Trung tâm cuộc gọi nhận trung bình bao nhiêu cuộc trong một giờ? Nếu trung bình là 180 cuộc thì mỗi phút khoảng 3 cuộc — vậy mà có phút chẳng có cuộc nào, có phút lại đột ngột dồn năm sáu cuộc. Ngay cả những lần đếm trông lộn xộn như vậy cũng ẩn chứa một trật tự bất ngờ.
Ý tưởng giải thích trật tự đó chính là phân phối Poisson (Poisson Distribution). Đây là một phân phối xác suất cho biết một sự kiện xảy ra bao nhiêu lần trong khoảng thời gian hoặc không gian cố định, chỉ bằng một con số: số lần xảy ra trung bình.
Trong tài liệu này chúng ta sẽ lần lượt xem phân phối Poisson thành lập khi nào, thống kê kỵ binh bị ngựa đá và bom rơi xuống London cho thấy gì, nó được dùng ở đâu, và khi nào thì không khớp.
Xác suất sự kiện hiếm đếm bằng một trung bình
Một trung bình quyết định hình dạng phân phối
Phân phối này mang tên nhà toán học Pháp Siméon Denis Poisson, người giới thiệu nó trong cuốn sách năm 1837 Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (Nghiên cứu về xác suất phán quyết hình sự và dân sự). Tuy nhiên, kết quả tương tự đã được Abraham de Moivre đưa ra từ năm 1711.
(1) Chỉ cần một số lần xảy ra trung bình
Nếu sự kiện xảy ra trung bình λ lần trong một khoảng cố định, xác suất xảy ra đúng k lần bằng λ mũ k nhân e mũ âm λ, rồi chia cho giai thừa k. Ở đây e là số khoảng 2.718.
(2) Trung bình bằng phương sai
Trong phân phối Poisson, trung bình là λ và phương sai — mức độ phân tán — cũng là λ. Chỉ cần biết trung bình là đã biết sẽ lệch lạc đến đâu.
(3) Có điều kiện thành lập
Sự kiện phải xảy ra độc lập, không ảnh hưởng lẫn nhau. Tỷ lệ xảy ra trung bình phải ổn định suốt khoảng, và hai sự kiện không được xảy ra đúng cùng một khoảnh khắc.
Ví dụ, ở trung tâm cuộc gọi trung bình 3 cuộc mỗi phút, xác suất trong một phút nhận từ 1 đến 4 cuộc khoảng 77 phần trăm, còn xác suất không có cuộc nào hoặc từ 5 cuộc trở lên khoảng 23 phần trăm. Ngay cả con sông khoảng trăm năm mới ngập một lần cũng có khoảng 36.8 phần trăm xác suất trong 100 năm chẳng ngập lần nào, và khoảng 26 phần trăm xác suất ngập từ hai lần trở lên. Trung bình là 1 không có nghĩa mỗi lần đều đúng một lần.
Thống kê kỵ binh bị ngựa đá
Người làm cho phân phối Poisson được biết rộng nhờ dữ liệu thực là nhà thống kê gốc Ba Lan sinh ở Nga Ladislaus Bortkiewicz. Năm 1898 ông xuất bản Das Gesetz der kleinen Zahlen (Quy luật số nhỏ) và lấy ví dụ số binh sĩ trong quân đội Phổ chết vì bị ngựa đá.
- Dữ liệu (Data): Quan sát 14 quân đoàn trong 20 năm từ 1875 đến 1894 cho 280 cặp quân đoàn–năm, tổng số người chết là 196.
- Trung bình (Mean): 196 chia 280 cho trung bình 0.7 người chết mỗi quân đoàn mỗi năm.
- Quan sát (Observed): Có 144 trường hợp 0 người chết, 91 trường hợp 1 người, 32 trường hợp 2, 11 trường hợp 3, và 2 trường hợp 4.
- Dự đoán (Expected): Các giá trị tính từ phân phối Poisson trung bình 0.7 lần lượt khoảng 143.1, 92.1, 33.5, 8.2 và 2.9 — gần quan sát đến mức đáng kinh ngạc.
Bị ngựa đá là chuyện rất hiếm với từng người lính, nhưng kỵ binh đông và thời gian dài nên cơ hội nhiều. Bortkiewicz gọi quy luật số nhỏ là điểm rằng số lần của sự kiện xác suất một lần rất nhỏ nhưng số lần thử nhiều vẫn theo phân phối Poisson.
Bom rơi xuống London có tụ lại không?
Cuối Thế chiến thứ Hai, Đức bắn bom bay V-1 vào London, và đồn đại lan rằng bom tụ rơi vào các điểm cụ thể. R. D. Clarke, làm việc ở công ty bảo hiểm, quyết định kiểm chứng lời đồn và công bố kết quả năm 1946.
(1) Chia bản đồ thành ô
Ông chia 144 kilômét vuông Nam London thành 576 ô mỗi ô 0.25 kilômét vuông và đếm 537 quả bom rơi trong đó theo từng ô. Trung bình mỗi ô khoảng 0.93 quả.
(2) Đối chiếu thực tế với dự đoán
Số ô không có quả bom nào là 229, gần khớp dự đoán 226.7. Một quả: 211 ô so với dự đoán 211.4; hai quả: 93 so với 98.5. Ba quả: 35 so với 30.6; bốn quả: 7 so với 7.1; năm quả trở lên: 1 so với dự đoán 1.6.
(3) Không có tụ tập
Nếu bom tụ lại một chỗ, cả ô trống lẫn ô bị trúng nhiều sẽ vượt dự đoán. Kết quả thực rất gần dự đoán, nên ông kết luận bom ở khu vực này gần như rơi ngẫu nhiên, không ảnh hưởng lẫn nhau.
Phân phối Poisson còn được dùng ở nhiều nơi khác. Cuộc gọi trung tâm, phân rã phóng xạ, truy cập máy chủ web, yêu cầu bảo hiểm, và số tế bào men bia mà William Gosset — nổi tiếng với bút danh Student — từng đếm là những ví dụ.
Khi phân phối Poisson không khớp
Không phải mọi dữ liệu đếm đều theo phân phối Poisson. Ngay khi ba điều kiện trên bị phá, phép tính bắt đầu lệch.
(1) Tỷ lệ thay đổi theo thời gian
Sinh viên đến nhà sinh viên ít trong giờ học và dồn vào giờ nghỉ. Nếu tỷ lệ xảy ra không ổn định, một trung bình duy nhất không giải thích được.
(2) Sự kiện nối tiếp nhau
Sinh viên đến theo nhóm, hoặc dư chấn tương tự nối tiếp sau trận động đất lớn. Khi một sự kiện đổi xác suất sự kiện tiếp theo, điều kiện độc lập sụp đổ.
(3) Không thể ra 0 — hoặc 0 quá nhiều
Sự kiện buộc xảy ra ít nhất một lần, hoặc dữ liệu có khoảng trống nhiều hơn dự đoán rất nhiều, cần mô hình chỉnh riêng. Nếu trung bình và phương sai của dữ liệu lệch nhau lớn, hãy nghi điều kiện này trước.
Sự kiện hiếm không phải tùy tiện, nhưng cũng không thể nhét mọi số lần vào cùng một khung. Vẽ hình dạng ngẫu nhiên từ một trung bình rồi hỏi lại khung đó có khớp không — đó là bước đầu của phân phối Poisson.
