देशों की जनसंख्या, नदियों की लंबाई और कंपनियों के लेनदेन की रकम जैसी दुनिया भर की संख्याओं के पहले अंक इकट्ठा करें, तो लगता है कि 1 से 9 तक सभी अंक बराबर बार आएँगे। लेकिन वास्तव में गिनने पर 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ सबसे अधिक, लगभग हर तीन में से एक होती हैं, जबकि 9 से शुरू होने वाली संख्याएँ हर बीस में से एक भी नहीं होतीं। इस अप्रत्याशित नियमितता को समझाने वाली अवधारणा ही ‘बेनफोर्ड का नियम (Benford's Law)’ है।
सरल शब्दों में, बेनफोर्ड का नियम ‘स्वाभाविक रूप से बने अनेक संख्यात्मक आँकड़ों में पहला अंक जितना छोटा होता है, उसके उतनी ही अधिक बार दिखाई देने की घटना’ को कहते हैं। पहला अंक d होने की प्रायिकता log₁₀(1+1/d) से निकाली जाती है। इस सूत्र के अनुसार 1 लगभग 30.1%, 2 लगभग 17.6% और 9 लगभग 4.6% के अनुपात में दिखाई देते हैं।
इस लेख में बेनफोर्ड के नियम की मूल परिभाषा, ऐसा वितरण बनने का सिद्धांत, इस नियम का पालन करने वाले और न करने वाले आँकड़े, लेखापरीक्षा जैसे इसके व्यावहारिक उपयोग और ध्यान रखने योग्य बातों को सरल ढंग से समझाया गया है।
बेनफोर्ड का नियम: पहले अंक में छिपी नियमितता
बेनफोर्ड का नियम क्या है?
इस नियमितता पर सबसे पहले ध्यान देने वाले व्यक्ति 19वीं शताब्दी के अमेरिकी खगोलशास्त्री साइमन न्यूकॉम्ब थे। 1881 में उन्होंने देखा कि गणना में इस्तेमाल होने वाली लघुगणक सारणी की पुस्तक में आगे के वे पन्ने, जिनमें 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ थीं, पीछे के पन्नों से कहीं अधिक घिसे हुए थे। इसका अर्थ था कि लोग 1 से शुरू होने वाली संख्याएँ अधिक बार देखते थे।
यह अवलोकन लंबे समय तक भुला दिया गया, फिर 1938 में अमेरिकी भौतिक विज्ञानी फ्रैंक बेनफोर्ड ने इसे दोबारा सामने रखा। उन्होंने नदियों के जलग्रहण क्षेत्रों के क्षेत्रफल, शहरों की जनसंख्या, भौतिक नियतांकों और अखबारों में छपी संख्याओं जैसे परस्पर असंबंधित 20 प्रकार के आँकड़ों से 2 × दस हज़ार से अधिक संख्याएँ एकत्र करके उसी प्रवृत्ति की पुष्टि की। इसके बाद इस नियम को उनका नाम दिया गया। चूँकि इसे सबसे पहले खोजने वाले के बजाय लोकप्रिय बनाने वाले का नाम मिला, इसलिए सांख्यिकी में इसे कभी-कभी नामकरण की विडंबना के उदाहरण के रूप में भी प्रस्तुत किया जाता है।
प्रत्येक पहले अंक का अपेक्षित अनुपात इस प्रकार है।
- अंक 1 (एक): लगभग 30.1% के साथ सबसे अधिक दिखाई देता है।
- अंक 2 से 3 (दो से तीन): इनके अनुपात क्रमशः लगभग 17.6% और 12.5% हैं।
- अंक 4 से 6 (चार से छह): इनके अनुपात क्रमशः लगभग 9.7%, 7.9% और 6.7% हैं।
- अंक 7 से 9 (सात से नौ): इनके अनुपात क्रमशः लगभग 5.8%, 5.1% और 4.6% होते हैं, यानी लगातार घटते जाते हैं।
छोटे अंक शुरुआत में अधिक बार क्यों आते हैं?
बेनफोर्ड का नियम पहली बार सुनने पर अजीब लगता है, लेकिन संख्याओं के बढ़ने की प्रक्रिया पर विचार करें तो इसे सहजता से समझा जा सकता है।
(1) 1 से 2 तक का रास्ता सबसे लंबा है
मान लें कि कोई मान 100 से शुरू होकर लगातार बढ़ता है। पहला अंक 1 से 2 होने के लिए मान को 100 से 200 तक पहुँचना होगा, यानी दोगुना होना होगा। इसके विपरीत, 900 से 1,000 तक पहुँचने के लिए केवल लगभग 11% बढ़ना पर्याप्त है। इसलिए बढ़ता हुआ मान उस अंतराल में सबसे अधिक समय रहता है जहाँ पहला अंक 1 होता है।
(2) इकाई बदलने पर भी बना रहने वाला वितरण
कीमतों को वॉन से डॉलर में या लंबाई को मीटर से फुट में बदलने पर भी पहले अंक का वितरण वैसा ही बने रहना बेनफोर्ड वितरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। जिन आँकड़ों के परिणाम इकाई बदलने से नहीं बदलते, उनमें पहले अंक का वितरण इसी रूप का अनुसरण करता है।
(3) कई परिमाण स्तरों में फैले आँकड़े
मानों का दायरा जितना अधिक व्यापक होता है और दहाइयों से लेकर कई दस लाख तक जैसे कई परिमाण स्तरों में फैला होता है, यह नियम उतना ही अच्छी तरह लागू होता है। 2 की घातों या फिबोनाची अनुक्रम जैसे निश्चित अनुपात से बढ़ने वाले अनुक्रम भी इस वितरण का पालन करते हैं।
इस प्रकार, बेनफोर्ड का नियम उस दुनिया में स्वाभाविक रूप से सामने आता है जहाँ संख्याएँ जोड़ के बजाय गुणा के ढंग से, यानी एक निश्चित अनुपात में बढ़ती और घटती हैं। लघुगणकीय पैमाने पर 1 और 2 के बीच की दूरी, 8 और 9 के बीच की दूरी से कहीं अधिक होती है, इसलिए उस बड़े अंतराल में अधिक संख्याएँ आती हैं।
नियम का पालन करने वाले और न करने वाले आँकड़े
बेनफोर्ड का नियम हर संख्या पर लागू होने वाला सार्वभौमिक नियम नहीं है। आँकड़े कैसे बने हैं, इसके आधार पर वे इसका पालन भी कर सकते हैं और इससे पूरी तरह अलग भी हो सकते हैं।
(1) नियम का अच्छी तरह पालन करने वाले आँकड़े
देशों की जनसंख्या, नदियों की लंबाई, कंपनियों की बिक्री और लेनदेन की रकम तथा शेयर कारोबार की मात्रा जैसे स्वाभाविक रूप से बनने वाले और परिमाण में बड़े अंतर वाले आँकड़े आम तौर पर बेनफोर्ड वितरण के करीब होते हैं।
(2) नियम का पालन न करने वाले आँकड़े
टेलीफोन नंबर, डाक कोड और निवासी पंजीकरण संख्या जैसी मनुष्यों द्वारा तय करके दी गई संख्याओं का इस नियम से संबंध नहीं है। वयस्कों की ऊँचाई या 100 अंकों की परीक्षा में प्राप्त अंकों जैसे संकरे दायरे में केंद्रित आँकड़े और निश्चित ऊपरी या निचली सीमा वाले आँकड़े भी इसका पालन नहीं करते। यही बात उन आँकड़ों पर भी लागू होती है जिनमें 9,900 वॉन जैसी जानबूझकर तय की गई कीमतें बहुत अधिक हों।
इसलिए नियम लागू करने से पहले यह देखना सबसे ज़रूरी है कि आँकड़ों की संख्याएँ स्वाभाविक रूप से बनी हैं या नहीं और क्या वे कई परिमाण स्तरों में फैली हुई हैं।
लेखापरीक्षा में बेनफोर्ड के नियम का उपयोग
बेनफोर्ड के नियम का सबसे अधिक उपयोग लेखापरीक्षा और धोखाधड़ी का पता लगाने में होता है। लोग जब मनगढ़ंत संख्याएँ बनाते हैं, तो अक्सर 1 से 9 तक के अंकों का अपेक्षाकृत समान रूप से उपयोग करते हैं या कुछ खास अंकों से बचते हैं। इसलिए बड़ी संख्या में लेनदेन के अभिलेखों में पहले अंक का वितरण बेनफोर्ड वितरण से बहुत अलग हो, तो लेखापरीक्षक उस हिस्से को प्राथमिक जाँच के लिए चुनते हैं। 1990 के दशक से लेखांकन विशेषज्ञ मार्क निग्रिनी और अन्य शोधकर्ताओं के अध्ययनों के माध्यम से यह तरीका व्यावहारिक लेखापरीक्षा में एक विश्लेषण उपकरण के रूप में स्थापित हुआ।
इसी सिद्धांत का उपयोग शोध के आँकड़ों में हेरफेर की जाँच करने और आर्थिक आँकड़ों की समीक्षा करने में भी होता है। हालाँकि, चुनाव परिणामों जैसे क्षेत्रों में, जहाँ आँकड़ों की प्रकृति इस नियम के अनुकूल नहीं होती, व्याख्या को लेकर काफी विवाद है। इसलिए केवल विश्लेषण के परिणामों के आधार पर निष्कर्ष निकालने से बचना चाहिए।
इसका उपयोग करते समय निम्नलिखित बातें याद रखना उपयोगी है।
- बेनफोर्ड विश्लेषण धोखाधड़ी सिद्ध करने का उपकरण नहीं, बल्कि संदिग्ध बिंदुओं को चुनने का एक छँटाई उपकरण है। यदि विचलन दिखाई दे, तो उसके कारण की अलग से जाँच करनी चाहिए।
- नमूना छोटा होने पर संयोग से पैदा हुए अंतर बड़े दिखाई दे सकते हैं। इसलिए पर्याप्त संख्याएँ इकट्ठा करने के बाद तुलना करना बेहतर है।
- यदि आँकड़ों की प्रकृति ही ऐसी है कि उनकी संख्याएँ इस नियम का पालन नहीं करतीं, तो वितरण में विचलन किसी गड़बड़ी का संकेत नहीं, बल्कि स्वाभाविक परिणाम है।
बेनफोर्ड का नियम दिखाता है कि बेतरतीब लगने वाली संख्याओं में भी एक व्यवस्था छिपी होती है। संख्याओं के बाहरी रूप तक सीमित रहने के बजाय यह भी पूछना कि वे कैसे बनीं, आँकड़ों को परखने और सही ढंग से समझने का पहला कदम है।
