何时停下来做选择：秘书问题（Secretary Problem）

找房子的时候，人们总会陷入同样的纠结：刚看的这套房子挺满意，是马上签约，还是再多看看，说不定会有更好的？太着急可能错过更好的机会，挑得太久，之前看过的好房子又可能已经被别人抢走了。

像这样用数学来推敲何时应该停下来做选择的代表性问题，就是“秘书问题（Secretary Problem）”。它指的是：逐一面试应聘者、并且必须当场决定是否录用时，如何找到让选中最优秀者的概率最大的方法。它的答案通常被称为“37%法则”。

本文将依次介绍秘书问题由哪些规则构成、37%法则背后的原理、这一问题广为人知的历史，以及应用到现实中时需要注意的地方。

秘书问题建立在几条简单的规则之上。这些规则相互交织，使挑选变得比想象中难得多。

（1）确定人数的应聘者
要招的职位只有一个，应聘者一共有多少人事先已经知道。假设把所有应聘者放在一起比较，就能从最优秀到最差清楚地排出顺序。

（2）随机顺序的面试
应聘者按随机顺序逐一面试。面试官只能知道这位应聘者在目前见过的人中排第几，无法知道尚未见到的人有多优秀。

（3）无法反悔的决定
每次面试结束后必须立即决定录用还是淘汰，一旦淘汰就不能再叫回来。目标只有一个：从所有人中选出最优秀的那一个人。

这个问题的最佳策略简单得令人惊讶：前面一部分只看不选，之后再果断出手。

（1）一开始只观察
在全部应聘者中，前面约37%的人无论多么满意都不录用，直接淘汰。这一阶段是用来建立标准、了解应聘者整体水平的时间。观察得太短，标准偏低，容易草率地选中平庸的人；观察得太长，最优秀的人很可能已经被淘汰。

（2）选出第一个超过标准的人
此后，一旦出现比之前所有人都优秀的应聘者，就立刻录用他。这样一来，选中最优秀者的概率约为37%。想想随机挑选时从100人中选中最优者的概率只有1%，这已经是非常高的概率了。

（3）来自数字e的37%
37%这个数字来自数学常数e的倒数1/e，约为0.368。无论应聘者是100人还是1亿人，这个比例都几乎不变。如果应聘者有10人，淘汰前3人之后再挑选，概率最高，约为40%。不过，也可能直到最后都没有出现超过标准的人，因此这个策略同样伴随着失败的风险。

秘书问题与其说始于某一个人的论文，不如说是经过许多人口耳相传而流传开来的问题。

未婚妻问题（Fiancée Problem）：1949年美国数学家梅里尔·弗勒德（Merrill M. Flood）在一次讲座中提出的名称。当时并未以论文形式发表，但在数学家之间口口相传，广为流传。
古戈尔游戏（Game of Googol）：1960年2月马丁·加德纳（Martin Gardner）在科学杂志《科学美国人》的数学专栏中介绍的形式。这是一种把背面朝上的纸条一张张翻开、在最大的数上停下的游戏，被认为是这一问题最早的印刷记录。
开普勒的择偶（Kepler’s Marriage Problem）：天文学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）在失去第一任妻子后，从1611年到1613年的两年间考察了11位新娘候选人。虽然不是同一个问题，但常被作为类似困扰的古老例子来介绍。

此外，它还被称为婚姻问题、苏丹嫁妆问题等多种名称。1989年，统计学家托马斯·弗格森（Thomas S. Ferguson）在《谁解决了秘书问题？》一文中梳理了它错综复杂的历史。

37%法则很有吸引力，但在直接搬到现实生活中之前，还有一些需要考虑的地方。

（1）不知道总人数时
现实中很难事先知道应聘者或候选者一共有多少。不知道总数时，选中最优者的概率通常会更低，针对这种情况调整的多种变形问题也一直在被研究。

（2）不一定非要最好时
秘书问题只把第一名算作成功。但实际上，选到相当不错的人往往就已经令人满意；如果这样改变目标，更早做决定反而更有利。

（3）停得太早的人们
用类似情境做实验时，人们大多倾向于比最佳时机更早停止搜索。这被解释为逐一考察候选者所花费的时间和精力影响了他们的选择。在高速公路上挑加油站、查找机票时没有充分比较就匆忙决定，也常被举为类似的例子。

秘书问题用数字展示了“继续看看”与“现在就选”之间的平衡。即使正确答案并不总是37%，充分观察后建立标准再果断决定的态度，在许多需要选择的时刻都会有所帮助。

懂得何时停下，是做出无悔选择的第一步。

继续探索