Ở Chicago có bao nhiêu người chỉnh đàn piano? Nếu bảo bạn trả lời mà không lật danh bạ điện thoại, cũng không tìm kiếm trên internet, hầu hết mọi người sẽ bí. Thế nhưng, nếu nối lại vài điều mình vốn đã biết, bạn có thể đi đến một con số dùng được một cách đáng ngạc nhiên.
Cách làm này được gọi là ước lượng Fermi (Fermi Estimation). Đó là lối tư duy tách một vấn đề không thể biết giá trị chính xác thành những con số mình biết, ước chừng từng mảnh rồi nhân lại để đoán bậc độ lớn, và nhà vật lý Enrico Fermi nổi tiếng vì hay dùng nó. Những câu hỏi như vậy còn được gọi là bài toán Fermi (Fermi Problem).
Trong bài này, chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu ước lượng Fermi là khung tư duy như thế nào, bài toán thợ chỉnh đàn piano tiêu biểu được giải ra sao, vì sao ước chừng thô mà vẫn không lệch xa, rồi đến giai thoại của chính Fermi và công dụng trong đời sống thường ngày.
Nghệ thuật tính nhẩm để tiến gần đến những con số chưa biết
Khung tư duy tìm đáp án bằng ước lượng
Mục tiêu của ước lượng Fermi không phải là một giá trị đúng đến từng số thập phân mà là biết “đại khái lớn cỡ nào”. Người ta thường nói đó là việc đoán đúng bậc độ lớn, tức quy mô theo đơn vị gấp 10 lần.
(1) Tách bài toán
Chuyển một giá trị không thể biết ngay thành phép nhân và chia của vài giá trị đã biết. Điểm mấu chốt là đi xuống những con số mà mình có cảm giác, như dân số, số hộ gia đình, khối lượng công việc mỗi ngày.
(2) Đặt giá trị ước chừng
Điền vào từng mảnh đã tách một con số hợp lý. Chẳng hạn coi một gia đình là bốn người hoặc định cứ năm nhà có một nhà, và nên chọn những số tròn dễ tính.
(3) Nhân lại để đoán độ lớn
Nối các mảnh lại để tính ra kết quả, rồi coi giá trị đó không phải đáp án đúng mà là mốc tham chiếu có nghĩa “khoảng chừng này”.
(4) Phơi bày giả định
Một ưu điểm lớn là mọi giả định dùng trong phép tính đều hiện ra rõ ràng. Nếu kết quả có vẻ lạ, bạn có thể chỉ ngay ra mảnh nào đáng ngờ.
Cách này không hẳn là mẹo tính nhẩm cho nhanh, mà gần với việc luyện tập biến một câu hỏi mơ hồ thành câu hỏi có thể tính được. Vì có thể giải thích quá trình bằng lời, nó cũng thích hợp để cùng người khác đối chiếu giả định và thảo luận.
Ở Chicago có bao nhiêu thợ chỉnh đàn piano?
Bài toán này được cho là do Fermi đặt ra cho sinh viên ở Đại học Chicago, và thường được giới thiệu như ví dụ tiêu biểu của ước lượng Fermi. Con số khác nhau đôi chút tùy người giải thích, nhưng mạch tính như sau.
- Dân số (Population): Coi dân số Chicago khoảng 3 triệu người.
- Số hộ gia đình (Households): Tính mỗi gia đình bốn người thì được khoảng 750.000 hộ.
- Số đàn piano (Pianos): Nếu cứ năm nhà có một nhà có đàn piano thì được khoảng 150.000 chiếc.
- Khối lượng công việc của một thợ chỉnh đàn (Workload): Mỗi ngày chỉnh bốn chiếc, mỗi tuần làm 5 ngày, mỗi năm làm 50 tuần thì một người đảm nhận khoảng 1.000 chiếc mỗi năm.
Nếu giả định mỗi cây đàn piano được chỉnh một lần mỗi năm, lấy 150.000 chiếc chia cho 1.000 chiếc mà một người đảm nhận, ta được đáp án khoảng 150 người. Tùy cách giải thích mà giá trị dao động từ hơn 100 một chút đến quanh 150 người, nhưng có một điều rất rõ: không phải 15 người hay 1.500 người.
Điều quan trọng ở đây không phải là bản thân con số 150, mà là cả năm giả định tạo ra nó đều hiện ra rõ ràng. Chẳng hạn, nếu đổi thành mỗi hai năm mới chỉnh đàn một lần thì đáp án lập tức giảm đi một nửa.
Vì sao ước chừng thô mà vẫn không lệch xa
Dù từng giá trị ước chừng đều sai, kết quả nhiều khi vẫn dùng được. Vì có mảnh bị ước lớn hơn thực tế, có mảnh nhỏ hơn, và sai số của chúng triệt tiêu lẫn nhau.
(1) Sai số triệt tiêu nhau
Miễn là không có thói quen nghiêng hẳn về một phía, việc ước cao và ước thấp sẽ hòa vào nhau và sai số của tích sẽ nhỏ hơn ta nghĩ.
(2) Ảnh hưởng của số bước
Nếu giả định mỗi bước có thể lệch gấp đôi và đi qua chín bước, sai số kỳ vọng nằm trong khoảng tám lần. Con số này khác xa trường hợp xấu nhất là 512 lần, khi bước nào cũng lệch gấp đôi theo cùng một hướng.
(3) Giá trị khi sai
Nếu giá trị ước lượng và giá trị thực khác nhau nhiều, khoảng chênh đó trở thành manh mối. Bạn có thể xét xem đó là lỗi tính toán, có bỏ sót yếu tố nào không, chẳng hạn đó có phải thành phố có nhiều trường âm nhạc nên đàn piano đặc biệt nhiều hay không.
(4) Giới hạn
Nếu giả định được dùng phi lý hoặc một mảnh sai nghiêm trọng thì kết quả cũng sai. Vì vậy phương pháp này được dùng như công cụ để lập nhận định ban đầu chứ không phải để có đáp án chính xác.
Từ mảnh giấy trong vụ nổ đến những câu hỏi thường ngày
Giai thoại về vụ thử hạt nhân Trinity ngày 16 tháng 7 năm 1945 tại bang New Mexico của Mỹ đã góp phần làm ước lượng Fermi nổi tiếng. Ngay trước khi sóng xung kích tới, Fermi thả những mảnh giấy nhỏ từ độ cao khoảng 6 foot (khoảng 1,8 mét). Vì gần như không có gió, ông thấy giấy bị đẩy đi khoảng 2,5 mét và ước tính sức công phá vụ nổ vào khoảng 10.000 tấn TNT.
Các phép đo sau đó cho giá trị khoảng 18,6 đến 21 kiloton, và ước lượng của ông bằng chừng một nửa giá trị thực. Có thể nói không cần dụng cụ đo nào, chỉ với vài mảnh giấy, ông đã đoán đúng bậc độ lớn.
- Đánh giá kinh doanh (Business Check): Nếu ước lượng số khách mỗi ngày trước khi mở cửa hàng, bạn có thể đoán đại khái việc kinh doanh có trụ được hay không.
- Kỹ thuật và khoa học (Engineering and Science): Nắm trước quy mô của đáp án trước khi vào phép tính chính xác giúp dễ lọc ra các lỗi tính toán.
- Phỏng vấn và giáo dục (Interview and Education): Nó được dùng như bài toán cho thấy một người hệ thống hóa suy nghĩ ra sao khi đứng trước câu hỏi không có đáp án định sẵn.
- Đời sống thường ngày (Daily Life): Có thể bắt đầu luyện từ những câu hỏi như khu phố mình có chừng bao nhiêu quán cà phê.
Thái độ không bỏ cuộc trước một con số chưa biết mà bắt đầu từ những gì mình biết rồi nối lại giúp ích trong mọi khoảnh khắc phải đưa ra nhận định khi không có thông tin chính xác. Thay vì chờ một đáp án hoàn hảo, nếu định hướng trước bằng một ước lượng dùng được thì việc kiểm tra và bổ sung về sau cũng dễ dàng hơn nhiều.
Khi gặp một con số chưa biết, đừng bí; hãy bắt đầu từ các giá trị mình biết rồi nối từng cái một. Đó là bước đầu tiên của ước lượng Fermi.
