अगर आपने कभी नमकीन के हर पैकेट में मिलने वाले स्टिकर जमा किए हैं, तो आपको याद होगा कि शुरुआत में हर पैकेट खोलने पर नया स्टिकर मिलता था और लगता था कि जल्द ही पूरा संग्रह तैयार हो जाएगा। लेकिन जब एल्बम लगभग भर जाता है, तो बार-बार वही स्टिकर मिलने लगते हैं जो पहले से आपके पास हैं, और आखिरी एक-दो स्टिकर आसानी से नहीं मिलते। ऐसा किस्मत खराब होने से नहीं, बल्कि इसलिए होता है कि प्रायिकता इसी तरह काम करती है। इस घटना को गणित के माध्यम से समझाने वाली समस्या ही ‘कूपन संग्राहक समस्या (Coupon Collector's Problem)’ है।
सरल शब्दों में, कूपन संग्राहक समस्या प्रायिकता की वह समस्या है जो पूछती है कि ‘जब कई प्रकारों में से कोई एक यादृच्छिक रूप से मिलता है, तो हर प्रकार को कम से कम एक बार पाने के लिए औसतन कितनी बार चयन करना होगा।’ इसका उत्तर हमारी अपेक्षा से कहीं बड़ा होता है, और मुख्य बात यह है कि इनमें से अधिकांश प्रयास आखिरी कुछ प्रकारों की प्रतीक्षा में लगते हैं।
इस लेख में हम क्रम से समझेंगे कि कूपन संग्राहक समस्या क्या है, प्रयासों की औसत संख्या की गणना का सिद्धांत क्या है, संख्याओं के साथ इसके ठोस उदाहरण क्या हैं, और दैनिक जीवन तथा तकनीक में इसका उपयोग कहाँ होता है और किन बातों का ध्यान रखना चाहिए।
आखिरी एक कूपन सबसे महँगा पड़ता है, कूपन संग्राहक समस्या
कूपन संग्राहक समस्या क्या है
इस समस्या का नाम उन प्रचार अभियानों से आया है जिनमें सीरियल के हर डिब्बे में एक कूपन रखा जाता था और सभी प्रकार जमा करने पर पुरस्कार दिया जाता था। गणितीय रूप से इसमें निम्नलिखित शर्तें मानी जाती हैं।
(1) प्रकारों की संख्या निश्चित होती है
जमा करने के लिए कुल n प्रकार के कूपन होते हैं, और संग्राहक को यह संख्या पहले से मालूम होती है।
(2) हर बार यादृच्छिक रूप से एक कूपन मिलता है
हर बार एक डिब्बा खरीदने पर n प्रकारों में से कोई एक समान प्रायिकता से मिलता है, और पहले क्या मिला था, इसका अगले परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
(3) एक ही कूपन दोबारा मिल सकता है
जो कूपन पहले से आपके पास है, वह फिर मिल सकता है। एक ही कूपन का बार-बार मिलना ही संग्रह पूरा होने में अधिक समय लगने का कारण है।
इसे पासे के उदाहरण से कहें, तो यह उसी प्रश्न के समान है कि ‘पासे के सभी छह फलक कम से कम एक बार आने तक उसे औसतन कितनी बार फेंकना होगा।’
प्रयासों की औसत संख्या कैसे निकालें
संग्रह की प्रक्रिया को ‘एक नया प्रकार मिलने तक’ के चरणों में बाँटने से गणना आसान हो जाती है।
(1) शुरुआत में जो भी मिले, वह नया होता है
जब आपके पास कुछ भी नहीं होता, तो पहली बार मिलने वाला कूपन निश्चित रूप से नया प्रकार होता है, इसलिए एक प्रयास पर्याप्त है।
(2) जितने अधिक प्रकार जमा होते हैं, नया मिलने की प्रायिकता उतनी घटती है
अगर आपके पास पहले से k प्रकार हैं, तो नया प्रकार मिलने की प्रायिकता (n - k) / n है। सफलता की प्रायिकता p वाले किसी कार्य को सफल होने तक दोहराने पर औसतन 1 / p प्रयास लगते हैं, इसलिए इस चरण में औसतन n / (n - k) प्रयास आवश्यक होते हैं।
(3) सभी चरणों को जोड़ें
हर चरण के औसत को जोड़ने पर कुल औसत n × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) होता है। कोष्ठक के भीतर के योग को हार्मोनिक संख्या कहते हैं, और n बड़ा होने पर यह लगभग n × (n का प्राकृतिक लघुगणक) + 0.577 × n तक बढ़ता है। फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-सिमोन लाप्लास (Pierre-Simon Laplace) ने भी 1812 में प्रकाशित अपनी प्रायिकता की पुस्तक में इस समस्या पर चर्चा की थी।
पासे के लिए सीधे गणना करने पर इसे समझना आसान है। पहला फलक आने में औसतन 1 प्रयास, दूसरा नया फलक आने में 6/5 प्रयास, तीसरा आने में 6/4 प्रयास, चौथा आने में 6/3 प्रयास, पाँचवाँ आने में 6/2 प्रयास और आखिरी छठा फलक आने में 6/1 प्रयास लगते हैं। इन्हें जोड़ने पर लगभग 14.7 प्रयास होते हैं, जिनमें से केवल आखिरी फलक की प्रतीक्षा में औसतन 6 प्रयास लगते हैं।
जैसा कि इस सूत्र से दिखता है, आखिरी चरण में, जब केवल एक प्रकार बाकी रह जाता है, तो अकेले उसी के लिए औसतन n प्रयासों तक प्रतीक्षा करनी पड़ती है। पहले से जितने अधिक प्रकार जमा हों, नया प्रकार मिलना उतना ही कठिन होता जाता है, और यही संरचना संग्रह पूरा होने का समय बढ़ाती है।
संख्याओं में संग्रह की वास्तविकता
गणना के परिणामों को ठोस संख्याओं में देखने पर स्पष्ट हो जाता है कि वे हमारी सहज अपेक्षा से कितने अलग हैं।
- पासा (Die): जैसा कि पहले गणना की गई, सभी छह फलक देखने के लिए पासे को औसतन लगभग 14.7 बार फेंकना पड़ता है। लगता है कि छह बार पर्याप्त होंगे, लेकिन वास्तव में इसका दोगुने से भी अधिक लगता है।
- 10 प्रकार के कूपन (Ten Coupons): औसतन लगभग 29.3 प्रयास आवश्यक होते हैं।
- 50 प्रकार के कूपन (Fifty Coupons): औसतन लगभग 225 प्रयास आवश्यक होते हैं। इनमें शुरुआती 25 प्रकार जुटाने के लिए लगभग 34 प्रयास पर्याप्त होते हैं, लेकिन शेष 25 प्रकार जुटाने में लगभग 191 प्रयास लगते हैं।
- 100 प्रकार के कूपन (One Hundred Coupons): औसतन लगभग 519 प्रयास लगते हैं, जो प्रकारों की संख्या के पाँच गुने से भी अधिक हैं।
यहाँ दी गई संख्याएँ केवल औसत हैं, इसलिए वास्तव में कई लोगों को इससे कहीं अधिक समय लगता है। साथ ही, अगर कुछ प्रकारों को जानबूझकर कम संख्या में शामिल करके ‘दुर्लभ कार्ड’ बनाया गया हो, तो अपेक्षित प्रयासों की संख्या समान प्रायिकता वाली स्थिति से भी अधिक होगी।
कूपन संग्राहक समस्या के उपयोग और ध्यान रखने योग्य बातें
इस समस्या का उपयोग स्टिकर एल्बम से आगे कई क्षेत्रों में होता है।
(1) बिक्री संवर्धन और उपभोग की योजना
यादृच्छिक रूप से मिलने वाली संग्रहणीय वस्तुओं की संरचना ऐसी होती है कि आखिरी कुछ प्रकार पाने के लिए एक ही उत्पाद बार-बार खरीदना पड़ता है। उपभोक्ता के दृष्टिकोण से, अपेक्षित लागत की पहले से गणना कर लेना भी आवेग में की जाने वाली खरीदारी को कम कर सकता है।
(2) कंप्यूटर विज्ञान और एल्गोरिदम
इस गणना का उपयोग यह निर्धारित करने में होता है कि यादृच्छिक रूप से चुने जाने वाले तत्वों में सभी संभावनाएँ कम से कम एक बार सामने आने तक कितना समय लगेगा। यादृच्छिक एल्गोरिदम की पाठ्यपुस्तकों में इसे एक प्रमुख उदाहरण के रूप में पढ़ाया जाता है।
(3) अदला-बदली समाधान बन सकती है
अगर कई लोग साथ मिलकर संग्रह करें और दोहराई गई वस्तुएँ आपस में बदलें, तो अकेले संग्रह करने की तुलना में हर व्यक्ति को बहुत कम वस्तुएँ खरीदनी पड़ती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आपके पास बची अतिरिक्त प्रति किसी दूसरे के लिए वही आवश्यक एक प्रति हो सकती है।
(4) शेष प्रयासों का अनुमान लगाने का आधार
अगर आप पहले ही कई प्रकार जमा कर चुके हैं, तो केवल बचे हुए प्रकारों के लिए इसी तरीके से गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अगर 50 प्रकारों में से 49 प्रकार जमा हो चुके हैं, तो इसका अर्थ है कि आखिरी कूपन पाने के लिए औसतन 50 बार और चयन करना होगा।
हालाँकि, वास्तविक उत्पादों में अक्सर हर प्रकार के मिलने का अनुपात अलग होता है या उसे सार्वजनिक नहीं किया जाता, इसलिए इस गणना को केवल शुरुआती आधार मानना चाहिए।
कूपन संग्राहक समस्या दिखाती है कि संग्रह बढ़ने के साथ नई वस्तु पाना कठिन होता जाता है—यह साधारण तथ्य कितना बड़ा अंतर पैदा करता है। आखिरी एक कूपन का विशेष रूप से मुश्किल से मिलना बदकिस्मती नहीं, बल्कि प्रायिकता का निर्धारित रास्ता है।
संग्रह शुरू करने से पहले एक बार अनुमान लगा लेना कि कितने प्रयास लगेंगे और अतिरिक्त प्रतियाँ बाँटने के लिए किसी मित्र को ढूँढ़ना, समझदारी से संग्रह करने की पहली सीढ़ी है।
