呼叫中心一小时平均会接到多少通电话？若平均是 180 通，一分钟大约 3 通——可有的分钟一通都没有，有的分钟却突然涌来五六通。看似参差不齐的次数里，其实藏着意外的秩序。
说明这种秩序的，正是泊松分布（Poisson Distribution）。它是一种概率分布，只用“平均发生次数”这一个数字，就能算出在固定时间或空间里某事件会发生几次。
本资料将依次说明：泊松分布在什么条件下成立，被马踢中的骑兵与落在伦敦的炸弹的统计说明了什么，它用在哪里，以及何时并不适用。
用一个平均值来数罕见事件的概率
一个平均值决定分布的形状
这一分布得名于法国数学家西梅翁·德尼·泊松（Siméon Denis Poisson）。他在 1837 年出版的《关于刑事与民事判决概率的研究》（Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile）中介绍了它。不过，类似结果早在 1711 年就由亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）给出过。
(1) 需要的只是一个平均发生次数
若在给定区间内事件平均发生 λ 次，则恰好发生 k 次的概率，是 λ 的 k 次方乘以 e 的负 λ 次方，再除以 k 的阶乘。这里的 e 约等于 2.718。
(2) 均值与方差相等
在泊松分布中，均值是 λ，表示离散程度的方差也是 λ。知道平均值，就连会有多参差也一并定了下来。
(3) 有成立条件
事件须彼此独立、互不影响。平均发生率须在整个区间内保持恒定，且两个事件不能恰好在同一瞬间发生。
例如，在平均每分钟来 3 通电话的呼叫中心，一分钟内来 1 到 4 通的概率约 77%，一通都没有或来 5 通以上的概率约 23%。即便是大约百年一遇会漫溢的河，在 100 年里一次都不漫溢的概率约 36.8%，漫溢两次以上的概率约 26%。平均值是 1，并不等于每次都恰好来一次。
被马踢中的骑兵的统计
用真实数据让泊松分布广为人知的，是俄裔波兰统计学者拉迪斯劳斯·博尔特基耶维奇（Ladislaus Bortkiewicz）。他在 1898 年出版《小数定律》（Das Gesetz der kleinen Zahlen），并以普鲁士军队中被马踢致死的士兵人数为例。
- 资料（Data）：考察 14 个军团从 1875 年到 1894 年共 20 年，得到军团与年份的配对 280 个，死亡总计 196 人。
- 平均（Mean）：196 除以 280，一个军团一年平均遭遇的死亡为 0.7 人。
- 观测（Observed）：死亡为 0 人的情形有 144 次，1 人 91 次，2 人 32 次，3 人 11 次，4 人 2 次。
- 预测（Expected）：按平均 0.7 的泊松分布算出的值依次约为 143.1、92.1、33.5、8.2、2.9，与观测惊人地接近。
被马踢对单个士兵来说极为罕见，但骑兵众多、时间跨度长，机会就多了。博尔特基耶维奇把“单次发生概率虽小、尝试次数却很多的事件次数遵循泊松分布”这一点，称为小数定律。
落在伦敦的炸弹是成群落下的吗
第二次世界大战末期，德国向伦敦发射 V-1 飞行炸弹，有传言说炸弹集中落在特定地点。在保险公司工作的 R. D. 克拉克（R. D. Clarke）决定核验这一说法，并于 1946 年发表了结果。
(1) 把地图划成格子
他把南伦敦 144 平方千米划成 576 个各 0.25 平方千米的格子，逐格清点落入其中的 537 枚炸弹。每格平均约 0.93 枚。
(2) 把实际与预测对照
一枚都没有的格子是 229 个，与预测的 226.7 几乎相同。一枚是 211 格对预测 211.4，两枚是 93 格对预测 98.5。三枚是 35 格对预测 30.6，四枚是 7 格对预测 7.1，五枚及以上是 1 格对预测 1.6。
(3) 并没有成群
若炸弹集中落下，完全空的格子与重创的格子都会多于预测。实际结果与预测极为接近，他由此断定该区域的炸弹彼此互不影响，近乎随机落下。
泊松分布的用途还远不止这些。呼叫中心的通话、放射性物质的衰变、网络服务器的访问、保险理赔，以及以笔名 Student 闻名的威廉·戈塞特（William Gosset）所计数的啤酒酵母细胞数，都是例子。
当泊松分布不适用时
并非所有次数资料都服从泊松分布。前面三个条件一旦被打破，计算就开始偏离。
(1) 比率随时间变化
来学生会馆的学生在上课时很少，休息时却涌来。发生率若不恒定，单靠一个平均值就解释不了。
(2) 事件彼此相连
学生成群结队而来，或大地震后相似余震接连发生。一个事件改变了下一个事件的概率，独立性条件就崩塌了。
(3) 不可能出现 0，或 0 过多
至少必然发生一次的事件，或空区间远多于预测的资料，需要另行调整的模型。若资料的均值与方差相差很大，首先就该怀疑这一条件。
罕见事件并不等于任意妄为，却也不能把任何次数都硬塞进同一框架。用一个平均值勾勒偶然的形状，再回头追问那框架是否合适——这就是泊松分布的第一步。
