नए शैक्षणिक सत्र के पहले दिन, लगभग तीस विद्यार्थियों वाली कक्षा में कक्षा शिक्षक पूछते हैं, “क्या इस कक्षा में किसी का जन्मदिन एक ही दिन पड़ता है?” 1 वर्ष में पूरे 365 दिन होते हैं, इसलिए सहज ही लगता है कि लगभग तीस लोगों में जन्मदिन मिलना मुश्किल होगा। लेकिन वास्तव में गणना करने पर दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता लगभग 70% निकलती है।
सहज अनुमान और गणना के बीच इतने बड़े अंतर वाली इस घटना को ‘जन्मदिन विरोधाभास (Birthday Paradox)’ कहते हैं। सरल शब्दों में, जन्मदिन विरोधाभास का अर्थ है कि ‘कुछ दर्जन लोग भी इकट्ठा हों, तो उनमें किसी का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता हमारी सोच से कहीं अधिक होती है।’ इसमें कोई तार्किक विरोधाभास नहीं है, लेकिन पहली बार सुनने पर यह गलत लगता है, इसलिए इसे विरोधाभास कहा गया।
इस सामग्री में हम क्रम से जानेंगे कि जन्मदिन विरोधाभास क्या है, इसकी प्रायिकता की गणना किस सिद्धांत पर होती है, हम ऐसा गलत अनुमान क्यों लगाते हैं और सूचना सुरक्षा जैसे व्यावहारिक क्षेत्रों में इस सिद्धांत का उपयोग कैसे होता है।
जन्मदिन विरोधाभास का सिद्धांत और उपयोग
23 लोगों पर आधी-आधी हो जाती है प्रायिकता
जन्मदिन विरोधाभास की गणना आम तौर पर कुछ मान्यताओं के आधार पर की जाती है। इनका उद्देश्य गणना को सरल बनाना है।
- 1 वर्ष की अवधि (Days in a Year): 1 वर्ष को 365 दिन का मानते हैं और हर 4 वर्ष में एक बार आने वाले 2वें महीने के 29वें दिन को छोड़ देते हैं।
- एकसमान वितरण (Uniform Distribution): हर तारीख को जन्म लेने की संभावना समान मानी जाती है।
- स्वतंत्रता (Independence): माना जाता है कि एक व्यक्ति का जन्मदिन दूसरे व्यक्ति के जन्मदिन को प्रभावित नहीं करता और समूह में कोई जुड़वाँ नहीं है।
इन शर्तों के अंतर्गत, 10 लोगों में कम-से-कम एक जोड़ी का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता लगभग 11.7% होती है, इसलिए यह अब भी दुर्लभ घटना है। लेकिन 23 लोग होने पर यह लगभग 50.7% के साथ पहली बार आधे से अधिक हो जाती है। 30 लोगों पर यह लगभग 70.6%, 50 लोगों पर लगभग 97% और 70 लोगों पर लगभग 99.9% तक पहुँच जाती है। यानी लोगों की संख्या थोड़ी-थोड़ी बढ़ती है, लेकिन प्रायिकता तेज़ी से ऊपर चढ़ती है।
इसके विपरीत, जन्मदिन का मिलना निश्चित होने के लिए 366 लोग चाहिए। तारीखें केवल 365 हैं, इसलिए 366वें व्यक्ति का जन्मदिन किसी-न-किसी से मिलना ही होगा। लेकिन 1 वर्ष के 365 दिनों के 15वें हिस्से के 1 गुने से भी कम, केवल 23 लोग इकट्ठा होने पर ही प्रायिकता आधे से अधिक हो जाती है। यही बात इस घटना को विरोधाभास जैसा बनाती है।
वास्तविकता में कुछ खास मौसमों या सप्ताह के कुछ दिनों में अधिक बच्चे जन्म लेते हैं, इसलिए जन्मदिन समान रूप से वितरित नहीं होते। ऐसी असमानता होने पर जन्मदिन मिलने की प्रायिकता कुछ और बढ़ जाती है, लेकिन अंतर बड़ा नहीं होता। इसलिए वास्तविक जन्म आँकड़ों के आधार पर भी आधे से अधिक प्रायिकता की सीमा अब भी 23 लोग ही है।
प्रायिकता की गणना की दो कुंजियाँ
जन्मदिन विरोधाभास को समझने की दो कुंजियाँ हैं।
(1) पहले विपरीत स्थिति की गिनती करना
‘किसी का जन्मदिन मिलने की प्रायिकता’ सीधे निकालने पर बहुत अधिक स्थितियों पर विचार करना पड़ता है। इसलिए पहले ‘सभी के जन्मदिन अलग होने की प्रायिकता’ निकालते हैं और फिर उसे 1 में से घटाते हैं। दूसरे व्यक्ति का जन्मदिन पहले व्यक्ति से अलग होने की प्रायिकता 364/365 है और तीसरे व्यक्ति का जन्मदिन पहले दोनों व्यक्तियों से अलग होने की प्रायिकता 363/365 है। इस तरह 23 लोगों तक इन प्रायिकताओं को गुणा करने पर सभी के जन्मदिन अलग होने की प्रायिकता लगभग 49.3% मिलती है। शेष लगभग 50.7% किसी का जन्मदिन मिलने की प्रायिकता है।
(2) लोगों के बजाय जोड़ियों की गिनती करना
23 लोग इकट्ठा हों, तो दो लोगों की जोड़ी बनाने के 23×22÷2, यानी 253 तरीके होते हैं। किसी एक जोड़ी के जन्मदिन मिलने की प्रायिकता 365 में से 1 है, जो छोटी है। लेकिन 253 अवसर मिलने पर उनमें से किसी एक में जन्मदिन मिलने की संभावना बढ़ जाती है। लोगों की संख्या बढ़ने पर जोड़ियों की संख्या उससे कहीं तेज़ी से बढ़ती है। लोगों की संख्या 2 गुनी होने पर जोड़ियाँ लगभग 4 गुनी हो जाती हैं, इसलिए जन्मदिन मिलने के अवसर भी उतनी ही तेज़ी से बढ़ते हैं।
यदि लोग एक-एक करके कमरे में प्रवेश करें, तो एक ही जन्मदिन वाली पहली जोड़ी मिलने तक औसतन लगभग 25 लोगों को अंदर आना होगा। यह भी 365 की तुलना में बहुत छोटी संख्या है।
सहज अनुमान प्रायिकता को क्यों नहीं पकड़ पाता
यह घटना आश्चर्यजनक इसलिए लगती है क्योंकि हम प्रश्न का अर्थ कुछ और समझ लेते हैं। बहुत से लोग ‘किसी का जन्मदिन मेरे जन्मदिन से मिलने की प्रायिकता’ सोचते हैं। मेरे समेत 23 लोगों में यह प्रायिकता केवल लगभग 6% होती है। इसे 50% से अधिक करने के लिए मेरे समेत 254 लोग, यानी 253 अन्य लोग चाहिए। लेकिन जन्मदिन विरोधाभास का प्रश्न मेरे समेत पूरे समूह के ‘किन्हीं भी दो लोगों’ का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता के बारे में है।
इसका वास्तविक उदाहरण भी है। 2014 के ब्राज़ील विश्व कप में सभी 32 देशों में से प्रत्येक ने 23 खिलाड़ियों की सूची दी थी। ब्रिटेन के BBC के विश्लेषण के अनुसार, उनमें से आधी, यानी 16 टीमों में एक ही जन्मदिन वाले खिलाड़ी थे। दक्षिण कोरिया समेत 5 टीमों में ऐसी दो-दो जोड़ियाँ थीं। यह परिणाम 23 लोगों पर आधी-आधी प्रायिकता वाली गणना से आश्चर्यजनक रूप से मेल खाता है।
माना जाता है कि 1920 के दशक में ब्रिटिश गणितज्ञ हैरोल्ड डेवनपोर्ट (Harold Davenport) ने पहली बार इस समस्या के बारे में सोचा था और 1939 में रिचर्ड फ़ॉन मीज़ेस (Richard von Mises) ने पहली बार इसे शोधपत्र के रूप में प्रकाशित किया था।
सूचना सुरक्षा में छिपा जन्मदिन विरोधाभास
कक्षा के बाहर जन्मदिन विरोधाभास का उपयोग और भी महत्वपूर्ण है। इसका प्रमुख उदाहरण हैश फ़ंक्शन (Hash Function) है, जो कितना भी लंबा डेटा हो, उसे निश्चित लंबाई के छोटे मान में बदल देता है।
- हैश टकराव (Hash Collision): जब दो अलग-अलग डेटा का हैश मान एक ही होता है, तो यह स्थिति दो लोगों का जन्मदिन एक ही दिन होने जैसी होती है।
- जन्मदिन हमला (Birthday Attack): यह जन्मदिन विरोधाभास के सिद्धांत का उपयोग करके टकराव खोजने वाला हमला है। यदि हैश का परिणाम n बिट का हो, तो 2 की घात n बार प्रयास करने के बजाय लगभग 2 की घात (n÷2) बार प्रयास करने पर ही टकराव मिलने की प्रायिकता लगभग आधी हो जाती है।
- सुरक्षा डिज़ाइन (Security Design): इसलिए टकराव का प्रतिरोध करने वाले हैश फ़ंक्शन के परिणाम की लंबाई पर्याप्त रखी जाती है, ताकि ऐसे हमलों से बचाव हो सके।
डेटा व्यवस्थित करने वाली हैश टेबल के डिज़ाइन में भी शुरुआत से ही बचाव के उपाय रखे जाते हैं, क्योंकि माना जाता है कि संग्रहीत किए जाने वाले मदों की संख्या बढ़ने पर कुछ टकराव अपरिहार्य हैं।
जन्मदिन विरोधाभास दिखाता है कि हमारा सहज अनुमान ‘अकेले मुझे’ आधार बनाकर सोचने का अभ्यस्त है और असंख्य जोड़ियों से बनने वाले अवसरों को ठीक से नहीं देख पाता। जो घटनाएँ संयोग जैसी लगती हैं, वे गणना करने पर हमारी सोच से अधिक बार घट सकती हैं।
किसी आश्चर्यजनक संयोग के सामने संभावित स्थितियों की संख्या एक बार फिर गिनना, प्रायिकता को सही ढंग से समझने का पहला कदम है।
