सर्वेक्षण पूरा होने पर हमारे पास बस एक नमूना और एक औसत बचता है। यह औसत समष्टि के वास्तविक मान के कितना करीब है, यह जानने के लिए वही सर्वेक्षण सैकड़ों बार दोहराना होगा, लेकिन समय और लागत के कारण व्यवहार में ऐसा करना लगभग असंभव है। तो क्या केवल एक बार किए गए सर्वेक्षण से यह भी जानने का कोई तरीका है कि उसके परिणामों में कितना उतार-चढ़ाव हो सकता है?
इसका एक तरीका है। उपलब्ध नमूने को समष्टि की तरह मानकर उसी में से बार-बार नमूने चुने जाते हैं। इसे बूटस्ट्रैप (Bootstrapping) कहते हैं। यह एक सांख्यिकीय तकनीक है, जो कंप्यूटर की गणना शक्ति का उपयोग करके जटिल सूत्रों के बिना भी अनुमान की त्रुटि और विश्वास अंतराल निकालने देती है।
इस सामग्री में हम क्रम से देखेंगे कि बूटस्ट्रैप किस सिद्धांत पर काम करता है, व्यवहार में इसकी गणना किस क्रम में होती है, इसका उपयोग कहाँ होता है और किन परिस्थितियों में सावधानी बरतनी चाहिए।
नमूने से दोबारा नमूने चुनने की सांख्यिकी
उपलब्ध नमूने से दोबारा चयन करने का विचार
बूटस्ट्रैप का परिचय अमेरिकी सांख्यिकीविद् ब्रैडली एफ्रॉन (Bradley Efron) ने 1979 में अपने शोधपत्र 「बूटस्ट्रैप विधियाँ: जैकनाइफ पर एक और नज़र」 में दिया था। इसका नाम पश्चिमी अभिव्यक्ति से आया है, जिसमें अपने जूतों की डोरियाँ खींचकर खुद को ऊपर उठाने की बात कही जाती है। इसमें बाहरी मदद के बिना केवल उपलब्ध आँकड़ों से समस्या हल करने का भाव निहित है।
(1) नमूने को समष्टि का छोटा रूप मानना
समष्टि अज्ञात है, लेकिन नमूना हमारे सामने है। यह मानते हुए कि नमूना कुछ हद तक समष्टि जैसा है, हम नमूने से दोबारा चुने गए आँकड़ों और मूल नमूने के बीच के अंतर को समष्टि और नमूने के संबंध के अनुरूप समझते हैं।
(2) चुने गए मान को वापस रखना
इसे प्रतिस्थापन सहित नमूनाकरण कहते हैं। एक बार चुना गया मान अगले चयन में फिर चुना जा सकता है, इसलिए एक ही नमूने से हर बार थोड़ा अलग नया नमूना बनता है।
(3) इसकी जड़ में है जैकनाइफ
बूटस्ट्रैप से पहले जैकनाइफ (Jackknife) विधि थी, जिसमें प्रेक्षित मानों को एक-एक करके हटाकर दोबारा गणना की जाती थी और त्रुटि का अंदाज़ लगाया जाता था। बूटस्ट्रैप इससे एक कदम आगे बढ़कर प्रतिस्थापन सहित नमूनाकरण से कहीं अधिक विविध नमूने बनाता है।
एक सर्वेक्षण को हज़ारों आभासी सर्वेक्षणों में बदल देने का विचार इस तकनीक का शुरुआती बिंदु है। इसमें नए आँकड़े इकट्ठा करने के बजाय उपलब्ध जानकारी को अलग-अलग दृष्टिकोणों से बार-बार देखा जाता है। इसलिए शुरुआत से ही यह याद रखना चाहिए कि इससे उन तथ्यों का पता नहीं चलता जो नमूने में मौजूद ही नहीं हैं।
बूटस्ट्रैप की गणना का क्रम
यह प्रक्रिया इतनी सरल है कि इसे एक लूप से प्रोग्राम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 4, 5 जैसे पाँच मानों में से प्रतिस्थापन सहित पाँच बार चयन करने पर 2, 5, 4, 4, 1 जैसा नया नमूना मिलता है, जिसमें कुछ मान दोहराए जाते हैं और कुछ छूट जाते हैं।
- पुनर्नमूनाकरण (Resampling): प्रतिस्थापन सहित चयन करके मूल नमूने के समान आकार का एक नया नमूना बनाएँ।
- सांख्यिकी की गणना (Statistic): नए नमूने से वह मान निकालें जिसे आप जानना चाहते हैं, जैसे औसत या माध्यिका।
- पुनरावृत्ति (Repetition): ऊपर की प्रक्रिया आम तौर पर 1,000 से 10,000 बार दोहराकर मान इकट्ठा करें।
- वितरण को समझना (Distribution): इकट्ठा किए गए मानों का हिस्टोग्राम बनाने पर एक नज़र में दिखता है कि अनुमान में कितना उतार-चढ़ाव होता है।
इस तरह प्राप्त वितरण का फैलाव मानक त्रुटि होता है। मानों को छोटे से बड़े क्रम में रखने के बाद निचले सिरे से 2.5 प्रतिशत और ऊपरी सिरे से 2.5 प्रतिशत हिस्से काट देने पर 95 प्रतिशत विश्वास अंतराल मिलता है। इसे प्रतिशतक विधि कहते हैं। पुनरावृत्तियों की संख्या बढ़ाने पर परिणाम अधिक स्थिर होते हैं, लेकिन इससे नमूने में मौजूद जानकारी से अधिक कुछ पता नहीं चलता। साथ ही, प्रतिस्थापन सहित नमूनाकरण में किसी मूल मान के एक बार भी न चुने जाने की संभावना नमूने का आकार बढ़ने के साथ लगभग 36.8 प्रतिशत के करीब पहुँच जाती है। इसलिए नए नमूने में मूल मानों के लगभग 63.2 प्रतिशत अलग-अलग मान शामिल होते हैं।
सूत्र उपलब्ध न होने पर भी उपयोग के क्षेत्र
पारंपरिक सांख्यिकी का उपयोग औसत जैसे मानों के लिए सबसे सुविधाजनक है, जिनके सूत्र अच्छी तरह ज्ञात हैं। वहीं माध्यिका, सहसंबंध गुणांक और ऑड्स अनुपात जैसे मानों के लिए, जिनकी त्रुटि के सूत्र जटिल हैं या उपलब्ध ही नहीं हैं, बूटस्ट्रैप में वही प्रक्रिया ज्यों की त्यों लागू की जा सकती है।
(1) विश्वास अंतराल का अनुमान
जब यह मानना कठिन हो कि आँकड़े सामान्य वितरण का पालन करते हैं, तब कम मान्यताओं के साथ अंतराल निकाला जा सकता है। सर्वेक्षणों, नैदानिक आँकड़ों और प्रयोगों के परिणामों की अनिश्चितता बताने में इसका व्यापक उपयोग होता है।
(2) मशीन लर्निंग में बैगिंग
लियो ब्राइमन (Leo Breiman) द्वारा 1996 में प्रस्तावित बैगिंग (Bagging) में हर बूटस्ट्रैप नमूने पर अलग मॉडल प्रशिक्षित किया जाता है और फिर उनके परिणामों को जोड़कर पूर्वानुमान को स्थिर बनाया जाता है। यह तरीका रैंडम फ़ॉरेस्ट जैसी विधियों का आधार बना।
(3) वंशवृक्ष की विश्वसनीयता
1985 में जोसेफ़ फ़ेलज़ेनस्टाइन (Joseph Felsenstein) ने जीवों के विकासीय वंशवृक्ष कितने विश्वसनीय हैं, इसका मूल्यांकन करने के लिए बूटस्ट्रैप का उपयोग किया। इसमें आँकड़ों से दोबारा नमूने चुनकर कई बार वंशवृक्ष बनाए जाते हैं और एक ही शाखा कितनी बार दिखाई देती है, इसे विश्वसनीयता का माप माना जाता है।
(4) मॉडल की स्थिरता की जाँच
आँकड़ों से दोबारा नमूने चुनने पर भी वही निष्कर्ष बार-बार मिलता है या नहीं, यह देखने से अंदाज़ लगाया जा सकता है कि विश्लेषण का परिणाम संयोग से मिला है या ठोस है।
नए सूत्र व्युत्पन्न किए बिना गणना से त्रुटि निकालने की इस सुविधा के कारण यह कई क्षेत्रों में एक बुनियादी उपकरण बन गया है।
वे समस्याएँ जिन्हें बूटस्ट्रैप हल नहीं कर सकता
बूटस्ट्रैप कोई जादू नहीं है, इसलिए इसके उपयोग की निश्चित शर्तें हैं। इन सीमाओं को जाने बिना इसका उपयोग करने पर ऐसे अंतराल मिल सकते हैं जो विश्वसनीय दिखते हैं, लेकिन गलत होते हैं।
(1) नमूना खराब हो तो परिणाम भी खराब
बूटस्ट्रैप केवल उपलब्ध नमूने से दोबारा चयन करता है, इसलिए यदि शुरुआती नमूना पक्षपाती है, तो वही पक्षपात आगे भी बना रहता है। यह गलत ढंग से इकट्ठा किए गए आँकड़ों को सुधार नहीं सकता।
(2) नमूना बहुत छोटा हो या चरम मानों का विश्लेषण करना हो
यदि प्रेक्षित मान बहुत कम हों या अधिकतम मान जैसे किसी चरम मान का अनुमान लगाया जा रहा हो, तो बूटस्ट्रैप ठीक से काम नहीं कर सकता।
(3) जब मान आपस में जुड़े हों
समय शृंखला जैसे आँकड़ों में आगे-पीछे के मान एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं। उनमें से एक-एक मान यादृच्छिक रूप से चुनने पर यह संबंध टूट जाता है। ऐसी स्थिति में ब्लॉक बूटस्ट्रैप (Block Bootstrap) का उपयोग किया जाता है, जिसमें लगातार आने वाले मानों के पूरे समूह चुने जाते हैं।
एक अच्छा उपकरण उस व्यक्ति के हाथों में अपनी उपयोगिता दिखाता है, जो उसके उपयोग की सीमाएँ जानता है। उपलब्ध जानकारी कितनी विश्वसनीय है, यह पूछना और उसी के भीतर से उत्तर खोजना—यही बूटस्ट्रैप का पहला कदम है।
