तीन दरवाज़ों में से एक के पीछे कार है और बाकी दो के पीछे बकरियाँ हैं। जब मैं दरवाज़ा संख्या 1 चुनता हूँ, तो सही जवाब जानने वाला संचालक दरवाज़ा संख्या 3 खोलकर एक बकरी दिखाता है और पूछता है, “क्या आप दरवाज़ा संख्या 2 चुनना चाहेंगे?” अब दो दरवाज़े बचे हैं, इसलिए लगता है कि दोनों की संभावना आधी-आधी होगी, लेकिन वास्तव में दरवाज़ा बदलने पर जीतने की संभावना दोगुनी होती है। सहज बोध और सही उत्तर के इस टकराव को दिखाने वाली प्रसिद्ध पहेली ही ‘मॉन्टी हॉल समस्या (Monty Hall Problem)’ है।
सरल शब्दों में, मॉन्टी हॉल समस्या सशर्त प्रायिकता की एक प्रमुख समस्या है, जो पूछती है कि ‘नई जानकारी मिलने पर प्रायिकता की दोबारा गणना कैसे करनी चाहिए।’ इसका नाम 1963 में शुरू हुए अमेरिकी टेलीविज़न गेम शो ‘आइए सौदा करें (Let's Make a Deal)’ के संचालक मॉन्टी हॉल के नाम पर रखा गया।
इस लेख में हम क्रम से मॉन्टी हॉल समस्या के नियम, दरवाज़ा बदलना अधिक फ़ायदेमंद होने का कारण, वह विवाद जिसमें अनेक विशेषज्ञ गलत साबित हुए, और इस पहेली से रोज़मर्रा के जीवन में मिलने वाली सीख पर नज़र डालेंगे।
मॉन्टी हॉल समस्या का सही उत्तर और भ्रम की जड़
मॉन्टी हॉल समस्या क्या है?
यह समस्या पहली बार 1975 में अमेरिकी सांख्यिकीविद् स्टीव सेल्विन (Steve Selvin) द्वारा ‘द अमेरिकन स्टैटिस्टिशियन (The American Statistician)’ पत्रिका को भेजे गए एक पत्र में प्रस्तुत की गई थी। इसके बाद भेजे गए दूसरे पत्र में उन्होंने इसे ‘मॉन्टी हॉल समस्या’ नाम दिया। सही उत्तर लागू होने के लिए संचालक द्वारा पालन किए जाने वाले नियम स्पष्ट होने चाहिए।
- संचालक का ज्ञान (Host Knowledge): संचालक जानता है कि कार किस दरवाज़े के पीछे है।
- हमेशा एक दरवाज़ा खोलना (Always Opens a Door): संचालक उन दरवाज़ों में से एक को अवश्य खोलता है जिन्हें प्रतिभागी ने नहीं चुना है।
- हमेशा बकरी ही दिखाना (Always Reveals a Goat): संचालक कार वाला दरवाज़ा कभी नहीं खोलता।
- बदलने का अवसर (Always Offers a Switch): संचालक हमेशा बचे हुए दरवाज़े को चुनने का अवसर देता है।
(1) इससे भी पुरानी जुड़वाँ पहेलियाँ
मॉन्टी हॉल समस्या के गणितीय रूप से समान पहेलियाँ पहले भी मौजूद थीं। 1959 में मार्टिन गार्डनर (Martin Gardner) ने ‘साइंटिफिक अमेरिकन (Scientific American)’ के अपने स्तंभ में ‘तीन कैदियों की समस्या’ प्रस्तुत की, जिसमें तीन कैदियों में से केवल एक को माफ़ी मिलती है। इससे भी पहले, 1889 में फ्रांसीसी गणितज्ञ जोज़ेफ़ बर्ट्रांड (Joseph Bertrand) द्वारा प्रस्तुत ‘बर्ट्रांड का बक्सा विरोधाभास’ भी इसी भ्रम से जुड़ा है।
बदलने पर प्रायिकता 3 में से 2 क्यों हो जाती है
शुरू में दरवाज़ा संख्या 1 चुनते समय उसके पीछे कार होने की प्रायिकता 3 में से 1 होती है, जबकि बाकी दो दरवाज़ों में से किसी एक के पीछे कार होने की प्रायिकता 3 में से 2 होती है। संचालक के एक बकरी वाला दरवाज़ा खोल देने पर भी यह तथ्य नहीं बदलता। संचालक सही जवाब जानता है और जानबूझकर बकरी वाला दरवाज़ा खोलता है, इसलिए शुरू में चुने गए दरवाज़े के बारे में कोई नई जानकारी नहीं मिलती। अंततः बाकी दो दरवाज़ों में निहित 3 में से 2 की पूरी प्रायिकता उस एक दरवाज़े पर आ जाती है जो अब भी बंद है।
(1) तीन स्थितियों के आधार पर समझना
यदि कार दरवाज़ा संख्या 1 के पीछे है, तो बदलने पर हार होती है। यदि कार दरवाज़ा संख्या 2 या 3 के पीछे है, तो संचालक बचे हुए बकरी वाले दरवाज़े को खोलता है, इसलिए बदलने पर जीत निश्चित होती है। तीन स्थितियों में से दो में जीत होती है, इसलिए बदलने पर जीत की प्रायिकता 3 में से 2 है।
(2) यदि दस लाख दरवाज़े हों
मैरिलिन वॉस सवांट (Marilyn vos Savant) ने दस लाख दरवाज़ों की कल्पना करने का सुझाव दिया। मेरे एक दरवाज़ा चुनने के बाद यदि संचालक कार वाले दरवाज़े को बचाते हुए बाकी दरवाज़ों में से केवल एक को छोड़कर सभी खोल दे, तो कोई भी आसानी से महसूस कर सकता है कि उस बचे हुए दरवाज़े को चुनना बेहतर होगा।
मॉन्टी हॉल का वह विवाद जिसमें प्रतिभाशाली लोग भी गलत हुए
यह समस्या 1990 के 9वें महीने में अमेरिकी पत्रिका ‘परेड (Parade)’ के प्रश्नोत्तर स्तंभ ‘मैरिलिन से पूछें (Ask Marilyn)’ के कारण व्यापक रूप से चर्चित हुई। जब वॉस सवांट ने जवाब दिया कि दरवाज़ा बदलना अधिक फ़ायदेमंद है, तो लगभग 1 × दस हज़ार पत्र आ गए, जिनमें से करीब 1,000 पत्र डॉक्टरेट की उपाधि रखने वाले लोगों ने भेजे थे। अधिकांश ने दावा किया कि उनका उत्तर गलत है।
[उदाहरण 1] कंप्यूटर के परिणाम देखने के बाद ही मानने वाले गणितज्ञ
इतिहास में सबसे अधिक शोधपत्र लिखने वाले गणितज्ञों में गिने जाने वाले पॉल एर्डोश (Paul Erdős) ने भी शुरू में सही उत्तर पर विश्वास नहीं किया। बताया जाता है कि कंप्यूटर पर इस खेल को अनगिनत बार दोहराने के परिणाम देखने के बाद ही उन्होंने स्वीकार किया कि दरवाज़ा बदलना अधिक फ़ायदेमंद है।
[उदाहरण 2] इंसानों से बेहतर कबूतर
2010 में अमेरिका में हुए एक अध्ययन में कबूतरों से मॉन्टी हॉल का खेल बार-बार खिलवाया गया। अनुभव बढ़ने पर कबूतरों ने लगभग हमेशा दरवाज़ा बदलने का विकल्प चुना, लेकिन वही काम करने वाले इंसान अंत तक सर्वोत्तम विकल्प तक नहीं पहुँच सके। इंसानों पर हुए एक अन्य अध्ययन में भी 228 प्रतिभागियों में से केवल 13% ने दरवाज़ा बदला।
संचालक के नियम उत्तर बदल देते हैं
मॉन्टी हॉल समस्या की मुख्य बात यह है कि दरवाज़ा खोलने वाला व्यक्ति सही जवाब जानता था। यदि संचालक जवाब जाने बिना कोई भी दरवाज़ा खोलता और संयोग से उसके पीछे बकरी निकल आती, तो दरवाज़ा बदलने या न बदलने, दोनों में जीत की संभावना आधी-आधी होती। दृश्य एक जैसा होने पर भी जानकारी मिलने की प्रक्रिया के अनुसार प्रायिकता बदल जाती है।
(1) असली प्रसारण अलग था
मॉन्टी हॉल ने स्वयं 1991 में ‘द न्यूयॉर्क टाइम्स (The New York Times)’ को दिए एक साक्षात्कार में दिखाया कि वे समस्या को ठीक से समझते थे। हालाँकि, उन्होंने यह भी कहा कि वास्तविक प्रसारण में वे नियमों से बँधे बिना प्रतिभागियों के मनोविज्ञान का इस्तेमाल करके खेल चलाते थे, इसलिए यह गणना वहाँ ज्यों की त्यों लागू नहीं होती थी।
(2) रोज़मर्रा के जीवन की सीख
नई जानकारी मिलने पर पहले यह देखना चाहिए कि उसे किसने और किन नियमों के अनुसार छाँटा है। अपनी पहली पसंद को आसानी से न छोड़ पाने की प्रवृत्ति निर्णय को धुँधला कर सकती है।
मॉन्टी हॉल समस्या दिखाती है कि केवल दो विकल्प बचने का अर्थ यह नहीं है कि उनकी प्रायिकता हमेशा आधी-आधी होगी। यह पहेली, जिसमें समझदार लोग भी गलत हुए, याद दिलाती है कि सहज बोध कितनी आसानी से जानकारी के स्रोत को नज़रअंदाज़ कर सकता है।
सामने दिख रहे परिणाम से अधिक यह पूछना कि वह जानकारी किस प्रक्रिया से मिली—प्रायिकता को सही ढंग से समझने की पहली सीढ़ी यही है।
