En plena 2.ª Guerra Mundial, una de las mayores preocupaciones del mando aliado era saber cuántos tanques fabricaba Alemania al mes. Se recurrió a informes de espías, interrogatorios de prisioneros y misiones de reconocimiento aéreo, pero las cifras variaban mucho y, en su mayoría, estaban muy por encima de las reales. Para sorpresa de todos, la respuesta más precisa salió de unos pocos números de serie estampados en tanques capturados en el campo de batalla.
En pocas palabras, el problema de los tanques alemanes consiste en estimar cuántos objetos hay en total cuando están numerados consecutivamente desde el 1 y solo se conocen algunos de sus números. En estadística se considera un problema clásico de estimación en el que se usa el valor máximo de una muestra para calcular el máximo de la población. Recibe ese nombre por un caso en el que se aplicó durante la guerra con resultados sorprendentes.
Veremos por qué los Aliados se fijaron en los números de serie, cómo se obtiene una sencilla fórmula de estimación, qué resultados dio al compararla con los registros reales y qué aplicaciones y contramedidas siguen vigentes hoy.
Cómo estimar el total con unos pocos números
Un problema estadístico que nació en el campo de batalla
Al fabricar tanques, Alemania asignaba números de serie consecutivos y ascendentes a piezas como el chasis, el motor, la caja de cambios y las ruedas. Era una práctica habitual de las fábricas y del ejército para llevar el control de las piezas, pero para los analistas económicos aliados se convirtió en una pista valiosa.
- El origen de las pistas (Serial Numbers). Los Aliados inspeccionaban los tanques destruidos o capturados en combate y anotaban con cuidado los números estampados en las cajas de cambios, los chasis y los motores. La numeración de las cajas de cambios seguía una secuencia sin interrupciones, por lo que fue la más utilizada en el análisis.
- El secreto de las ruedas (Road Wheels). Los números estampados en las ruedas permitieron averiguar cuántos moldes se usaban para fabricarlas. Tras consultar a fabricantes británicos de ruedas, los Aliados calcularon cuántas podían producirse al mes con esos moldes.
- Una preocupación creciente (Panther Rumors). En vísperas del desembarco de Normandía de 1944, corrió el rumor de que se desplegarían en grandes cantidades los nuevos tanques Panther. Conocer la cifra exacta de producción se volvió aún más urgente.
Al número mayor se le suma el intervalo medio
¿Cómo se puede averiguar el total a partir de unos pocos números? El principio es más sencillo de lo que parece. Supongamos que se capturaron cuatro tanques y que sus números eran 19, 40, 42 y 60.
(1) El número mayor es el punto de partida
El total es de al menos 60 tanques. Si solo se observan unos pocos al azar, es raro tener la suerte de encontrar justo el último número. Por eso, tomar el mayor número observado como respuesta tiende a subestimar el total real.
(2) Se suma el tamaño medio de los intervalos
Si suponemos que los cuatro números están repartidos de manera uniforme entre 1 y 60, el intervalo medio entre los números observados es de unas 14 posiciones. Por tanto, es razonable suponer que después del 60 queda otro intervalo de ese tamaño.
(3) Una fórmula sencilla
Esto se expresa con la fórmula «estimación = número mayor + número mayor ÷ cantidad de tanques capturados − 1». Al aplicarla al ejemplo anterior, se obtiene 60 + 60 ÷ 4 - 1 = 74 tanques. Este método se conoce por dar estimaciones que, en promedio, no se desvían sistemáticamente del valor real y, entre los métodos con esa propiedad, por tener el menor margen de error.
Cifras más precisas que las de los servicios de inteligencia
Al terminar la guerra, los registros de producción del Ministerio de Armamento alemán cayeron en manos de los Aliados, que pudieron comprobar hasta qué punto habían acertado las estimaciones estadísticas.
Los informes de inteligencia daban una cifra más de cinco veces superior a la real
Para el período comprendido entre el mes 6 de 1940 y el mes 9 de 1942, los informes de inteligencia disponibles cifraban la producción alemana en unos 1,400 tanques al mes, en promedio. El cálculo a partir de los números de serie arrojó 246 tanques al mes, mientras que los registros reales, consultados tras la guerra, indicaban 245. Así, la estadística corrigió una cifra que los servicios de inteligencia habían exagerado por temor.
Una estimación acertada con las ruedas de dos tanques
Al analizar los números de 64 ruedas obtenidas de dos tanques Panther, se estimó que en el mes 2 de 1944 se habían producido 270 tanques. La cifra era muy superior a la que se manejaba hasta entonces, y los registros alemanes indicaban que la producción real había sido de 276 tanques.
Aplicaciones actuales y formas de ocultar las cifras
El análisis de números de serie siguió aplicándose más allá de los tanques. Durante la guerra también dio muy buenos resultados al estimar la producción de cohetes V-2 y se utilizó para hacerse una idea del número de fábricas, de las cadenas de suministro de piezas y de la cantidad de recursos utilizados, como el caucho.
(1) Aplicaciones fuera del ámbito militar
La misma fórmula se usó para estimar cuántas unidades se vendieron del ordenador doméstico Commodore 64, lanzado en la década de 1980. El resultado, unos 1,250 grupos de diez mil unidades, coincidió con el extremo inferior de las estimaciones del sector. Hoy se sigue aplicando el mismo principio para estimar el tamaño de un conjunto a partir de los números de producto o de socio.
(2) Cómo evitar que los números revelen el total
Si se quiere ocultar el volumen de producción, basta con evitar la numeración consecutiva. Si se asignan números elegidos al azar dentro de un intervalo mucho más amplio que el volumen real de producción, resulta difícil estimar el total a partir de unos pocos números.
(3) Cuanto menor sea la muestra, mayor debe ser la cautela
Si solo se han observado uno o dos números, el margen de error de la estimación es muy amplio. Ese margen se reduce rápidamente a medida que aumenta el número de observaciones, de modo que las estimaciones basadas en pocos datos siempre deben interpretarse con cierto margen.
El problema de los tanques alemanes muestra que incluso unos números aparentemente insignificantes pueden contener información para estimar el total. Examinar con calma las pocas pruebas disponibles permitió acercarse más a la verdad que dejarse llevar por temores imprecisos o rumores.
Deducir el tamaño del conjunto a partir de una pequeña muestra es el primer paso de la estadística para comprender con números un mundo incierto.
