제2차 세계 대전이 한창이던 때, 연합군 지휘부의 가장 큰 걱정 가운데 하나는 독일이 한 달에 전차를 몇 대나 만들어 내느냐였습니다. 첩보원의 보고와 포로 심문, 항공 정찰을 모두 동원했지만 숫자는 들쭉날쭉했고, 대부분 실제보다 훨씬 부풀려져 있었습니다. 그런데 뜻밖에도 가장 정확한 답은 전쟁터에서 노획한 전차에 찍힌 일련번호 몇 개에서 나왔습니다.

독일 전차 문제란 쉽게 말해 ‘1번부터 차례로 번호가 매겨진 물건 가운데 일부의 번호만 보고 전체가 몇 개인지 추정하는 문제’를 의미합니다. 통계학에서는 표본의 가장 큰 값을 이용해 모집단의 최댓값을 짐작하는 대표적인 추정 문제로 다루며, 전쟁 중 실제로 쓰여 놀라운 성과를 낸 사례 덕분에 이런 이름이 붙었습니다.

본 자료에서는 연합군이 일련번호에 주목하게 된 배경부터 간단한 추정 공식이 나오는 원리, 실제 기록과 비교한 결과, 그리고 오늘날까지 이어지는 활용과 대비책까지 차례로 살펴보겠습니다.

번호 몇 개로 전체를 세는 추정법

전쟁터에서 시작된 통계 문제

독일은 전차를 만들 때 차체, 엔진, 변속기, 바퀴 같은 부품마다 차례로 커지는 일련번호를 붙였습니다. 공장과 군대가 부품을 관리하기 위한 평범한 습관이었지만, 연합군 경제 분석가들에게는 귀중한 단서가 되었습니다.

• 단서의 출처(Serial Numbers): 연합군은 전투에서 파괴하거나 노획한 전차를 조사해 변속기, 차체, 엔진에 찍힌 번호를 꼼꼼히 기록했습니다. 특히 변속기 번호는 끊기지 않고 이어져 분석에 가장 많이 쓰였습니다.
• 바퀴의 비밀(Road Wheels): 바퀴에 찍힌 번호로는 바퀴를 찍어 내는 거푸집이 몇 개인지 알아냈고, 영국 바퀴 제조업체에 물어 그 거푸집으로 한 달에 만들 수 있는 바퀴 수를 계산했습니다.
• 커지는 위기감(Panther Rumors): 1944년 노르망디 상륙 작전을 앞두고 신형 판터 전차가 대량으로 쓰인다는 소문이 돌자, 정확한 생산량을 아는 일이 더욱 시급해졌습니다.

가장 큰 번호에 평균 간격을 더한다

번호 몇 개만으로 전체 개수를 어떻게 알 수 있을까요? 원리는 생각보다 단순합니다. 전차 네 대를 노획했고 번호가 19, 40, 42, 60이었다고 해 보겠습니다.

(1) 가장 큰 번호가 출발점이다
전체 개수는 적어도 60대입니다. 다만 무작위로 몇 대만 보았는데 마침 마지막 번호를 본 행운은 드물기 때문에, 가장 큰 번호를 그대로 답으로 쓰면 실제보다 작게 어림하는 쪽으로 기웁니다.

(2) 빈틈의 평균만큼 더한다
네 개의 번호가 1부터 60 사이에 고르게 흩어져 있다고 보면, 관찰한 번호 사이의 빈틈은 평균 14칸쯤 됩니다. 그러니 60 뒤에도 그 정도 빈틈이 하나 더 있다고 보는 것이 자연스럽습니다.

(3) 간단한 공식
이를 식으로 쓰면 ‘추정값 = 가장 큰 번호 + 가장 큰 번호 ÷ 노획한 수 – 1’이 됩니다. 앞의 예에 넣으면 60 + 60 ÷ 4 – 1 = 74대입니다. 이 방법은 평균적으로 실제 값에서 한쪽으로 치우치지 않으면서, 그런 방법 가운데 오차의 폭이 가장 작은 추정 방법으로 알려져 있습니다.

첩보보다 정확했던 숫자

전쟁이 끝난 뒤 독일 군수부의 생산 기록이 연합군 손에 들어오자, 통계적 추정이 얼마나 정확했는지 확인할 수 있었습니다.

첩보는 다섯 배 넘게 부풀렸다

1940년 6월부터 1942년 9월까지 독일의 월평균 전차 생산량을 두고, 기존 첩보는 약 1,400대로 내다봤습니다. 반면 일련번호로 계산한 값은 한 달에 246대였고, 전후 확인한 실제 기록은 245대였습니다. 첩보가 두려움에 부풀린 숫자를 통계가 바로잡은 셈입니다.

바퀴 두 대분이 맞힌 생산량

판터 전차 두 대에서 얻은 바퀴 64개의 번호를 분석한 결과, 1944년 2월 생산량은 270대로 추정되었습니다. 이전까지 짐작하던 것보다 훨씬 많은 숫자였는데, 독일 측 기록에 남은 실제 생산량은 276대였습니다.

오늘날의 활용과 숨기는 방법

일련번호 분석은 전차에서 끝나지 않았습니다. 전쟁 중에는 V-2 로켓 생산량 추정에서도 큰 성과를 냈고, 공장 수와 부품 공급망, 고무 같은 자원의 사용량을 짐작하는 데도 쓰였습니다.

(1) 군사 밖으로 넓어진 쓰임
같은 공식은 1980년대 출시된 가정용 컴퓨터 코모도어 64의 판매 대수를 추정하는 데 쓰였는데, 약 1,250만 대라는 결과가 업계 추정치의 낮은 쪽과 맞아떨어졌습니다. 오늘날에도 제품 번호나 회원 번호로 규모를 짐작할 때 같은 원리가 활용됩니다.

(2) 번호를 숨기는 대비책
반대로 생산 규모를 감추고 싶다면 번호를 차례대로 매기지 않으면 됩니다. 실제 생산량보다 훨씬 큰 범위에서 번호를 무작위로 골라 붙이면, 번호 몇 개를 보아도 전체 규모를 짐작하기 어렵습니다.

(3) 표본이 적을수록 조심한다
번호를 하나나 둘만 보았다면 추정값의 오차 범위가 매우 넓습니다. 관찰한 번호가 늘어날수록 범위가 빠르게 좁아지므로, 적은 자료로 내린 추정은 언제나 여유를 두고 해석해야 합니다.

독일 전차 문제는 겉으로 하찮아 보이는 숫자에도 전체를 가늠할 정보가 숨어 있다는 사실을 보여 줍니다. 막연한 두려움이나 소문보다, 손에 쥔 작은 증거를 차분히 따져 보는 편이 진실에 더 가까웠습니다.

작은 표본 속에서 전체의 크기를 읽어 내는 것, 그것이 불확실한 세상을 숫자로 가늠하는 통계학의 첫걸음입니다.