सिक्के को दस बार उछालने पर सात बार चित आना कोई बहुत दुर्लभ बात नहीं है। लेकिन उसी सिक्के को दस हज़ार बार उछालें, तो चित आने का अनुपात आश्चर्यजनक रूप से आधे के करीब पहुँच जाता है। हर बार के परिणाम का बिल्कुल अनुमान नहीं लगाया जा सकता, फिर भी बहुत सारे परिणाम इकट्ठे होने पर उनका सम्मिलित नतीजा आश्चर्यजनक रूप से स्थिर हो जाता है। इस घटना को समझाने वाला सिद्धांत ही ‘बड़ी संख्याओं का नियम (Law of Large Numbers)’ है।
बड़ी संख्याओं का नियम प्रायिकता सिद्धांत का एक मूलभूत प्रमेय है। इसके अनुसार, समान परिस्थितियों में परस्पर स्वतंत्र परीक्षणों को जितनी अधिक बार दोहराया जाता है, वास्तव में देखा गया औसत या अनुपात उतना ही सैद्धांतिक अपेक्षित मान के करीब पहुँचता जाता है। याकूब बर्नूली ने पहली बार इसे सिद्ध किया और 1713 में प्रकाशित पुस्तक में इसे ‘स्वर्ण प्रमेय’ कहा। आज बीमा प्रीमियम की गणना से लेकर जनमत सर्वेक्षण और कैसीनो संचालन तक, संख्याओं के माध्यम से जोखिम का प्रबंधन करने वाले लगभग सभी क्षेत्रों का यह आधार है।
इस लेख में बड़ी संख्याओं के नियम का अर्थ और मूल सिद्धांत, इसके विकास का इतिहास, इसे लेकर लोगों में प्रचलित गलतफ़हमियाँ और दैनिक जीवन में इसके उपयोग के उदाहरण सरल ढंग से समझाए गए हैं।
बड़ी संख्याओं के नियम का सिद्धांत और उपयोग
बड़ी संख्याओं का नियम क्या है?
पासे को एक बार फेंकने पर यह पता नहीं होता कि 1 से 6 तक कौन-सा अंक आएगा। लेकिन सैद्धांतिक रूप से पासे के अंकों का औसत, यानी अपेक्षित मान, (1+2+3+4+5+6) ÷ 6 = 3.5 है। शुरुआती कुछ बार में औसत कभी 2 तो कभी 5 हो सकता है, लेकिन सैकड़ों और हज़ारों बार पासा फेंकने पर आए अंकों का औसत 3.5 के आसपास रहने लगता है।
(1) प्रतिदर्श माध्य और अपेक्षित मान
वास्तव में देखे गए मानों के औसत को प्रतिदर्श माध्य कहते हैं। बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि परीक्षणों की संख्या n बढ़ने पर प्रतिदर्श माध्य के अपेक्षित मान से बहुत अधिक विचलित होने की प्रायिकता 0 के करीब पहुँचती है।
(2) दो रूप
गणित में इस नियम को उसकी प्रबलता के आधार पर दो रूपों में समझाया जाता है।
- बड़ी संख्याओं का दुर्बल नियम (Weak Law of Large Numbers): इसके अनुसार, परीक्षणों की संख्या पर्याप्त अधिक होने पर प्रतिदर्श माध्य के अपेक्षित मान के पास होने की प्रायिकता 1 के करीब पहुँच जाती है।
- बड़ी संख्याओं का प्रबल नियम (Strong Law of Large Numbers): यह अधिक प्रबल कथन है कि परीक्षणों को अनंत काल तक जारी रखने पर प्रतिदर्श माध्य लगभग निश्चित रूप से अपेक्षित मान की ओर अभिसरित होता है।
बड़ी संख्याओं के नियम का जन्म कैसे हुआ?
लोग लंबे समय से अनुभव के आधार पर जानते थे कि किसी काम को बहुत बार दोहराने पर परिणाम संतुलित हो जाते हैं। इस सहज समझ को पहली बार गणितीय रूप से सिद्ध करने वाले व्यक्ति स्विस गणितज्ञ याकूब बर्नूली थे।
(1) बर्नूली का स्वर्ण प्रमेय
बर्नूली ने लगभग 20 वर्षों तक इस समस्या पर शोध किया। उनके निधन के बाद 1713 में प्रकाशित पुस्तक ‘अनुमान की कला (Ars Conjectandi)’ में इसके परिणाम शामिल किए गए। उन्हें इस परिणाम पर इतना गर्व था कि उन्होंने इसे ‘स्वर्ण प्रमेय’ कहा।
(2) इसे नाम देने वाले प्वासों
‘बड़ी संख्याओं का नियम’ नाम का पहली बार उपयोग फ्रांसीसी गणितज्ञ सिमेओं देनी प्वासों ने 1837 में किया था। बाद में चेबिशेव ने 1846 में इसका कठोर गणितीय प्रमाण प्रस्तुत किया। फिर 20वीं सदी में बोरेल और कोल्मोगोरोव ने बड़ी संख्याओं के प्रबल नियम को पूर्ण रूप दिया, जिससे यह आधुनिक प्रायिकता सिद्धांत का एक स्तंभ बन गया।
बड़ी संख्याओं के नियम को लेकर आम गलतफ़हमियाँ
बड़ी संख्याओं के नियम का अक्सर गलत अर्थ निकाला जाता है। इसका सबसे प्रमुख उदाहरण जुआरी की भ्रांति है।
(1) जुआरी की भ्रांति
1913 के 8वें महीने में मोनाको के मोंटे कार्लो कैसीनो के रूलेट में लगातार 26 बार काला रंग आया था। लोगों ने यह सोचकर कि अब लाल रंग आने की बारी है, लगातार अधिक पैसे दाँव पर लगाए और भारी रकम गँवा दी। लेकिन रूलेट की गेंद पिछले परिणामों को याद नहीं रखती, इसलिए हर बार लाल रंग आने की प्रायिकता समान रहती है।
(2) भरपाई नहीं होती, शुरुआती अंतर दब जाता है
बड़ी संख्याओं के नियम का अर्थ यह नहीं है कि बाद के परिणाम पहले के असंतुलन की भरपाई करते हैं। परीक्षण बढ़ने पर शुरुआती असंतुलन नए परिणामों की विशाल संख्या में घुलकर कम प्रभावशाली हो जाता है और अनुपात अपेक्षित मान के करीब पहुँच जाता है। इसलिए चित और पट आने की कुल संख्याओं के बीच का अंतर वास्तव में बढ़ भी सकता है।
(3) छोटी संख्याओं का नियम
मनोवैज्ञानिकों ट्वर्स्की और काह्नमैन ने लोगों की उस प्रवृत्ति की आलोचना करते हुए उसे ‘छोटी संख्याओं का नियम’ कहा, जिसमें वे केवल कुछ परिणाम देखकर उन्हें पूरे समूह का प्रतिनिधि मान लेते हैं। थोड़े-से उदाहरणों के आधार पर जल्दबाज़ी में निष्कर्ष निकालना बड़ी संख्याओं के नियम को उलटे ढंग से लागू करने जैसा है।
बड़ी संख्याओं के नियम का उपयोग कहाँ होता है?
बड़ी संख्याओं का नियम उन घटनाओं की पूरे समूह के स्तर पर गणना संभव बनाता है, जिनका किसी व्यक्ति के लिए अनुमान लगाना संभव नहीं होता। इसकी बदौलत अनिश्चित जोखिमों का संख्याओं के माध्यम से प्रबंधन करने वाली कई व्यवस्थाएँ संभव हुई हैं।
- बीमा (Insurance): यह पता नहीं लगाया जा सकता कि कोई व्यक्ति कब दुर्घटना का शिकार होगा, लेकिन बीमाधारकों की संख्या अधिक होने पर दुर्घटनाओं की कुल संख्या का अनुमान लगाना संभव हो जाता है और उचित बीमा प्रीमियम तय किया जा सकता है।
- जनमत सर्वेक्षण (Opinion Poll): यादृच्छिक रूप से चुना गया प्रतिदर्श जितना बड़ा होगा, उसमें समर्थन का अनुपात पूरी आबादी के वास्तविक समर्थन अनुपात के उतना ही करीब होगा।
- कैसीनो (Casino): किसी एक बाज़ी में खिलाड़ी जीत सकता है, लेकिन बहुत सारी बाज़ियों के परिणाम इकट्ठे होने पर कैसीनो के पक्ष में रहने वाला अपेक्षित मान लाभ के रूप में सामने आता है।
- मोंटे कार्लो अनुकरण (Monte Carlo Simulation): यह गणना की एक विधि है, जिसमें कंप्यूटर से असंख्य बार यादृच्छिक प्रयोग दोहराकर जटिल समस्याओं के उत्तर का अनुमान लगाया जाता है।
हालाँकि, इस नियम के लागू होने के लिए हर परीक्षण दूसरे परीक्षणों से स्वतंत्र होना चाहिए, परिस्थितियाँ समान होनी चाहिए और प्रतिदर्श किसी एक ओर झुका हुआ नहीं होना चाहिए। यदि आँकड़े पक्षपाती तरीके से इकट्ठे किए गए हों, तो उनकी मात्रा चाहे जितनी बढ़ा दी जाए, वे केवल गलत मान के करीब पहुँचेंगे।
बड़ी संख्याओं का नियम दिखाता है कि संयोगों से भरी दुनिया में भी एक व्यवस्था छिपी हुई है। किसी एक परिणाम से खुश या निराश होने के बजाय हमें पर्याप्त अनुभव जमा होने पर उभरने वाले रुझान को पहचानना आना चाहिए।
थोड़े-से उदाहरणों के आधार पर निर्णय लेने की जल्दबाज़ी से बचना ही सही सांख्यिकीय सोच की पहली सीढ़ी है।
