동전을 열 번 던지면 앞면이 일곱 번 나오는 일은 그리 드물지 않습니다. 그런데 같은 동전을 만 번 던지면 앞면이 나온 비율은 신기할 만큼 절반에 가까워집니다. 한 번 한 번은 전혀 예측할 수 없는데, 많이 모아 놓으면 결과가 놀랍도록 안정되는 것입니다. 이 현상을 설명하는 원리가 바로 ‘큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)’입니다.

큰 수의 법칙이란 같은 조건에서 서로 독립적인 시행을 많이 되풀이할수록 실제로 관찰한 평균이나 비율이 이론적인 기댓값에 점점 가까워진다는 확률론의 기본 정리를 의미합니다. 야코프 베르누이가 처음 증명해 1713년 출간된 책에서 ‘황금 정리’라고 불렀고, 오늘날 보험료 계산부터 여론조사, 카지노 운영까지 숫자로 위험을 다루는 거의 모든 분야를 떠받치고 있습니다.

본 자료에서는 큰 수의 법칙의 뜻과 기본 원리부터 이 법칙이 만들어진 역사, 사람들이 흔히 빠지는 오해, 그리고 실생활에서 쓰이는 사례까지 쉽게 이해할 수 있도록 정리합니다.

큰 수의 법칙의 원리와 활용

큰 수의 법칙이란 무엇인가?

주사위를 한 번 던지면 1부터 6까지 어느 눈이 나올지 알 수 없습니다. 하지만 이론적으로 주사위 눈의 평균, 곧 기댓값은 (1+2+3+4+5+6) ÷ 6 = 3.5입니다. 처음 몇 번은 평균이 2가 되기도 하고 5가 되기도 하지만, 수백 번, 수천 번 던질수록 나온 눈의 평균은 3.5 근처에 머무르게 됩니다.

(1) 표본 평균과 기댓값
실제로 관찰한 값들의 평균을 표본 평균이라고 합니다. 큰 수의 법칙은 시행 횟수 n이 커질수록 표본 평균이 기댓값에서 크게 벗어날 확률이 0에 가까워진다고 말합니다.

(2) 두 가지 형태
수학에서는 이 법칙을 두 가지 강도로 나누어 설명합니다.

• 약한 큰 수의 법칙(Weak Law of Large Numbers): 시행 횟수가 충분히 많으면 표본 평균이 기댓값 근처에 있을 확률이 1에 가까워진다는 내용입니다.
• 강한 큰 수의 법칙(Strong Law of Large Numbers): 시행을 끝없이 이어 가면 표본 평균이 거의 확실하게 기댓값으로 수렴한다는 더 강한 내용입니다.

큰 수의 법칙은 어떻게 탄생했을까?

사람들은 오래전부터 많이 해 보면 결과가 고르게 나온다는 사실을 경험으로 알고 있었습니다. 이 직관을 처음 수학적으로 증명한 사람이 스위스의 수학자 야코프 베르누이입니다.

(1) 베르누이의 황금 정리
베르누이는 약 20년 동안 이 문제를 연구했고, 그 결과는 그가 세상을 떠난 뒤인 1713년 『추측술(Ars Conjectandi)』에 실려 출간되었습니다. 그는 이 결과를 ‘황금 정리’라고 부를 만큼 자랑스러워했습니다.

(2) 이름을 붙인 푸아송
‘큰 수의 법칙’이라는 이름은 1837년 프랑스의 수학자 시메옹 드니 푸아송이 처음 사용했습니다. 이후 체비쇼프가 1846년 엄밀한 증명을 내놓았고, 20세기에 들어 보렐과 콜모고로프가 강한 큰 수의 법칙을 완성하면서 현대 확률론의 기둥이 되었습니다.

큰 수의 법칙에 대한 흔한 오해

큰 수의 법칙은 자주 잘못 해석됩니다. 가장 대표적인 예가 도박사의 오류입니다.

(1) 도박사의 오류
1913년 8월 모나코 몬테카를로 카지노의 룰렛에서 검은색이 26번 연속으로 나온 일이 있었습니다. 사람들은 이제 빨간색이 나올 차례라며 점점 더 많은 돈을 걸었다가 큰돈을 잃었습니다. 그러나 룰렛 공은 앞선 결과를 기억하지 못하므로, 매번 빨간색이 나올 확률은 그대로입니다.

(2) 메워지는 것이 아니라 묻히는 것
큰 수의 법칙은 앞서 치우친 결과를 뒤에서 되갚아 준다는 뜻이 아닙니다. 시행이 많아지면 처음의 치우침이 엄청난 양의 새 결과 속에 희석되어 비율이 기댓값에 가까워질 뿐입니다. 그래서 앞면과 뒷면이 나온 횟수의 차이 자체는 오히려 커질 수도 있습니다.

(3) 작은 수의 법칙
심리학자 트버스키와 카너먼은 사람들이 몇 번 안 되는 결과만 보고도 전체를 대표한다고 믿는 경향을 ‘작은 수의 법칙’이라고 꼬집었습니다. 적은 사례로 성급하게 결론을 내리는 것은 큰 수의 법칙을 거꾸로 쓰는 셈입니다.

큰 수의 법칙은 어디에 쓰일까?

큰 수의 법칙은 개인에게는 예측할 수 없는 일을 집단 전체로는 계산할 수 있게 해 줍니다. 덕분에 불확실한 위험을 숫자로 관리하는 여러 제도가 가능해졌습니다.

• 보험(Insurance): 한 사람이 언제 사고를 당할지는 알 수 없지만, 가입자가 많으면 전체 사고 건수가 예측 가능해져 적정한 보험료를 정할 수 있습니다.
• 여론조사(Opinion Poll): 무작위로 뽑은 표본이 클수록 표본의 지지율이 전체 국민의 실제 지지율에 가까워집니다.
• 카지노(Casino): 한 판에서는 손님이 이길 수 있어도, 수많은 판이 쌓이면 카지노에 유리한 기댓값이 그대로 수익으로 나타납니다.
• 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulation): 컴퓨터로 무작위 실험을 수없이 되풀이해 복잡한 문제의 답을 어림하는 계산 방법입니다.

다만 이 법칙이 성립하려면 각 시행이 서로 독립적이고 조건이 같아야 하며, 표본이 한쪽으로 치우치지 않아야 합니다. 편향된 방식으로 모은 자료라면 아무리 많이 모아도 엉뚱한 값으로 다가갈 뿐입니다.

큰 수의 법칙은 우연이 가득한 세상에도 질서가 숨어 있다는 사실을 보여 줍니다. 한 번의 결과에 일희일비하기보다 충분히 많은 경험이 쌓였을 때 드러나는 흐름을 볼 줄 알아야 합니다.

적은 사례로 판단을 서두르지 않는 태도, 그것이 올바른 통계적 사고의 첫걸음입니다.