Khi tập hợp các chữ số đầu tiên của những con số xuất hiện khắp nơi trên thế giới, như dân số các nước, chiều dài sông hay giá trị giao dịch của doanh nghiệp, chúng ta có thể nghĩ rằng các chữ số từ 1 đến 9 sẽ xuất hiện đồng đều. Thế nhưng, khi đếm thực tế, các số bắt đầu bằng 1 lại nhiều nhất, chiếm khoảng một phần ba, còn các số bắt đầu bằng 9 chiếm chưa đến một phần hai mươi. Khái niệm giải thích quy luật bất ngờ này chính là “định luật Benford (Benford's Law)”.
Nói đơn giản, định luật Benford chỉ “hiện tượng chữ số đầu tiên càng nhỏ thì càng xuất hiện thường xuyên trong nhiều bộ dữ liệu số hình thành tự nhiên”. Xác suất để chữ số đầu tiên là d được tính bằng log₁₀(1+1/d); theo công thức này, 1 xuất hiện với tỷ lệ khoảng 30.1%, 2 khoảng 17.6%, còn 9 khoảng 4.6%.
Tài liệu này trình bày một cách dễ hiểu từ định nghĩa cơ bản của định luật Benford, nguyên lý hình thành phân bố này, những dữ liệu phù hợp và không phù hợp với định luật, đến các lĩnh vực ứng dụng thực tế như kiểm toán và những điểm cần lưu ý.
Định luật Benford: quy luật ẩn trong chữ số đầu tiên
Định luật Benford là gì?
Người đầu tiên nhận ra quy luật này là Simon Newcomb, một nhà thiên văn học người Mỹ ở thế kỷ 19. Năm 1881, ông chú ý rằng trong cuốn bảng logarit dùng để tính toán, những trang đầu chứa các số bắt đầu bằng 1 bị mòn nhiều hơn hẳn những trang phía sau. Điều đó có nghĩa là mọi người tra cứu các số bắt đầu bằng 1 thường xuyên hơn.
Quan sát này bị lãng quên trong thời gian dài, rồi được nhà vật lý người Mỹ Frank Benford nhắc lại vào năm 1938. Ông thu thập hơn 2 vạn con số từ 20 loại dữ liệu không liên quan đến nhau, như diện tích lưu vực sông, dân số thành phố, hằng số vật lý và những con số đăng trên báo, qua đó xác nhận cùng một xu hướng; từ đó, quy luật này mang tên ông. Vì quy luật mang tên người phổ biến nó thay vì người phát hiện đầu tiên, trong thống kê học, đây đôi khi được giới thiệu như một sự trớ trêu trong việc đặt tên.
Tỷ lệ kỳ vọng của từng chữ số đầu tiên như sau.
- Chữ số 1 (One): xuất hiện nhiều nhất, với tỷ lệ khoảng 30.1%.
- Các chữ số 2–3 (Two to Three): có tỷ lệ lần lượt khoảng 17.6% và 12.5%.
- Các chữ số 4–6 (Four to Six): có tỷ lệ lần lượt khoảng 9.7%, 7.9% và 6.7%.
- Các chữ số 7–9 (Seven to Nine): có tỷ lệ giảm dần, lần lượt khoảng 5.8%, 5.1% và 4.6%.
Vì sao các chữ số nhỏ thường đứng đầu?
Thoạt nghe, định luật Benford có vẻ kỳ lạ, nhưng nếu hình dung quá trình các con số tăng lên, chúng ta sẽ thấy điều này dễ hiểu một cách tự nhiên.
(1) Quãng đường từ 1 đến 2 là xa nhất
Giả sử một giá trị bắt đầu từ 100 và tăng đều đặn. Để chữ số đầu tiên chuyển từ 1 sang 2, giá trị phải tăng từ 100 lên 200, tức là tăng gấp đôi. Trong khi đó, để chuyển từ 900 lên 1,000, chỉ cần tăng khoảng 11%. Vì vậy, một giá trị đang tăng sẽ lưu lại lâu nhất trong khoảng có chữ số đầu tiên là 1.
(2) Phân bố được duy trì ngay cả khi đổi đơn vị
Một đặc điểm quan trọng của phân bố Benford là phân bố chữ số đầu tiên vẫn giữ nguyên ngay cả khi đổi giá từ won sang đô la, hay đổi chiều dài từ mét sang foot. Nếu dữ liệu có kết quả không thay đổi theo đơn vị, phân bố chữ số đầu tiên sẽ tuân theo dạng này.
(3) Dữ liệu trải rộng qua nhiều bậc độ lớn
Định luật càng phù hợp khi giá trị dữ liệu trải rộng qua nhiều bậc độ lớn, chẳng hạn từ vài chục đến vài triệu. Những dãy số tăng theo một tỷ lệ nhất định, như các lũy thừa của 2 hoặc dãy Fibonacci, cũng tuân theo phân bố này.
Tóm lại, định luật Benford là kết quả xuất hiện tự nhiên trong một thế giới mà các con số tăng giảm theo phép nhân hơn là phép cộng, tức là theo một tỷ lệ nhất định. Trên thang logarit, khoảng cách giữa 1 và 2 lớn hơn nhiều so với khoảng cách giữa 8 và 9, nên có nhiều con số rơi vào khoảng rộng đó hơn.
Dữ liệu phù hợp và không phù hợp với định luật
Định luật Benford không phải là quy luật vạn năng áp dụng cho mọi con số. Tùy theo cách dữ liệu được tạo ra, định luật có thể phù hợp hoặc hoàn toàn không phù hợp.
(1) Dữ liệu phù hợp
Những dữ liệu hình thành tự nhiên và có độ lớn chênh lệch nhiều, như dân số các nước, chiều dài sông, doanh thu và giá trị giao dịch của doanh nghiệp hay khối lượng giao dịch cổ phiếu, nhìn chung có phân bố gần với phân bố Benford.
(2) Dữ liệu không phù hợp
Những số do con người quy định và gán, như số điện thoại, mã bưu chính hay số đăng ký cư trú, không liên quan đến định luật này. Dữ liệu có giá trị tập trung trong một khoảng hẹp, như chiều cao người trưởng thành hoặc điểm thi trên thang điểm tối đa 100, cũng như dữ liệu có giới hạn trên hoặc giới hạn dưới xác định, đều không phù hợp. Dữ liệu chứa nhiều mức giá được cố ý ấn định như 9,900 won cũng vậy.
Cuối cùng, trước khi áp dụng định luật, điều cốt yếu là xem xét liệu các con số trong dữ liệu có hình thành tự nhiên và có trải rộng qua nhiều bậc độ lớn hay không.
Định luật Benford trong kiểm toán
Kiểm toán và phát hiện gian lận là những lĩnh vực ứng dụng định luật Benford nhiều nhất. Khi bịa ra các con số, con người dễ có thói quen sử dụng các chữ số từ 1 đến 9 tương đối đồng đều hoặc tránh một số chữ số nhất định. Vì vậy, nếu phân bố chữ số đầu tiên trong một lượng lớn hồ sơ giao dịch lệch đáng kể so với phân bố Benford, kiểm toán viên sẽ chọn phần đó làm đối tượng ưu tiên xem xét. Từ thập niên 1990, qua các nghiên cứu của nhà nghiên cứu kế toán Mark Nigrini và những người khác, phương pháp này đã trở thành một công cụ phân tích trong thực hành kiểm toán.
Nguyên lý tương tự cũng được ứng dụng để xem xét liệu dữ liệu nghiên cứu có bị làm giả hay không hoặc để kiểm tra các thống kê kinh tế. Tuy nhiên, trong những lĩnh vực mà đặc điểm dữ liệu không phù hợp với định luật, như kết quả bầu cử, cách diễn giải còn gây nhiều tranh luận, nên cần thận trọng để không đưa ra kết luận chỉ dựa vào kết quả phân tích.
Những điểm nên ghi nhớ khi áp dụng như sau.
- Phân tích Benford là công cụ sàng lọc để xác định những điểm đáng ngờ, chứ không phải công cụ chứng minh gian lận Đó là vai trò của phương pháp này. Nếu thấy có sai lệch, cần kiểm tra riêng nguyên nhân.
- Khi mẫu nhỏ, những khác biệt ngẫu nhiên sẽ có vẻ lớn. Nên thu thập đủ nhiều con số rồi mới so sánh.
- Nếu đặc điểm của dữ liệu khiến các con số vốn không tuân theo định luật, thì phân bố lệch khỏi định luật là kết quả đương nhiên, chứ không phải dấu hiệu bất thường.
Định luật Benford cho thấy ngay cả trong những con số tưởng chừng ngẫu nhiên cũng có trật tự ẩn giấu. Không dừng lại ở vẻ ngoài của con số mà còn đặt câu hỏi về cách nó được tạo ra chính là bước đầu tiên để xem xét dữ liệu với tinh thần hoài nghi và đọc hiểu dữ liệu đúng cách.
