घर ढूँढ़ते समय हम बार-बार एक ही दुविधा में पड़ जाते हैं। अभी देखा हुआ घर काफी पसंद आया है, लेकिन क्या तुरंत करार कर लें या कोई और बेहतर घर मिलने की उम्मीद में थोड़ा और तलाशें? बहुत जल्दी करने पर बेहतर मौका छूट सकता है, और बहुत देर तक चुनते रहने पर पहले देखा हुआ अच्छा घर किसी और को मिल जाता है।
कब रुककर चुनाव करना चाहिए, इस सवाल को गणित के ज़रिए समझने वाली एक प्रमुख समस्या ‘सचिव समस्या (Secretary Problem)’ है। इसमें आवेदकों का एक-एक करके साक्षात्कार लेते हुए उसी समय तय करना होता है कि उन्हें चुनना है या नहीं, और ऐसा तरीका ढूँढ़ना होता है जिससे सबसे योग्य व्यक्ति को चुनने की संभावना अधिकतम हो। इसके उत्तर को आम तौर पर ‘37% नियम’ कहा जाता है।
इस सामग्री में हम क्रम से देखेंगे कि सचिव समस्या के नियम क्या हैं, 37% नियम कैसे निकलता है, यह समस्या किस तरह प्रसिद्ध हुई और इसे वास्तविक जीवन में लागू करते समय किन बातों का ध्यान रखना चाहिए।
कब रुकें और चुनाव करें: सचिव समस्या
सचिव समस्या के नियम
सचिव समस्या कुछ सरल नियमों से शुरू होती है। इन नियमों के आपस में जुड़ने से चुनाव करना हमारी अपेक्षा से कहीं अधिक कठिन हो जाता है।
(1) आवेदकों की निश्चित संख्या
चुनाव केवल एक पद के लिए करना है और आवेदकों की कुल संख्या पहले से पता है। यह माना जाता है कि यदि सभी आवेदकों को एक साथ देखा जाए, तो सबसे योग्य से लेकर सबसे कम योग्य तक उनका स्पष्ट क्रम तय किया जा सकता है।
(2) यादृच्छिक क्रम में साक्षात्कार
आवेदकों का एक-एक करके यादृच्छिक क्रम में साक्षात्कार लिया जाता है। साक्षात्कारकर्ता केवल यह जान सकता है कि अब तक मिले लोगों की तुलना में वर्तमान आवेदक किस स्थान पर है; वह यह नहीं जान सकता कि जिनसे अभी मुलाकात नहीं हुई है, वे कितने योग्य हैं।
(3) ऐसा निर्णय जिसे बदला नहीं जा सकता
साक्षात्कार समाप्त होते ही तय करना होता है कि आवेदक को चुनना है या अस्वीकार करना है, और एक बार अस्वीकार किए गए व्यक्ति को दोबारा नहीं बुलाया जा सकता। लक्ष्य केवल एक है: सभी में सबसे योग्य उस एक व्यक्ति को चुनना।
37% नियम कैसे निकलता है
इस समस्या की सर्वोत्तम रणनीति आश्चर्यजनक रूप से सरल है। शुरुआत में कुछ आवेदकों को केवल परखना है और उसके बाद निर्णय लेना शुरू करना है।
(1) शुरुआत में केवल परखना
कुल आवेदकों में शुरुआती लगभग 37% को चाहे वे कितने भी पसंद आएँ, चुने बिना अस्वीकार कर दिया जाता है। यह चरण आवेदकों के स्तर का अंदाज़ा लगाकर एक मानदंड बनाने के लिए है। बहुत कम समय तक परखने पर मानदंड नीचा रह जाता है और हम किसी साधारण व्यक्ति को तुरंत चुन लेते हैं। बहुत लंबे समय तक परखने पर यह संभावना बढ़ जाती है कि सबसे योग्य व्यक्ति पहले ही अस्वीकार किया जा चुका हो।
(2) मानदंड से बेहतर पहले व्यक्ति को चुनना
इसके बाद जैसे ही ऐसा पहला आवेदक सामने आए जो पहले देखे गए सभी लोगों से बेहतर हो, उसे तुरंत चुन लिया जाता है। ऐसा करने पर सबसे योग्य व्यक्ति को चुनने की संभावना लगभग 37% होती है। यदि याद रखें कि यादृच्छिक रूप से किसी को चुनने पर 100 लोगों में सबसे योग्य व्यक्ति को चुनने की संभावना केवल 1% होती है, तो यह बहुत अधिक संभावना है।
(3) संख्या e से निकला 37%
37% का आँकड़ा गणितीय स्थिरांक e के व्युत्क्रम 1/e से निकलता है, जिसका मान लगभग 0.368 है। आवेदक 100 हों या 1 × दस करोड़, यह अनुपात लगभग समान रहता है। यदि आवेदक 10 हों, तो शुरुआती 3 को अस्वीकार करने के बाद चुनाव शुरू करने पर सफलता की संभावना लगभग 40% होती है, जो सबसे अधिक है। हालाँकि, अंत तक मानदंड से बेहतर कोई व्यक्ति सामने न आने की संभावना भी रहती है, इसलिए इस रणनीति में भी विफलता का जोखिम बना रहता है।
सचिव समस्या कैसे प्रसिद्ध हुई
सचिव समस्या किसी एक व्यक्ति के शोधपत्र से शुरू होने के बजाय लोगों के बीच मौखिक रूप से फैलने वाली समस्या थी।
- मंगेतर समस्या (Fiancée Problem): अमेरिकी गणितज्ञ मेरिल फ़्लड (Merrill M. Flood) ने 1949 में एक व्याख्यान में इसे इस नाम से प्रस्तुत किया था। उस समय यह शोधपत्र के रूप में प्रकाशित नहीं हुई थी, लेकिन गणितज्ञों के बीच मौखिक रूप से व्यापक तौर पर फैल गई।
- गूगोल खेल (Game of Googol): मार्टिन गार्डनर (Martin Gardner) ने वर्ष 1960 के 2वें महीने में विज्ञान पत्रिका ‘साइंटिफ़िक अमेरिकन’ के गणित स्तंभ में इसे इस रूप में प्रस्तुत किया। इस खेल में उलटी रखी कागज़ की पर्चियों को एक-एक करके पलटते हुए सबसे बड़ी संख्या पर रुकना होता है। इसे इस समस्या का पहला मुद्रित उल्लेख माना जाता है।
- केप्लर की दुल्हन की खोज (Kepler's Marriage Problem): खगोलशास्त्री योहानेस केप्लर (Johannes Kepler) ने अपनी पहली पत्नी को खोने के बाद 1611 से 1613 तक, 2 वर्षों के दौरान, विवाह के लिए 11 संभावित दुल्हनों पर विचार किया। यह वही समस्या नहीं थी, लेकिन इसी तरह की दुविधा के एक पुराने उदाहरण के रूप में इसका अक्सर उल्लेख किया जाता है।
इसके अलावा इसे विवाह समस्या और सुल्तान के दहेज की समस्या जैसे कई नामों से भी जाना गया है। 1989 में सांख्यिकीविद् थॉमस फ़र्ग्युसन (Thomas S. Ferguson) ने ‘सचिव समस्या को किसने हल किया?’ शीर्षक वाले लेख में इसके जटिल इतिहास को व्यवस्थित रूप से प्रस्तुत किया।
वास्तविक जीवन में लागू करते समय ध्यान देने योग्य बातें
37% नियम आकर्षक है, लेकिन वास्तविक जीवन में इसे ज्यों का त्यों अपनाने से पहले कुछ बातों पर विचार करना चाहिए।
(1) जब कुल संख्या पता न हो
वास्तविक जीवन में आवेदकों या विकल्पों की कुल संख्या पहले से जानना कठिन होता है। कुल संख्या पता न होने पर सबसे अच्छे व्यक्ति को चुनने की संभावना आम तौर पर कम हो जाती है। ऐसी परिस्थितियों के अनुरूप इस समस्या के कई परिवर्तित रूपों का अध्ययन किया गया है।
(2) जब सर्वश्रेष्ठ होना आवश्यक न हो
सचिव समस्या में केवल 1वें स्थान वाले व्यक्ति को चुनना ही सफलता माना जाता है। लेकिन वास्तविक जीवन में किसी काफी अच्छे व्यक्ति को चुनकर भी अक्सर संतुष्टि मिलती है। इस तरह लक्ष्य बदलने पर जल्दी निर्णय लेना अधिक लाभकारी हो जाता है।
(3) बहुत जल्दी रुक जाने वाले लोग
इसी तरह की परिस्थितियों पर प्रयोग करने पर देखा गया कि लोग आम तौर पर इष्टतम समय से पहले ही तलाश रोक देते हैं। इसकी व्याख्या यह है कि हर विकल्प को अलग-अलग परखने में लगने वाला समय और मेहनत ऐसे चुनावों को प्रभावित करते हैं। राजमार्ग पर पेट्रोल पंप चुनते समय या हवाई टिकट ढूँढ़ते समय पर्याप्त तुलना किए बिना जल्दबाज़ी में निर्णय लेना भी इसी तरह के उदाहरण माने जाते हैं।
सचिव समस्या और तलाश जारी रखने तथा अभी चुनाव कर लेने के बीच के संतुलन को संख्याओं के माध्यम से दिखाती है। भले ही सही उत्तर हमेशा 37% न हो, पर्याप्त जाँच-परख के बाद मानदंड तय करके निर्णय लेने का तरीका चुनाव के अनेक अवसरों पर मददगार होता है।
कब रुकना है, यह जानना ही पछतावे से मुक्त चुनाव की ओर पहला कदम है।
