三扇门中，一扇门后是汽车，另外两扇门后是山羊。我选了1号门，知道答案的主持人打开3号门，露出一只山羊，然后问道：“要换成2号门吗？”剩下两扇门，感觉怎么选都是一半对一半，但实际上换门的胜算要高一倍。展示这种直觉与正确答案相冲突的著名谜题，正是蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）。
简单来说，蒙提霍尔问题是条件概率的代表性问题，它问的是“得到新信息时，应该如何重新计算概率”。这个名字来自1963年开播的美国电视游戏节目《我们来做个交易》（Let’s Make a Deal）的主持人蒙提·霍尔。
本文将依次介绍蒙提霍尔问题的规则、换门更有利的原因、众多专家都答错的争论，以及这个谜题带给日常生活的启示。
蒙提霍尔问题的答案与错觉的根源
什么是蒙提霍尔问题？
这个问题最早由美国统计学家史蒂夫·塞尔文（Steve Selvin）于1975年在寄给学术期刊《美国统计学家》（The American Statistician）的信中提出。他在随后寄出的第二封信中，为它取名为“蒙提霍尔问题”。要让正确答案成立，主持人遵守的规则必须明确。
- 主持人知情（Host Knowledge）：主持人知道汽车在哪扇门后面。
- 一定开门（Always Opens a Door）：主持人一定会在参赛者没有选的门中打开一扇。
- 只露出山羊（Always Reveals a Goat）：主持人绝不会打开有汽车的那扇门。
- 提供换门机会（Always Offers a Switch）：主持人总是给参赛者换到剩下那扇门的机会。
（1）更古老的孪生谜题
在此之前，就已经有与蒙提霍尔问题在数学上相同的谜题。1959年，马丁·加德纳（Martin Gardner）在《科学美国人》（Scientific American）的专栏中介绍了三名囚犯中只有一人获得赦免的“三囚犯问题”。再往前追溯，1889年法国数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand）提出的“贝特朗箱子悖论”也涉及同样的错觉。
换门后胜率变成三分之二的原因
最初选1号门时，汽车在这扇门后的概率是三分之一，在其余两扇门中某一扇后的概率是三分之二。即使主持人打开一扇有山羊的门，这一事实也不会改变。因为主持人知道答案，是特意挑了有山羊的门打开的，所以关于最初所选的那扇门，并没有产生任何新信息。结果，原本分布在其余两扇门上的三分之二概率，完整地集中到了那扇仍然关着的门上。
（1）分三种情况来看
如果汽车在1号门后，换门就会输。如果汽车在2号或3号门后，主持人会打开剩下那扇有山羊的门，所以换门必定会赢。三种情况中赢两次，因此换门的胜率是三分之二。
（2）如果有一百万扇门
玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）建议大家想象一下有一百万扇门的情形。我选了一扇门之后，如果主持人避开汽车，把其余的门都打开，只留下一扇，那么任何人都能轻易感觉到换到剩下那扇门更好。
连天才也答错的蒙提霍尔之争
这个问题广为人知，要归功于1990年9月美国杂志《Parade》的问答专栏“问问玛丽莲”（Ask Marilyn）。沃斯·莎凡特回答换门更有利后，约有1万封信蜂拥而至，其中近1,000封来自拥有博士学位的人。他们大多坚称她的答案是错的。
【案例1】看了电脑模拟才接受的数学家
被誉为史上发表论文最多的数学家之一的保罗·埃尔德什（Paul Erdős），起初也不相信这个答案。据说，他是在看到用电脑反复进行无数次游戏的结果后，才接受了换门更有利这一事实。
【案例2】比人更聪明的鸽子
2010年美国的一项研究让鸽子反复玩蒙提霍尔游戏。随着经验积累，鸽子几乎每次都选择换门，而接受同样任务的人直到最后都没能做出最佳选择。在另一项以人为对象的研究中，228名参与者中也只有13%换了门。
主持人的规则改变答案
蒙提霍尔问题的关键在于，开门的人知道答案。如果主持人在不知道答案的情况下随便打开一扇门，碰巧露出了山羊，那么无论换不换门，获胜的概率都是一半对一半。即使是同样的场景，概率也会随着信息产生的过程而改变。
（1）实际节目并非如此
1991年，蒙提·霍尔本人在接受《纽约时报》（The New York Times）采访时，表明自己完全理解这个问题。不过他补充说，在实际节目中，他并不受这些规则约束，而是利用参赛者的心理来主导游戏，所以这一计算并不能直接套用。
（2）日常生活中的启示
得到新信息时，首先要弄清这条信息是由谁、按照什么规则筛选出来的。舍不得放弃最初选择的心理，很容易让判断变得模糊。
蒙提霍尔问题告诉我们，剩下两个选项，并不意味着概率总是一半对一半。这个连聪明人都会答错的谜题提醒我们，直觉是多么容易忽略信息的来源。
与其只看眼前的结果，不如追问信息是怎样产生的——这正是正确解读概率的第一步。
