El primer día del nuevo período escolar, en una clase de unas treinta personas, el profesor pregunta: «¿Habrá alguien en esta clase que cumpla años el mismo día que otra persona?». Como 1 año tiene nada menos que 365 días, es fácil pensar que, con unas treinta personas, es difícil que haya una coincidencia. Sin embargo, al hacer el cálculo, la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día resulta ser de alrededor del 70 %.
Este fenómeno, en el que la intuición y el cálculo difieren tanto, se conoce como la «paradoja del cumpleaños (Birthday Paradox)». Dicho de forma sencilla, significa que, con solo unas decenas de personas, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es mucho mayor de lo que cabría esperar. Recibe el nombre de paradoja porque, aunque es coherente desde el punto de vista lógico, al oírlo por primera vez parece falso.
En este artículo veremos qué es la paradoja del cumpleaños, cómo se calcula la probabilidad, por qué nos engaña la intuición y cómo se aplica este principio en ámbitos como la seguridad de la información.
Principio y aplicaciones de la paradoja del cumpleaños
Con 23 personas, la probabilidad ronda el cincuenta por ciento
Para calcular las probabilidades de la paradoja del cumpleaños se suelen hacer algunos supuestos que simplifican las operaciones.
- Duración de 1 año (Days in a Year). Se considera que 1 año tiene 365 días y se excluye el 29 del mes 2, que se da una vez cada 4 años.
- Distribución uniforme (Uniform Distribution). Se considera que la probabilidad de nacer es la misma en todas las fechas.
- Independencia (Independence). Se considera que el cumpleaños de una persona es independiente del de las demás y se supone que el grupo carece de gemelos.
En estas condiciones, con 10 personas la probabilidad de que al menos una pareja cumpla años el mismo día es de alrededor del 11.7 %, por lo que sigue siendo un suceso poco frecuente. Con 23 personas, la probabilidad supera por primera vez la mitad y se sitúa en torno al 50.7 %. Con 30 personas alcanza aproximadamente el 70.6 %, con 50 llega a cerca del 97 % y con 70 sube hasta aproximadamente el 99.9 %. Así, mientras el número de personas crece poco a poco, la probabilidad aumenta con rapidez.
Para garantizar que haya una coincidencia de cumpleaños hacen falta 366 personas. Como solo hay 365 fechas posibles, la persona número 366 necesariamente comparte cumpleaños con alguien. Lo que hace que el fenómeno parezca paradójico es que la probabilidad ya supera la mitad con solo 23 personas, una cifra inferior a 1/15 de los 365 días de 1 año.
En la práctica, los cumpleaños se distribuyen de forma desigual porque nacen más bebés en determinadas épocas del año o en ciertos días de la semana. Esta desigualdad eleva un poco la probabilidad de coincidencia, pero la diferencia es pequeña. Incluso al hacer el cálculo con datos reales de nacimientos, el umbral para superar la mitad sigue siendo de 23 personas.
Dos claves para calcular la probabilidad
Hay dos claves para entender la paradoja del cumpleaños.
(1) Contar primero los casos del suceso complementario
Calcular directamente la probabilidad de que coincidan dos cumpleaños obliga a considerar demasiados casos. Por eso se calcula primero la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos y luego se resta de 1. La probabilidad de que el cumpleaños de la segunda persona difiera del de la primera es de 364/365, y la de que el de la tercera difiera del de las dos anteriores es de 363/365. Al seguir multiplicando de este modo hasta incluir a 23 personas, la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos es de aproximadamente el 49.3 %. El 50.7 % restante, también aproximado, es la probabilidad de que haya alguna coincidencia.
(2) Contar las parejas que se pueden formar
Al reunir a 23 personas, el número de formas de elegir a dos es 23×22÷2, es decir, 253 parejas. La probabilidad de coincidencia en una pareja es baja, de 1 entre 365, pero con 253 oportunidades es mucho más probable que se produzca al menos una coincidencia. Al aumentar el número de personas, el de parejas crece mucho más deprisa. Si el número de personas se multiplica por 2, el de parejas se multiplica aproximadamente por 4, de modo que las oportunidades de coincidencia aumentan al mismo ritmo que las parejas.
Si imaginamos que las personas entran de una en una en una habitación, deben entrar, en promedio, unas 25 antes de que aparezca la primera pareja con el mismo cumpleaños. También es una cifra muy pequeña en comparación con 365.
Por qué la intuición falla al estimar la probabilidad
Este fenómeno sorprende porque es fácil interpretar la pregunta de otra manera. Mucha gente piensa en la probabilidad de que alguien cumpla años el mismo día que ella. En un grupo de 23 personas que me incluye, esa probabilidad apenas ronda el 6 %, y para superar el 50 % hacen falta 254 personas contándome a mí, es decir, 253 personas más. La paradoja del cumpleaños pregunta por la probabilidad de que cumplan años el mismo día dos personas cualesquiera de un grupo que me incluye.
Hay un ejemplo real. En el Mundial de Brasil de 2014, cada uno de los 32 países presentó una lista de 23 jugadores. Según un análisis de la BBC británica, en 16 selecciones, la mitad del total, hubo jugadores que compartían cumpleaños. En 5 selecciones, entre ellas la de Corea del Sur, hubo dos parejas de este tipo en cada una. El resultado concuerda de forma sorprendente con el cálculo según el cual, con 23 personas, la probabilidad ronda la mitad.
Se cree que el matemático británico Harold Davenport fue el primero en plantear este problema en la década de 1920. Richard von Mises fue el primero en publicarlo en un artículo académico, en 1939.
La paradoja del cumpleaños en la seguridad de la información
La paradoja del cumpleaños tiene aplicaciones más importantes fuera del aula. Una de las principales se da en las funciones hash (Hash Function), que convierten datos de cualquier longitud en un valor corto de longitud fija.
- Colisión de hash (Hash Collision). Ocurre cuando dos entradas distintas tienen el mismo valor hash, de forma análoga a dos personas que cumplen años el mismo día.
- Ataque de cumpleaños (Birthday Attack). Es un ataque que aprovecha el principio de la paradoja del cumpleaños para encontrar colisiones. Para un hash cuyo resultado tiene n bits, basta con unos 2 elevado a (n÷2) intentos para que la probabilidad de encontrar una colisión ronde la mitad, en lugar de los 2 elevado a n intentos.
- Diseño de seguridad (Security Design). Por eso, para protegerse de estos ataques, las funciones hash que deben resistir las colisiones se diseñan con una longitud de salida suficientemente grande.
Las tablas hash que se utilizan para organizar datos también se diseñan desde el principio con mecanismos para gestionar colisiones, pues se considera inevitable que se produzcan algunas a medida que aumenta el número de elementos que se almacenan.
La paradoja del cumpleaños muestra que nuestra intuición tiende a tomar a una sola persona, uno mismo, como referencia y suele pasar por alto las oportunidades que surgen al formar tantas parejas. Incluso los sucesos que parecen fruto de la casualidad pueden ocurrir, si se hacen las cuentas, con más frecuencia de lo que pensamos.
Ante una coincidencia sorprendente, volver a contar los casos posibles es el primer paso para interpretar correctamente la probabilidad.
