किसी परीक्षा में सामान्य से बहुत अच्छे अंक पाने वाले छात्र के अंक अगली परीक्षा में कुछ कम हो जाना और असामान्य रूप से खराब प्रदर्शन करने वाले छात्र के अंक अगली बार कुछ बढ़ जाना आम है। प्रशंसा पाने वाले कर्मचारी का प्रदर्शन अगले महीने कुछ गिर जाना और डाँट खाने वाले कर्मचारी का प्रदर्शन अगले महीने सुधर जाना भी अक्सर दिखता है। ऐसे में बहुत से लोग इसे प्रशंसा या डाँट का असर मानते हैं, लेकिन अक्सर यह एक ऐसी सांख्यिकीय घटना होती है जो किसी विशेष कारण के बिना भी घटती है। इसी को ‘माध्य की ओर प्रतिगमन (Regression Toward the Mean)’ कहते हैं।
सरल शब्दों में माध्य की ओर प्रतिगमन का अर्थ है कि ‘कोई मान एक बार अत्यधिक ऊँचा या नीचा आए, तो दोबारा मापने पर उसके माध्य के अधिक करीब आने की संभावना रहती है।’ ऐसा इसलिए होता है क्योंकि मापे गए मान में क्षमता या मूल गुणों के अलावा उस दिन का संयोग और मापन त्रुटि भी शामिल होती है, और मान जितना चरम होता है, उतनी ही अधिक संभावना होती है कि संयोग का प्रभाव किसी एक दिशा में बहुत अधिक रहा हो।
इस सामग्री में हम क्रम से माध्य की ओर प्रतिगमन के अर्थ और गैल्टन की खोज, चरम मानों के माध्य की ओर लौटने के सिद्धांत, रोज़मर्रा के सरल उदाहरणों और प्रतिगमन को गलती से कारण मान लेने से बचने के तरीकों पर चर्चा करेंगे।
माध्य की ओर प्रतिगमन संख्याओं को समझने का तरीका बदल देता है
माध्य की ओर प्रतिगमन का अर्थ और गैल्टन की खोज
इस घटना को नाम देने वाले व्यक्ति ब्रिटिश वैज्ञानिक फ़्रांसिस गैल्टन (Francis Galton) थे। मटर के बीजों पर प्रयोग करने के बाद गैल्टन ने 1886 में लगभग 205 माता-पिता के जोड़ों और उनकी लगभग 930 वयस्क संतानों के कद का अध्ययन करके संतानों के कद की तुलना माता-पिता के कद से की। उन्होंने पाया कि बहुत लंबे माता-पिता की संतानें आम तौर पर उनसे कम लंबी थीं, जबकि बहुत छोटे कद वाले माता-पिता की संतानें आम तौर पर उनसे कम छोटे कद की थीं। संतानों के कद का माध्य से विचलन, माता-पिता के विचलन का लगभग 3 में से 2 भाग था।
गैल्टन ने इसे ‘साधारणता की ओर प्रतिगमन (Regression Towards Mediocrity)’ कहा, और आज प्रतिगमन विश्लेषण में प्रयुक्त ‘प्रतिगमन’ शब्द भी यहीं से आया है। ध्यान देने वाली बात यह है कि इसका अर्थ यह नहीं है कि हर पीढ़ी के साथ लोगों के कद एक-दूसरे के अधिक समान होते जाते हैं। चरम मानों से चुने गए समूह को दोबारा मापने पर उसके मान माध्य की ओर आते हैं, लेकिन पूरे वितरण का फैलाव वैसा ही बना रहता है।
- चरम मान (Extreme Value): माध्य से बहुत दूर स्थित मापा गया मान, जो वह शुरुआती बिंदु है जहाँ से प्रतिगमन सबसे स्पष्ट दिखाई देता है।
- सहसंबंध गुणांक (Correlation Coefficient): यह बताता है कि दो मापन किस हद तक साथ-साथ बदलते हैं; इसका मान 1 से जितना कम होता है, प्रतिगमन उतना अधिक होता है।
- मापन त्रुटि (Measurement Error): संयोगजन्य उतार-चढ़ाव, जिनके कारण एक ही चीज़ को दोबारा मापने पर भी मान थोड़ा-थोड़ा बदलता रहता है।
चरम मान माध्य की ओर क्यों लौटते हैं
माध्य की ओर प्रतिगमन किसी रहस्यमय शक्ति से नहीं, बल्कि मापन की संरचना से उत्पन्न होता है। इसे समझना आसान है यदि हम किसी भी परिणाम को ‘मूल स्तर’ और ‘उस समय के संयोग’ का योग मानें।
(1) परिणाम क्षमता और भाग्य का योग होता है
सबसे अधिक अंक पाने वाले व्यक्ति की क्षमता अच्छी रही होगी, लेकिन इसकी भी बड़ी संभावना है कि उस दिन भाग्य ने उसका साथ दिया हो। अगले मापन में भाग्य का प्रभाव नए सिरे से तय होता है, इसलिए उसी अनुकूल संयोग का दोहराना कठिन होता है।
(2) दो मापनों का सहसंबंध जितना कमज़ोर होता है, माध्य की ओर वापसी उतनी अधिक होती है
कद जैसे मानों में, जहाँ माता-पिता और संतान के बीच सहसंबंध अपेक्षाकृत अधिक होता है, माध्य की ओर वापसी थोड़ी होती है। वहीं दैनिक बिक्री या खेल के प्रदर्शन जैसे मानों में, जहाँ संयोग की भूमिका बड़ी होती है, वापसी अधिक होती है। यदि दोनों मापन पूरी तरह साथ-साथ बदलें, तो प्रतिगमन समाप्त हो जाता है।
(3) यह व्यक्ति की नियति नहीं, समूह की प्रवृत्ति है
इसका अर्थ यह नहीं कि हर मेधावी छात्र के अंक अगली परीक्षा में अनिवार्य रूप से गिरेंगे। यह एक संभाव्य प्रवृत्ति है, जिसमें चरम मानों के आधार पर चुने गए समूह का औसत अगले मापन में समग्र औसत की ओर बढ़ता है। उलटी दिशा में देखें, तो इस परीक्षा में सर्वाधिक अंक पाने वालों के पिछली परीक्षा के अंक भी अक्सर माध्य के अधिक करीब रहे होते हैं। समय की दिशा चाहे जो हो, चरम मानों के आधार पर चयन करने पर प्रतिगमन दिखाई देता है।
रोज़मर्रा के सरल उदाहरणों से समझें
मनोवैज्ञानिक डैनियल काह्नमैन (Daniel Kahneman) ने इज़राइली वायुसेना के उड़ान प्रशिक्षकों से एक प्रसिद्ध प्रतितर्क सुना। उनका कहना था कि अच्छी उड़ान की प्रशंसा करने पर अगली बार प्रदर्शन खराब होता है, जबकि खराब उड़ान के लिए डाँटने पर अगली बार प्रदर्शन सुधरता है। काह्नमैन ने समझा कि यह प्रशंसा और डाँट का प्रभाव नहीं, बल्कि माध्य की ओर प्रतिगमन था। अच्छा प्रदर्शन करने के बाद सामान्यतः गिरावट आने की और खराब प्रदर्शन के बाद सुधार होने की संभावना रहती है, इसलिए डाँट प्रभावी लग रही थी।
प्रतिगमन के अक्सर दिखाई देने वाले उदाहरण
- 2वें वर्ष की गिरावट (Sophomore Slump): पहले सीज़न में शानदार प्रदर्शन करने वाला खिलाड़ी अगले सीज़न में साधारण दिखाई दे, तो इसमें प्रतिगमन की बड़ी भूमिका होती है।
- लक्षण चरम पर होने पर उपचार (Treatment at the Peak): लोग सबसे अधिक बीमार होने पर अस्पताल जाते हैं, इसलिए कोई भी उपचार किया जाए, उसके बाद सुधार हुआ प्रतीत होने की संभावना रहती है।
- कंपनियों के मुनाफ़े का अभिसरण (Profit Convergence): 1933 में होरेस सीक्रिस्ट (Horace Secrist) ने सफल कंपनियों के साधारण हो जाने की घटना को प्रबंधन का नियम माना, लेकिन सांख्यिकीविद् हैरॉल्ड होटेलिंग (Harold Hotelling) ने बताया कि इसे केवल प्रतिगमन से समझाया जा सकता है।
प्रतिगमन को गलती से कारण मान लेने से कैसे बचें
माध्य की ओर प्रतिगमन का जोखिम यह है कि इसके कारण हम बिना कुछ किए भी होने वाले बदलाव को अपने किए हुए काम का प्रभाव मान बैठते हैं। इसे प्रतिगमन भ्रांति (Regression Fallacy) कहा जाता है।
(1) तुलना के लिए दूसरे समूह को भी देखें
नई शिक्षण पद्धति या उपचार का मूल्यांकन करते समय उन्हीं परिस्थितियों में ऐसे नियंत्रण समूह का भी मापन करना चाहिए जिसके साथ कोई हस्तक्षेप न किया गया हो। यदि दोनों समूहों में एक जैसा सुधार हुआ हो, तो उस बदलाव के प्रतिगमन होने की संभावना अधिक है। नैदानिक परीक्षणों में प्लेसिबो समूह रखने का एक कारण यह भी है।
(2) एक बार के बजाय कई बार मापें
चयन और मूल्यांकन के लिए उसी एक मापन का उपयोग करने के बजाय, कई मापनों के औसत के आधार पर निर्णय लेने से संयोग की भूमिका कम होती है।
(3) चरम प्रदर्शन के बाद आए बदलाव की व्याख्या में जल्दबाज़ी न करें
सर्वश्रेष्ठ या सबसे खराब प्रदर्शन के तुरंत बाद आए बदलाव में पहले प्रतिगमन की संभावना पर विचार करें और पर्याप्त समय बीतने के बाद उसके कारणों की जाँच करें।
माध्य की ओर प्रतिगमन एक सांख्यिकीय घटना है, जिसमें चरम परिणामों में शामिल संयोग का प्रभाव अगले मापन में हट जाता है और मान माध्य की ओर बढ़ता है। गैल्टन के कद संबंधी अध्ययन से शुरू हुआ यह विचार प्रशंसा और डाँट, उपचार के प्रभाव और कंपनियों के प्रदर्शन का अधिक संयम से आकलन करने में मदद करता है।
चौंकाने वाले आँकड़ों के बाद आए बदलाव का कारण खोजने से पहले यह देखना कि उसमें संयोग के सामान्य स्तर पर लौटने की कितनी भूमिका है—यही माध्य की ओर प्रतिगमन की समझ को रोज़मर्रा के जीवन में लागू करने की दिशा में पहला कदम है।
