芝加哥有多少位钢琴调音师？如果要求你不翻电话簿、不上网搜索来回答这个问题，大多数人都会一头雾水。可是，只要把几件自己已经知道的常识连起来，就能得到一个出乎意料地好用的数字。
这种方法叫做费米估算（Fermi Estimation）。它是一种思维方式：把无法确知的问题拆成自己知道的数字，对每一块大致估算，再相乘，从而判断数量级。物理学家恩里科·费米以常用这种方法而闻名。这类问题也叫费米问题（Fermi Problem）。
本文将依次介绍：费米估算是怎样一种思维框架，代表性的钢琴调音师问题是如何解开的，为什么粗略估算也不会差得太远，以及费米本人的轶事和它在日常中的用处。
为未知数字估算的艺术
靠估算寻找答案的思维框架
费米估算的目标不是精确到小数点的值，而是知道“大概有多大”。通常说它是要把数量级，也就是以10倍为单位的规模判断对。
（1）拆解问题
把无法一下子得知的值，换成几个已知值的乘除。关键是一路拆到人口、户数、每天的工作量这类有直觉的数字上。
（2）设定估算值
给拆出来的每一块填入合理的数字。比如把一个家庭看作四口人，或设定每五户有一户，最好选容易计算的整数。
（3）相乘判断大小
把各块连起来计算得到结果，并把这个值当作“大概这么多”的基准线，而不是正确答案。
（4）亮出假设
一大优点是计算中用到的假设全都看得见。结果看起来不对时，可以立刻指出是哪一块可疑。
这种方法与其说是心算的窍门，不如说是把模糊的问题变成可计算问题的练习。由于可以用语言说明推理过程，也很适合和别人对照假设来讨论。
芝加哥的钢琴调音师有多少人
据说这是费米在芝加哥大学向学生提出的问题，常被当作费米估算的代表例题。数字因讲解的人而略有不同，但思路如下。
- 人口（Population）：把芝加哥的人口看作约300万人。
- 户数（Households）：一个家庭按四口人算，约为75万户。
- 钢琴数量（Pianos）：如果每五户有一户有钢琴，约为15万架。
- 一位调音师的工作量（Workload）：每天调四架，每周工作5天，每年工作50周，则一年大约负责1,000架。
假设每架钢琴每年调音一次，用15万架除以一个人负责的1,000架，就得出约150人的答案。随讲解不同，数值会在一百出头到150左右之间变化，但可以明确地知道，答案不是15人，也不是1,500人。
这里重要的不是150这个数字本身，而是得出它的五个假设全都摆在明面上。例如，如果改成钢琴每两年才调一次音，答案立刻减半。
粗略估算也不会差太远的原因
即使每个估算值都不准，结果往往仍然好用。因为有的块比实际大，有的块比实际小，它们的误差会互相抵消。
（1）误差相互抵消
只要没有偏向一边的习惯，高估和低估就会混在一起，乘积结果的误差会比想象中小。
（2）步骤数的影响
假设每一步可能差两倍，经过九步之后，预期误差大约在八倍以内。这与每一步都朝同一方向差两倍的最坏情况，也就是512倍，相差很大。
（3）估错时的价值
如果估算值与实际值相差很大，这个差距就是线索。可以去想是不是计算失误，是不是漏掉了某个因素，比如是不是音乐学校很多、钢琴特别多的城市。
（4）局限
如果用到的假设离谱，或某一块错得很厉害，结果也会错。因此这种方法用作建立初步判断的工具，而不是用来得到精确答案。
从爆炸中的纸片到日常问题
费米估算出名，1945年7月16日在美国新墨西哥州进行的三位一体（Trinity）核试验的轶事功不可没。费米在冲击波到达之前，从约6英尺（约1.8米）的高度松手落下几片小纸片。当时几乎无风，他看到纸片被推开约2.5米，就估算爆炸威力约为1万吨TNT当量。
后来的测量得到的数值约为18.6千吨到21千吨，他的估算大约是实际值的一半。可以说，他没用任何仪器，只靠几张纸就把数量级判断对了。
- 商业判断（Business Check）：开店之前先估算每天的客人数，就能大致判断生意能否成立。
- 工程与科学（Engineering and Science）：进入精确计算之前先确定答案的规模，有助于筛出计算错误。
- 面试与教育（Interview and Education）：面对没有标准答案的问题时，这类题目可用来展现一个人如何梳理自己的思路。
- 日常生活（Daily Life）：可以从估算我们小区大概有几家咖啡店这样的问题开始练习。
面对未知的数字不放弃，而是从已知的东西开始一点点连起来，这种态度在缺乏准确信息却必须做出判断的每个时刻都能帮上忙。与其等待完美的答案，不如先用好用的估算值定下方向，之后的确认和补充也会轻松得多。
遇到未知数字时不要发愁，从已知的值开始一个个连起来，这就是费米估算的第一步。
