946，因此即使移动相同格数，以Hz表示的差值也会随基准音而改变。仅在点击按钮时，以相同振幅播放两个正弦波音，不考虑实际乐器的音色、泛音和调律差异。频率比为两倍，并不意味着感受到的响度为两倍。

进一步了解原理 · UNSW：音的频率与12平均律

亲自合并重复内容后发现

相同字符连续重复得越长，存储原文所需的组数越少。

这种方法称为游程编码（RLE）。例如，将AAAAAAAA存储为“8, A”，还原时写出8次A即可恢复原文。如果A与B始终交替出现，每个字符需要2字节，大小就会加倍。屏幕上的数量以便于阅读的数字显示，但在存储模型中，数量按1字节计算。这是省略头部、仅用于A和B字符的教学模型，并不完整模拟实际BMP文件格式或通用压缩程序。压缩方法的效果取决于数据的模式。

进一步了解原理 · Microsoft：使用连续数量与颜色值存储的RLE

亲自让物体漂浮后发现

体积增大时，重力与最大浮力都会增大。决定漂浮时浸没比例的是两者的密度比。

根据阿基米德原理，浮力等于物体排开液体的重力。物体漂浮时，浮力 = 重力，因此浸没体积比例 = 物体密度 ÷ 液体密度。若此比值大于1，物体就无法漂浮在液面上，浸没比例显示为100%。假设整个物体密度均匀且不可压缩，液体静止，不考虑表面张力、流体阻力及与底部接触。向下的合力为完全浸没后重力减去浮力的值，并不表示下沉速度。N是力的单位，重力加速度取9.80665m/s²。

进一步了解原理 · OpenStax：阿基米德原理

亲自增加人数后发现

23人之间有253对可以比较。任意两人生日相同的可能性，远大于有人生日为指定日期的可能性。

生日重合的概率，可用1减去“所有人生日都不同的概率”求得。若有n人，可以比较的共有n(n − 1) ÷ 2对。不能将所有配对的生日重合事件视为彼此独立，也不能将配对数乘以1/365来求总概率。假设生日均匀分布在365天中，且每个人的生日彼此独立，不考虑闰日及实际出生日期的季节性集中。这表示人数较少时也可能有较高概率，并不表示一定会重合。

进一步了解原理 · 加州大学伯克利分校：生日问题与对立事件（PDF）

亲自冷却空气后发现

温度越低，饱和水汽压越低，相对湿度就越高。露点以下，部分水汽会凝结成水。

相对湿度 = 当前水汽压 ÷ 该温度下的饱和水汽压 × 100%。饱和水汽压使用以液态水表面为基准的Magnus近似公式eₛ(T) = 6.112 × exp[17.62T ÷ (243.12 + T)]hPa计算。露点是饱和水汽压等于初始空气水汽压时的温度。若目标温度更低，多余水汽会凝结，使水汽压降至饱和值，相对湿度显示为100%。“超出饱和的部分”是凝结前水汽压与目标温度下饱和水汽压的差值，并非水滴质量或凝结速率。零度以下的露点也以液态水为基准显示，与霜点不同。这是不考虑过饱和、气压变化及热交换速率的平衡模型。

进一步了解原理 · NPL：露点与相对湿度

亲自将箭头相加后

即使存在极性键，只要它们对称且方向相反，合向量也可能为0。

设两个大小均为m的键偶极矩之间的夹角为θ，则合向量的大小为2m × cos(θ/2)。理解分子极性需要同时考虑键角和方向。本体验是仅将两个相同化学键的向量相加的几何模型，不计算实际整个分子的电子分布或偶极矩。104.5°是用于比较弯曲形的示例，显示的相对单位并非水的实测值，也不是Debye单位。实际键角由电子对的排列等决定，不能像滑块一样任意改变。

进一步了解原理 · OpenStax：分子结构与极性

亲自添加原料后

当大部分酶都在处理底物时，即使再添加原料，速率也只会略微增加。增加酶量，最大速率也会随之增大。

采用Michaelis–Menten模型的初始速率公式v = Vₘₐₓ × [S] ÷ (Kₘ + [S])。底物浓度[S]和Kₘ的单位为mM，Kₘ固定为2mM。最大速率Vₘₐₓ按酶的相对量 × 10设定，采用虚构的速率单位。当底物浓度等于Kₘ时，无论酶量多少，速率都为最大速率的一半。假设底物远多于酶，反应遵循简单的饱和动力学，不考虑抑制、协同性、随时间发生的原料耗尽及酶变性。本模型不用于预测酶的总产量或特定实验的实际速率。

进一步了解原理 · MIT：酶催化与反应速率（PDF）

亲自改变双方的选择后

无论对方如何选择，个人选择背叛的得分都更高。但双方都背叛的总分低于双方都合作时的总分。

这种得分结构称为囚徒困境。双方仅同时做一次决定，选择前没有沟通，也没有具有约束力的承诺。如果只考虑自己的得分，双方都背叛就是纳什均衡。均衡意味着任何一方都无法仅靠单独改变选择来获益，并不意味着结果对所有人都最好。分数是虚构的回报，并非监禁期限。如果考虑重复交往中的信任、报复、协商或关心他人的动机，结果可能不同。

进一步了解原理 · MIT：囚徒困境与纳什均衡（PDF）

亲自改变排队条件后

到达速率越接近服务速率，消化积压顾客的余力就越少，等待时间会急剧增长。

这是单个窗口按先到先服务原则运行的M/M/1稳态模型。假设到达遵循独立的Poisson过程，服务时间服从独立的指数分布，且等待空间充足。当平均到达速率λ和平均服务速率μ的单位为人/分钟时，等待时间 = 60λ ÷ [μ(μ − λ)]秒，逗留时间 = 60 ÷ (μ − λ)秒，等待人数 = λ² ÷ [μ(μ − λ)]人。只有λ < μ时，才存在有限的稳态平均值，此时λ/μ为窗口利用率。若λ ≥ μ，λ/μ表示请求负荷与服务能力的比值，并非实际利用率。这意味着无法显示稳定的平均值，并不意味着每位顾客都必然无限等待。这些值不用于预测瞬时队长、预约、多窗口、服务过程中离开等情况或实际店铺的拥挤程度。

进一步了解原理 · MIT：M/M/1排队模型（PDF）

亲自翻转比特后

偶校验通过附加校验位，使1的个数为偶数。如果收到的1的个数为奇数，就能检测到错误。

四个数据位从左到右分别表示8、4、2、1的值，最右侧的校验位不计入数据值。传输的五个比特中，最终有奇数个发生变化时能够检测到错误，但有偶数个变化时可能漏检。“未检测到”并不保证数据正确。仅校验位发生变化也会检测到错误，而数据值可能保持不变。仅凭这种方法无法确定哪个比特出错，也无法恢复原始数据。本体验是比较最多两次比特翻转的模型。

进一步了解原理 · MIT：数字信息与奇偶校验

亲自调整膜两侧的条件后

两侧水压相同时，水从溶质浓度低的一侧向浓度高的一侧净移动。浓度相等时，不会因这一差异产生净移动。

稀的理想非电解质溶液的渗透压为π = CRT。C的单位为mol/m³，R约为8.31446J/(mol·K)，T为摄氏温度 + 273.15（K）。数值上1mM = 1mol/m³，因此用显示的浓度 × R × T ÷ 1,000求得以kPa为单位的渗透压。内侧 − 外侧的渗透压差，是阻止水净移动所需的内侧 − 外侧水压差，并不意味着从一开始就实际存在该水压差。这里只按初始浓度进行比较，不计算体积和浓度随时间的变化，也不计算移动速率。本模型不用于预测实际细胞中复杂的溶质与膜运输，或特定生物的反应。

进一步了解原理 · OpenStax：溶液的渗透压

亲自改变题目构成后

总体成功率是按题目数量对各组成功率加权得到的平均值。简单题占比不同时，在各组中领先的A，总体上却可能落后。

这种反转称为辛普森悖论。设简单题比例分别为介于0~1的a、b，则A总体 = 90a + 40(1 − a)，B总体 = 80b + 30(1 − b)。采用相同占比时，A始终领先10%p；但当A的简单题占比为10%、B为90%时，总体成功率变为A 45%、B 75%。各难度内的差值和总体差值回答的是不同问题。这是为两种方法分配不同题目构成的虚构数据，仅凭这些数据无法确定哪种方法是实际成功的原因。实际比较时，还应考察如何划分组别，以及构成差异为何产生。

进一步了解原理 · Williams College：加权平均与辛普森悖论（PDF）

亲自追踪热量的传递后

传递的热量包含输入能量和从低温侧吸收的热量。即使传递的热量超过耗电量，也没有凭空创造能量。

可逆Carnot热泵的理想极限为制热COP = T_高 ÷ (T_高 − T_低），制冷COP = T_低 ÷ (T_高 − T_低）。温度必须用摄氏温度加273.15后的绝对温度K计算。传给高温侧的热量 = 从低温侧吸收的热量 + 输入的功，两种COP之差始终为1。假设两侧均为吸放热后温度仍保持不变的热库，且电能全部转化为功。这是不考虑实际设备的摩擦、压缩损失、换热所需温差等因素的理论上限，不能用显示值预测实际空调或供暖设备的性能与费用。

进一步了解原理 · OpenStax：热力学与热泵的主要公式

亲自选择电极后

标准还原电势较低的一侧，金属失去电子；较高的一侧，金属离子接受电子。外电路中的电子从氧化极流向还原极。

理想原电池的标准电压为还原极的标准还原电势 − 氧化极的标准还原电势。按自发反应方向显示电压大小；若金属相同且离子活度相同，则没有电势差。假设温度为25°C，金属为纯固体，各M²⁺离子的活度为1，并以标准氢电极为基准进行比较。表中电势均四舍五入至小数点后三位。最大电功的大小为nFE，其中n = 2mol电子/mol反应，F = 96,485.33212C/mol，结果以kJ/mol表示。不考虑实际电池中的浓度变化、内阻、过电势和副反应。电压不同于表示储存电荷量的容量，仅凭该值无法得知实际输出功率或使用时间。

进一步了解原理 · OpenStax：电极电势与电池电压 · 标准半电池电势表

亲自改变光的方向后

进入折射率较大的介质时，光向法线偏折。进入折射率较小的介质时，光偏离法线；超过临界角时会发生全反射。

用斯涅尔定律n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂计算折射角。只有n₁大于n₂时，才存在临界角θc = asin(n₂/n₁)。入射角等于临界角时，折射角为90°，是沿界面的极限方向；只有大于临界角才会发生全反射。“无全反射条件”表示两种介质的折射率关系不允许发生全反射。假设两种介质透明且均匀，界面平整，折射率固定，不考虑实际折射率对波长和温度的依赖。本体验比较光的方向，不计算部分反射光的强度、偏振或吸收。选择相同折射率时，光的方向不变，也不显示界面反射。

进一步了解原理 · OpenStax：折射与斯涅尔定律

亲自跨越收入税档后

平均税率是税额占全部收入的比例，边际税率是适用于下一笔新增收入的税率。两者回答的是不同问题。

分档累进税将各档内的收入部分 × 该档税率后相加。收入为400单位时，最初200的税额为0，接下来200的税额为20，总计20单位。此后新增部分适用20%的税率，因此分界点的边际税率按“下一笔新增收入”显示。本模型所有税档的税率均低于100%，因此增加收入也会增加税后收入，不会在跨档瞬间出现税后收入下降。仅使用虚构应税收入和虚构税率，不考虑扣除、税额抵免、福利补助和其他税种。本体验用于比较分档征税的原理，并非计算实际税额或到手收入的工具。

进一步了解原理 · IRS：按税档对应收入部分征税的原理

亲自比较两种波后

传播距离越远，较快的P波与较慢的S波到达时间差越大。需要结合这一时间差和两种速度，才能求得距离。

传播相同距离d时，到达时间差Δt = d/vS − d/vP，因此d = Δt ÷ (1/vS − 1/vP)。本体验假设两种波在均匀固体中，沿相同直线路径以恒定速度传播。震源距离是观测站到地下地震发生点的距离，并非地图上量取的到震中的地表距离。P波、S波时间是以发生时刻为0的模型传播时间。“时间差1秒对应的距离”是距离换算系数，不同于某一种波的速度。不考虑实际地球内部各层的速度变化、折射和不同路径；求取震源方向与位置需要多个观测站的记录和更详细的模型。本体验不预测地震发生。

进一步了解原理 · USGS：利用地震波及到达时间定位地震

亲自改变存储规则后

缓存的效果不仅取决于存储槽数量，还取决于替换规则和请求顺序。逐步观察同一组请求的数据如何被保存。

FIFO保持进入顺序，即使命中缓存也不改变顺序。LRU会将命中的数据移至最近使用的位置。当数据不在缓存中且存储槽已满时，按各自规则替换最旧的数据。对于这组请求，FIFO的未命中次数从3个槽时的9次，增加到4个槽时的10次，这称为Belady异常。同样使用4个槽时，LRU未命中8次。仅凭这一结果，不能说FIFO始终较差，或LRU对所有请求都更好。命中率为命中次数 ÷ 已处理请求数，请求数为0时不定义命中率。这是将每个编号视为一份大小相同数据的替换原理模型，不计算实际浏览器缓存的有效期、通信时间、容量或写入成本。

进一步了解原理 · MIT：FIFO、LRU与内存替换

亲自改变模型复杂度后

即使模型经过所有观测点，也可能偏离其他基准点更远。请同时查看拟合点的误差和另行比较的点的误差。

观测x为−1、−0.6、−0.2、0.2、0.6、1，在y = 3 + 2x上加上扰动倍数 × [0.2, −0.2, 0.3, −0.3, 0.2, −0.2]。通过最小化这六个点的误差平方和拟合多项式。基准x是从−0.95到0.95、间隔为0.1的二十个点，基准y为无扰动的3 + 2x。本体验比较的是已知生成原理的虚构数据上的基准误差，基准点并非实际单独采集的观测数据。5次模型可以经过全部六个受扰动的观测点，但可能在点之间大幅弯曲，导致基准误差增加。这并不意味着复杂模型总是不好，或简单模型总是好；扰动为0时，三个模型都拟合同一条直线。这些数值不能保证实际未知的未来结果的误差。

进一步了解原理 · scikit-learn：欠拟合与过拟合

亲自改变物种占比后

即使物种数相同，当占比集中在少数物种上时，分布的多样性也会降低。物种数和占比的均匀程度是不同的特征。

设物种占比为p，则香农多样性H = −Σp ln(p)，使用自然对数。exp(H)是具有相同H的均匀分布的有效物种数，并不意味着实际存在小数个物种。均匀度显示为H ÷ ln(物种数) × 100，所有物种占比相同时为100%。在4种情况下，第一个物种占25%时，各物种均占25%；第一个物种占70%时，其余各占10%。滑块以5%为步长，因此无法选择3种时精确均分的占比⅓。这里只比较占比均为正数的理想分布，不涉及样本量、观测误差或物种间关系。较高的指标并不总意味着生态系统健康，还需另行考察物种身份、稀有性和保护价值。

进一步了解原理 · Hokkaido University：多样性指标

亲自调整作业时间后

决定完成时刻的最长作业路径称为关键路径。只缩短较短路径上的作业，整体完成时刻可能不变。

整体完成时间为 2 + max(B + D, C + E) + 1。“作业时间总和”是六项作业时间相加的值，两条路径同时进行，因此它与实际经过的时间不同。每条路径的时差等于较长路径的时间减去该路径的时间，即使延迟这么久，也不会推迟整体完成。默认情况下，下方路径为 8 分钟，上方路径为 7 分钟，因此上方路径有 1 分钟的时差。两条路径时间相同时，两者都是关键路径，只缩短其中一条，仍需等待另一条。缩短作业时间时，关键路径本身也可能改变。这是一个假设不同团队不共享资源、各项作业时间确定的依赖关系模型，给出的是不考虑人员冲突、作业中断和时间不确定性的最早完成时间。

进一步了解原理 · MIT：关键路径法(PDF)

亲自调整溶解上限后

一定条件下能溶解的量有上限。加入量超过上限时，剩余固体不会溶解；冷却使上限降低时，部分溶质会重新析出为固体。

最大溶解量 = 溶解度 × 水的质量 ÷ 100，溶解量 = min(加入量, 最大溶解量)，剩余固体 = 加入量 − 溶解量。显示的比例为已溶解固体的质量 ÷ 水的质量 × 100，不同于以溶液总质量为基准的质量百分比。假设经过足够长的时间，在各条件下均达到溶解平衡。溶解量达到最大溶解量即为饱和，并非只有存在剩余固体时才饱和。不考虑水的蒸发、过饱和、溶解速率和溶解热。这是一种设定为溶解度随温度升高而增加的虚拟物质，并非所有固体都遵循这一关系。

进一步了解原理 · OpenStax：溶解度与饱和溶液

亲自调整变化快慢后

相同的磁场变化若发生在更短时间内，平均感应电压的大小就更大。反转变化方向，电压的正负号也会改变。

磁通量是综合考虑面积和方向后，描述穿过线圈平面磁场的量。在均匀磁场中，Φ = BAcosθ。θ 是垂直于线圈平面的法线与磁场的夹角。根据法拉第定律，平均感应电动势 ε = −NΔΦ ÷ Δt，其中 N 为匝数。1mWb 等于 0.001Wb。正负号以选定的法线和绕线方向为基准，负值不表示电压的大小较小。楞次定律中的负号表示阻碍磁通量变化的方向。假设线圈各匝的面积和所处磁场相同，不考虑随时间变化的具体波形、线圈电阻及自感。不计算实际电流或功率，只比较指定时间段内的平均电压。

进一步了解原理 · OpenStax：磁通量 · 法拉第定律与楞次定律

亲自补上遗漏的成本后

如果存在交易双方不承担的损害成本，市场产量可能不同于使全社会净收益最大的产量。

外部成本是未直接参与交易的第 3 方承担的成本。社会边际成本 = 私人边际成本 + 边际外部成本。在竞争市场中，只反映私人成本的产量为 q = 120 − 私人成本；计入外部成本、使整体净收益最大的产量为 q = 120 − 私人成本 − 外部成本。在两种产量之间，社会成本大于新增收益，净收益损失为三角形面积，即 ½ × 产量差 × 边际外部成本。全部生产造成的外部损害总额与这项损失是不同的值。这是仅考虑生产负外部性的连续数量模型，不考虑污染实际损害的估算、市场支配力、政策执行成本和正外部性。使用虚拟商品和成本单位进行比较，不能用来预测实际监管或税收的效果。

进一步了解原理 · OpenStax：污染与外部成本经济学

亲自调整反射比例后

反射越多，吸收的能量就越少，辐射出同等能量时的平衡温度也越低。摄氏温度与吸收量并不成正比。

整颗行星在所有波长上反射阳光的比例称为 Bond 反照率 a。全表面积平均吸收量 = S(1 − a) ÷ 4，黑体辐射发射量 = σT⁴，两者相等时的温度为 T = [S(1 − a) ÷ (4σ)]^¼。采用 S = 1,361W/m²、σ = 5.670374419 × 10⁻⁸W/(m²·K⁴)，摄氏温度为 T − 273.15。这是一个将整颗球形行星视为同一温度、仅吸收太阳辐射且热辐射发射率为 1 的简化模型。不考虑大气与温室效应、昼夜和纬度间的温差、冰与云的反馈及达到平衡所需的时间。显示的温度不是实际地球表面温度，也不是对特定地区气候的预测。

进一步了解原理 · NASA：地球能量收支 · 太阳辐射与地球数值资料

亲自选择字符后

韩文“가”是一个码点，但用 UTF-8 存储时占 3 字节。字符计数与存储大小计量采用不同的标准。

Unicode 码点是区分字符的编号，UTF-8 是将每个 Unicode 标量值存储为 1~4 字节的编码。JavaScript 的字符串长度是 UTF-16 代码单元数，一个笑脸表情符号 😊 使用 2 个代码单元。扩展字素簇是一种 Unicode 边界标准，可将组合重音符和连接表情符号等多个码点归为一组。é(U+00E9) 与 e + 组合重音符(U+0065 U+0301) 看起来相似，但存储的码点不同，UTF-8 大小分别为 2 字节和 3 字节。本体验比较六个固定示例，不对输入进行规范化，也不分割任意字符串。屏幕上呈现的图形数量与 Unicode 字符簇数量并不总是相同。不计入文件头、编码标记和压缩大小。

进一步了解原理 · Python 官方文档：Unicode 与 UTF-8 · Unicode：字素簇边界

亲自调整连接后

在中间各点，进入与离开的道路成对出现。要让每条路恰好经过一次，必须同时考虑连通状态和奇数度顶点的数量。

与一个点相连的道路数称为图中该顶点的度。当所有有道路连接的点彼此连通时，若奇数度顶点有 0 处，就存在从同一点出发并返回的欧拉回路；若有 2 处，就存在以这两个点为起点和终点的开放欧拉路径。奇数度顶点更多时，就无法每条路恰好经过一次而走完全程。如果有道路连接的点之间不连通，即使所有顶点的度都是偶数，也无法一次走完全程。没有道路连接的孤立点不计入连通条件。本体验的道路是无方向和通行限制的虚拟图，不计算图中道路的长度、距离或实际道路上的最优行进路线。

进一步了解原理 · MIT：图与欧拉路径(PDF)

亲自调整重合数量后

如果标记个体已在总体中充分混合，就认为第二次观察中遇到标记个体的比例与总体的标记比例相近。

Lincoln–Petersen 点估计为总个体数 N̂ = M × C ÷ R。它来自总体标记比例 M/N 与第二次观察标记比例 R/C 相近的关系。直接确认的不同个体数为 M + C − R，与总体估计值不同。R 为 0 时无法用此公式估计；R 较小时，即使重合数量只差几只，估计值也会大幅波动。假设两次观察之间种群封闭，无出生、死亡和迁移，个体充分混合，标记保持完好且识别准确，各个体被捕获的概率相同，标记后行为不变。不计算小样本的偏差校正或置信区间。这是帮助理解虚拟观察数量关系的体验，不是实际动物捕获、标记方法或实际种群数量的指导资料。

进一步了解原理 · 怀俄明大学：标记重捕与种群数量估计

亲自移动相机后

相机到前后物体的距离比决定了两物体的投影大小比。在同一位置只改变焦距，两者宽度会一起改变，比例保持不变。

理想针孔投影中，像平面上的宽度 w′ = f × w ÷ z。f 为焦距，w 为实际宽度，z 为相机到物体的距离。实际宽度相同的两物体，其投影宽度比为远处物体距离 ÷ 近处物体距离 = (d + 间距) ÷ d，焦距在公式中约去。相机越往后移，该比例越接近 1。改变焦距时，若为保持相同构图而同时移动拍摄位置，位置变化就会产生透视差异。上方布局图展示相机与物体的距离关系。条形图的 36mm 刻度是比较投影宽度的固定基准。这是物平面与像平面平行的几何模型，不计算镜头畸变、失焦模糊、景深或脸部形状变化。

进一步了解原理 · MIT 教材：成像与针孔投影 · 哥伦比亚大学：透视投影几何

亲自调整光通过的条件后

浓度与通过距离的乘积决定吸光度。即使吸光度加倍，透过光的比例也不一定减半。

Beer–Lambert 定律为吸光度 A = ε × 浓度 c × 光程长度 l = −log₁₀(透过光 ÷ 入射光)。本体验中，透射率按 100 × 10⁻ᴬ % 计算，透过光量按入射光 × 10⁻ᴬ 计算。吸光度是对数值，不同于被吸收光的百分比。A 从 0.5 增至 1 时，透射率约从 31.623% 降至 10%。浓度和距离不变、仅将入射光减半时，透过光与被吸收光都减半，但透射率和吸光度不变。浓度为 0 时，此模型中的光全部透过。这是理想线性吸光模型，假设单色光穿过均匀溶液，不发生反射、散射和发光，不考虑容器与溶剂的吸收。它不是用于测量实际物质浓度或预测特定液体透明度的工具。

进一步了解原理 · IUPAC：Beer–Lambert 定律

亲自调整碰撞条件后

如果施加于两物体的外部冲量为 0，碰撞前后的总动量相同。动能是否守恒需要另行考察。

总动量 p = m₁v₁ + m₂v₂，动能为 ½m₁v₁² + ½m₂v₂²。两物体相互接近时，碰撞后速度由 v₁′ = [p − m₂e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂)、v₂′ = [p + m₁e(v₁ − v₂)] ÷ (m₁ + m₂) 确定。e 为碰撞后相互远离的相对速率 ÷ 碰撞前相互接近的相对速率。e = 1 时动能守恒；e = 0 时，两物体以 p ÷ (m₁ + m₂) 的相同速度运动。一起运动并不意味着一定静止。减少的动能转化为形变、热、声音等其他形式，并不表示总能量消失。这是无外部冲量的一维理想碰撞，不计算摩擦、转动、碰撞时间和形变过程。两物体间距保持不变或增大时，不应用碰撞事件。

进一步了解原理 · 佛罗里达大学：两物体碰撞(PDF)

亲自调整计票方式后

相对多数制只看第一偏好，博尔达计分制则为所有排名赋分。即使偏好相同，胜者也可能因汇总内容不同而改变。

相对多数制给每个人的第 1 偏好候选人一票。博尔达计分制为第 1 偏好 2 分、第 2 偏好 1 分、第 3 偏好 0 分，因此 A = 2a + c，B = a + 2b，C = b + 2c。前两名决选制先比较第 1 偏好票数，若有候选人获得过半数票（超过总票数的一半），则直接获胜。若无人过半且能确定前两名，每个人就在剩余两名候选人中给自己更偏好的一方一票。若因第二名并列而无法选出两人，则显示“需要补充规则”，不任意决定。相对多数制、博尔达计分制及最终决选中，最高值相同均显示为平票。默认偏好下，相对多数制由 A 以 40 票获胜，博尔达计分制由 B 以 110 分获胜，决选由 A 以 65 票获胜，胜者随方式改变。这里使用的都是虚拟的完整偏好，不涉及实际选举规则、策略性投票、弃权或不完整排名。这并不意味着某一种方式在所有情况下都最好。

进一步了解原理 · OpenStax：投票方式

亲自调整水流通道条件后

水头差相同时，越容易透水的介质层，水流越多；通过距离越长，单位距离上的水头差越小。

Darcy 定律中，水力梯度 i = Δh ÷ L，以总截面为基准的流速 q = K × i，流量 Q = q × 截面积。q 以包含固体的整个截面为基准，而非仅以水实际流过的孔隙为基准。采用有效孔隙率 nₑ = 0.3 时，孔隙内平均速度为 q ÷ nₑ，此处约为 Darcy 流速的 3.333 倍。水头差为 0 时，此模型中的流量为 0；只将 K 加倍，流量也会加倍。固定两端水头差，将距离加倍，水力梯度与流量均减半。这是完全饱和、均匀介质层中的稳定流动，水的性质、截面积和孔隙率保持不变。K 是为比较而选用的虚拟值，并非特定土壤或岩石的测量值。不预测非饱和土壤中的雨水入渗、实际地下水到达时间、污染物迁移或地基安全性。

进一步了解原理 · USGS：地下水水力学(PDF) · USGS：孔隙与地下水流动

亲自调整执行顺序后

即使代码让两者各加一次，也可能因共享值的读写顺序而丢失一次加法。

如果 A 和 B 都读到 10，就会各自准备写入 11。即使两者依次写入 11，最终值仍为 11，因此丢失了一次更新。这称为丢失更新。如果用同一把锁保护读取、计算、写入的整个过程，先开始的一方完成后，另一方才会读取新值，最终值就会变为 12。只锁住写入操作，无法解决此前读到旧值的问题。目标 12 是两次加法都完成后的值，并非中间步骤的正确答案。在两者都只完成读取的阶段，共享值尚未改变，也尚未发生丢失更新。本体验是展示操作顺序的模型，不会运行真实的浏览器线程，也不涉及多台计算机之间的同步或死锁。

进一步了解原理 · OSTEP：线程与共享值(PDF) · OSTEP：锁(PDF)

亲自改变检验次数后

即使每次检验的错误阈值很小，多次检验中至少出现一次假阳性的概率仍可能增大。

设单次检验的假阳性概率为 p，检验次数为 m，则在所有原假设均成立、各检验相互独立的情况下，至少出现一次假阳性的概率为 1 − (1 − p)ᵐ。平均假阳性次数为 mp。不进行校正，将阈值 α = 5% 用于 20次检验时，整体概率约为 64.15%。Bonferroni 校正将每次检验的阈值降至 α ÷ m，使整体错误率不超过 α。这一上限保证不要求各检验相互独立，但此处显示的精确概率以独立性为前提。整体概率与平均次数是不同的量。本体验不生成检验结果或实际 p 值，p 值也不表示原假设成立的概率或效应存在的概率。更严格的阈值可能使微小差异更难被发现，实际研究还需要考虑假设的分组及检验之间的关系。

进一步了解原理 · MIT：多重检验的错误概率(PDF) · NIST：Bonferroni 原理

亲自改变 RNA 的一个字母后

多个密码子可能编码同一种氨基酸，因此改变一个字母是否会改变氨基酸，取决于具体密码子。

密码子是 RNA 中连续的三个碱基。按照标准遗传密码表（表 1），GAA 和 GAG 都编码 Glu，因此这种变化不改变氨基酸序列，属于同义变化。GUA 编码 Val（缬氨酸），属于错义变化；变为 UAA 则属于使终止信号提前的无义变化。如果第二个密码子是终止密码子，生成一个 Met 后翻译就结束，后面的 UUC 不再被翻译。如果填入原来的字母，则归为无变化。起始位置和每三个字母一组的阅读框保持固定，不涉及字母的插入或删除。不同生物和细胞器的密码子表存在例外，同义变化也不意味着在真实生物中总是没有任何影响。这是用于观察短合成 RNA 翻译原理的模型，不能用于判断实际基因或疾病的影响。

进一步了解原理 · NCBI：标准遗传密码表 · OpenStax：密码子与遗传密码

亲自改变拍摄条件后

光圈和快门时间改变入射光量，ISO 则改变模型对这些光的亮度响应。即使亮度相同，运动轨迹也可能不同。

在其他条件相同时，光量与快门时间成正比，与光圈值的平方成反比。从 f/4 开大到 f/2，光量变为四倍；从 1/200秒缩短至 1/800秒，光量变为 ¼ 倍，因此同时改变这两项时，接收的光量与基准相同。由于时间缩短，运动轨迹长度为 ¼ 倍。在 f/8 下将 ISO 改为 400，接收的光量虽为 ¼ 倍，模型亮度却与基准相同。亮度差 +1档表示两倍，−1档表示一半。模型亮度采用与 ISO 成正比的线性增益，不模拟高光达到上限而被截断的现象，也不模拟实际照片的色调处理、测光和噪点。运动轨迹是匀速移动的点留下的相对长度，不能用于评价相机抖动或整体清晰度。模型也不包含镜头透光率差异、景深及自动曝光。

进一步了解原理 · Nikon：光圈、快门与曝光基础 · Nikon：ISO 感光度

亲自改变酸的量后

共轭碱接纳加入的 H+ 并转变为弱酸，可减小 pH 的变化。但能接纳酸的配对成分的量是有限的。

首先按化学计量计算 A− + H+ → HA 的反应。共轭碱接纳多少 H+，A− 就减少多少，HA 就增加多少。图中的量按中和量计算，并非考虑微量酸解离及水的平衡后的精确离子量。Henderson–Hasselbalch 近似公式为 pH ≈ pKa + log₁₀(A− ÷ HA)。比例相同的两种溶液，其初始近似 pH 相同，但弱酸和共轭碱较多的一方，接纳同量强酸时 pH 变化更小。本体验仅在计算后 A− 剩余量不少于 10mmol，且 A− ÷ HA 为 0.1~10 时显示近似值。超出范围时标为“超出近似范围”，并不表示实际 pH 不存在或为 0。共轭碱全部耗尽后，会显示剩余强酸的量，但不再用此公式继续计算 pH。这是弱酸与共轭碱完成化学计量反应后适用的理想溶液近似，不计算精确的酸解离平衡、离子活度及体积变化。

进一步了解原理 · OpenStax：缓冲溶液与缓冲容量

亲自改变施力位置后

力矩不仅取决于力的大小，还取决于到支点的距离及力的方向。

力矩大小为 τ = rF sin θ。r sin θ 是从转轴到力的作用线的垂直距离，即力臂。将相同的力在两倍距离处垂直施加，力矩变为两倍；倾斜至 30° 时，在距离和力相同的情况下，力矩变为一半。在与杆平行的 0°、180° 方向，力矩为 0，因此仅靠右侧力无法抵消左侧力矩。“平衡力”是所需力的计算值，可能超过 10~40N 的可调范围。合力矩为 + 时，最初有使杆逆时针转动的作用；为 − 时，则有使杆顺时针转动的作用。0 表示本模型达到转动平衡，并不表示自由物体所受的所有力都已平衡。支点固定，通过反作用力限制杆的平移。假设杆为无重量的刚性杆，初始静止，且无转动摩擦，不计算随时间变化的运动。力矩单位 N·m 不转换为表示能量的 J。

进一步了解原理 · OpenStax：力矩与力臂 · OpenStax：力与力矩的平衡

亲自改变付款规则后

即使是同一个人中标，支付自己的出价还是次高出价，也会使支付值不同。

最高出价唯一时，两种规则都由该出价者中标。在第 1 价格密封拍卖中，中标者支付自己的出价；在第 2 价格密封拍卖中，则支付其他参与者中的最高出价。未中标者支付 0分。A 中标时的净收益为 80 − 支付值，未中标时为 0。如果 A 出价 90分，并按第 1 价格中标，净收益可能为 −10分。最高出价并列时，不会随意指定获胜者，而是将支付值和净收益标为“未定”。模型使用一件物品、一次出价及虚拟估值和分数，不设最低成交价，也没有参与费或手续费。不计算参与者的策略选择、信息差异，或适用于所有拍卖的最优策略。

进一步了解原理 · MIT：拍卖的付款规则与策略(PDF)

亲自改变轨道条件后

中心质量相同时，圆轨道越远，速度越小，绕行一圈所需时间越长。

在圆轨道中，若引力提供向心力，则周期 T ∝ √(r³ ÷ M)，速度 v ∝ √(M ÷ r)。这里使用以 AU 为单位的半径 r 和以太阳质量为单位的 M，归一化为 T = √(r³ ÷ M)模型年，相对于基准的速度 = √(M ÷ r)倍。质量相同时，半径加倍，周期变为 √8倍，速度变为 1 ÷ √2倍。半径相同时，中心质量加倍，周期变为 1 ÷ √2倍，速度变为 √2倍。累计圈数为时间 ÷ 周期，当前角度表示其中一圈内的位置。假设中心恒星的质量远大于公转物体的质量，且轨道为圆形。各项设置用于比较不同的可能轨道，不模拟航天器瞬间改变轨道。恒星的图示大小固定，并不表示根据质量计算了实际恒星半径。不计算椭圆轨道、多天体相互作用或实际行星位置。

进一步了解原理 · OpenStax：引力与公转周期

亲自改变表的匹配关系后

连接会将相同键的行全部配对。右表的键重复时，左表的一行可能变为结果中的多行。

INNER JOIN 将相同键所对应的所有行配对放入结果。没有匹配的左表行和右表行都会被排除。LEFT JOIN 也放入所有配对，但对于每个完全没有匹配的左表行，还会添加一行，并将右侧值设为 NULL。因此，LEFT JOIN 会保留左表数据，但不表示结果始终与左表一样为 3行。右表 A 有两行时，左表 A 会匹配两次。键不同的 D、E 不会与左表的 A、B、C 匹配。本界面比较小型固定表，不连接实际数据库。为便于说明，行顺序按左表和右表的顺序固定；实际 SQL 中若要保证顺序，需要使用 ORDER BY。

进一步了解原理 · PostgreSQL：表连接 · PostgreSQL：SELECT 与连接表

亲自将面积分块后

曲线下面积可以通过小区间的面积相加来近似。即使分块数相同，采用的高度不同，也会造成差异。

分块数为 n 时，宽度为 Δx = 2 ÷ n。矩形法将所选位置的 x² × Δx 相加，梯形法将两端高度的平均值 × Δx 相加。这条曲线下的精确面积为 ∫₀² x² dx = 8 ÷ 3。这里使用递增且向上弯曲的凸函数 x²，因此左端点法和中点法偏小，右端点法和梯形法偏大。这一关系不能直接套用于所有函数。显示值四舍五入保留三位小数，计算使用舍入前的值。未规定 y 的实际物理单位，也不将 x² 在 [0, 2] 上的面积解释为概率。若要作为概率密度函数处理，还需另外确认总面积为 1 等条件。

进一步了解原理 · OpenStax：用小块面积之和近似面积 · OpenStax：中点法与梯形法积分

亲自改变大小和分割数量后

球变大时，体积按半径的三次方增长，表面积按平方增长。将相同总体积分成小球，会增加新的表面。

球的表面积为 4πr²，体积为 4πr³ ÷ 3，表面积/体积为 3 ÷ r。将半径为 R 的球的体积分成 N 个相同的球，小球半径为 R ÷ ∛N，总表面积为原来的 ∛N 倍。分成 8个时，表面积为 2倍；分成 64个时，为 4倍。分割时仅保持总体积不变，并假设新表面形成后，每个球的表面都独立暴露。图示并非将小球无缝填装在原球内，也不模拟实际的细胞分裂过程。这个模型用于理解可进行交换的表面积与正比于体积的内部需求之间的关系。实际细胞的形状、膜褶皱、运输系统及代谢率各不相同，因此不能仅凭这个比值预测交换速率或可存活的大小。小数显示值经过四舍五入，计算使用舍入前的值。

进一步了解原理 · OpenStax：细胞的表面积与体积

亲自改变换行规则后

尽量填满前行的选择，未必能使整体成本最小。还需要一起比较后续各行的留白。

前行优先排版会持续填充当前行，直到下一个单词放不下时才换行。最小成本排版则比较可能的换行方式，找到剩余宽度的平方和或立方和最小的结果。本体验将末行成本设为 0，同一行的单词间仅放置 1单位的空格。保持单词顺序，不允许省略、重复或拆分单词。宽度为 6 时，若首行为“one of”，下一行“us”的剩余宽度为 4，平方成本为 16。若分为“one”和“of us”，成本则降为 9 + 1 = 10。最小成本相同时，优先选择行数较少的排版；行数也相同时，显示前行单词更多的排版。因此可能仅展示多种最优排版中的一种。这是采用等宽短英文单词的虚拟成本模型，不评价实际文字的美观或可读性。不计算比例字体、韩文标点、不同语言的换行规则及连字符断词。

进一步了解原理 · MIT：比较整体成本的换行

亲自改变温度和空间后

等量理想气体的绝对温度越高、体积越小，压力就越高。关键在于哪些条件保持不变。

理想气体状态方程为 PV = nRT。这里 n = 0.1mol，R = 8.314462618J/(mol·K)，体积使用 L、压力使用 kPa 时，kPa × L = J。压力由 nRT ÷ V 求得，温度始终使用绝对温度 K。摄氏温度仅通过 K − 273.15 换算后显示，不用于比例计算。只有温度不变时，压力 × 体积才保持不变；提高温度，这个乘积也会增大。两幅气体图使用相同的体积刻度和相同数量的代表点。这些点不模拟实际粒子数量或碰撞过程。该理想气体模型忽略分子间作用力及粒子自身的体积，因此不预测实际气体的高压状态、液化或相变。显示数值经过四舍五入，计算使用舍入前的值。

进一步了解原理 · OpenStax：理想气体的压力、体积与温度 · OpenStax：气体分子运动模型