जिस दिन आपको किसी ऐसे दोस्त की याद आती है जिससे लंबे समय से संपर्क नहीं हुआ, उसी दिन उसका फ़ोन आ जाता है। हम अक्सर ऐसे क्षणों को नियति या चमत्कार कहते हैं। लेकिन एक गणितज्ञ ने कहा कि ऐसी घटनाओं का हमारी अपेक्षा से कहीं अधिक बार, लगभग महीने में एक बार होना स्वाभाविक है। यही ‘लिटिलवुड का नियम (Littlewood's Law)’ है।
सरल शब्दों में, लिटिलवुड का नियम एक अनुभवजन्य नियम है, जिसके अनुसार ‘100 × दस हज़ार बार में एक बार होने जितनी दुर्लभ घटना भी एक सामान्य व्यक्ति के जीवन में लगभग महीने में एक बार घटती है।’ इसका नाम ब्रिटिश गणितज्ञ जॉन एडेंसर लिटिलवुड (John Edensor Littlewood) के नाम पर रखा गया है। चमत्कार जैसे लगने वाले संयोगों को अलौकिक शक्तियों के बिना समझाने वाले विचार के रूप में इसका अक्सर उल्लेख किया जाता है।
इस लेख में हम क्रम से देखेंगे कि लिटिलवुड का नियम कैसे बना, महीने में एक बार वाली गणना का आधार क्या है, रोज़मर्रा के जीवन में इसके क्या उदाहरण मिलते हैं और यह नियम हमें क्या सीख देता है।
चमत्कारों को संख्याओं के ज़रिए दोबारा समझने वाला लिटिलवुड का नियम
लिटिलवुड का नियम कहाँ से आया
यह नियम किसी एक व्यक्ति ने एक ही बार में पूरा नहीं बनाया, बल्कि दो गणितज्ञों के विचारों के जुड़ने से बना।
(1) लिटिलवुड का अवलोकन
लिटिलवुड ने 1953 में प्रकाशित अपनी पुस्तक ‘एक गणितज्ञ की विविध टिप्पणियाँ (A Mathematician's Miscellany)’ में ‘बड़ी संख्याओं’ पर चर्चा करते हुए बताया कि लोग असंभावित घटनाओं की प्रायिकता को बहुत बढ़ा-चढ़ाकर आँकते हैं। उन्होंने यह भी कहा कि पूरे जीवन को ध्यान में रखें तो 100 × दस हज़ार में 1 की प्रायिकता वाला संयोग मामूली बात है।
(2) डायसन द्वारा नामकरण
इस विचार को ‘लिटिलवुड का चमत्कारों का नियम (Littlewood's Law of Miracles)’ नाम देकर लोकप्रिय बनाने वाले व्यक्ति भौतिक विज्ञानी फ़्रीमैन डायसन (Freeman Dyson) थे। उन्होंने 2004 में अलौकिक क्षमताओं और छद्मविज्ञान की आलोचना करने वाली एक पुस्तक की समीक्षा में इस नियम को स्पष्ट और व्यवस्थित ढंग से प्रस्तुत किया।
(3) लिटिलवुड कौन थे
लिटिलवुड (1885~1977) कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के ट्रिनिटी कॉलेज में कार्यरत गणितज्ञ थे। वे अपने सहकर्मी गॉडफ्री हैरोल्ड हार्डी (Godfrey Harold Hardy) के साथ गणितीय विश्लेषण और संख्या सिद्धांत के क्षेत्रों में लंबे समय तक संयुक्त शोध करने के लिए प्रसिद्ध हैं। प्रायिकता को सहज अनुमान के बजाय संख्याओं के आधार पर परखने की उनकी आदत इस नियम में भी झलकती है।
महीने में एक बार चमत्कार होने की गणना
डायसन की प्रस्तुत गणना आश्चर्यजनक रूप से सरल है।
(1) चमत्कार की परिभाषा
पहले चमत्कार को ऐसी घटना मानते हैं ‘जिसके घटने पर उसका विशेष अर्थ होता है, लेकिन जिसके घटने की प्रायिकता 100 × दस हज़ार में 1 होती है।’ यह उस अनुभूति से भी अच्छी तरह मेल खाता है जो आम तौर पर चमत्कार शब्द सुनकर हमारे मन में आती है।
(2) एक दिन में अनुभव की जाने वाली घटनाओं की संख्या
मान लेते हैं कि कोई व्यक्ति प्रतिदिन लगभग 8 घंटे जागते हुए आसपास की घटनाओं पर ध्यान देता है और इस दौरान लगभग हर 1 सेकंड में कुछ देखता या सुनता है। इस तरह वह एक दिन में लगभग 3 × दस हज़ार और एक महीने में लगभग 100 × दस हज़ार घटनाओं का अनुभव करता है।
(3) निष्कर्ष
100 × दस हज़ार घटनाओं के बीच 100 × दस हज़ार में 1 की प्रायिकता वाली एक घटना का शामिल होना असामान्य नहीं है। इसलिए निष्कर्ष निकलता है कि औसतन महीने में एक बार चमत्कार जैसी घटना का अनुभव होना स्वाभाविक है।
बेशक, ये संख्याएँ केवल अनुमान हैं और किस घटना को चमत्कार माना जाए, यह व्यक्ति के अनुसार बदलता है। फिर भी ये इस सिद्धांत को दिखाने के लिए पर्याप्त हैं कि दुर्लभ घटनाओं के अवसर लगातार जमा होते रहें तो अंततः वे सामने आती हैं।
रोज़मर्रा के उदाहरणों से लिटिलवुड के नियम को समझना
यह नियम व्यक्तिगत अनुभवों में ही नहीं, बल्कि बहुत से लोगों के एकत्र होने पर और भी स्पष्ट दिखाई देता है।
- ताश के खेल का चमत्कार (Bridge Hand): ब्रिज के खेल में किसी एक व्यक्ति को मिले सभी 13 पत्तों का एक ही सूट का होना अत्यंत दुर्लभ है; इसकी प्रायिकता कई हज़ार × दस करोड़ में 1 के स्तर की होती है। लेकिन यदि मान लें कि ब्रिटेन में 200 × दस हज़ार लोग पूरे 1 वर्ष हर सप्ताह 30 बाज़ियाँ खेलते हैं, तो एक वर्ष में बाँटे जाने वाले हाथों की संख्या कई अरब तक पहुँच जाती है। इसलिए ऐसी पत्तियों का हाथ भी लगभग कई दशकों में एक बार वास्तव में मिलने की अपेक्षा की जा सकती है।
- महानगर के संयोग (Big City Odds): जादूगर पेन जिलेट (Penn Jillette) ने कहा कि लगभग 800 × दस हज़ार की आबादी वाले न्यूयॉर्क में 100 × दस हज़ार में 1 की प्रायिकता वाली घटना दिन में आठ बार होती है।
- सपनों और वास्तविकता का मेल (Prophetic Dreams): हर रात अनगिनत लोग सपने देखते हैं, इसलिए उनमें से किसी का सपना अगले दिन हुई किसी घटना से संयोगवश मेल खा जाए, यह पूरी तरह संभव है।
इस तरह पर्याप्त बार प्रयास होने पर अत्यंत दुर्लभ घटना भी अंततः घटती है—इस विचार को ‘अत्यंत बड़ी संख्याओं का नियम (Law of Truly Large Numbers)’ कहते हैं। यह नाम सांख्यिकीविदों पर्सी डायकोनिस (Persi Diaconis) और फ़्रेडरिक मोस्टेलर (Frederick Mosteller) द्वारा संयोगों का अध्ययन करते समय किए गए अवलोकन से आया है। लिटिलवुड का नियम इसी विचार को एक व्यक्ति के दैनिक जीवन पर लागू करता है।
संयोगों के सामने बनाए रखने योग्य संतुलित दृष्टिकोण
लिटिलवुड का नियम चमत्कारों के अस्तित्व को नकारने के दावे से अधिक, संयोगों को देखने के हमारे रवैये की बात करता है।
(1) आश्चर्य और अर्थ अलग हैं
अनोखे संयोग लंबे समय तक याद रहते हैं, लेकिन वे अनगिनत क्षण जल्दी भुला दिए जाते हैं जिनमें कुछ नहीं हुआ। इसलिए हमें आसानी से लग सकता है कि संयोग वास्तव में जितने दुर्लभ और विशेष हैं, उससे कहीं अधिक दुर्लभ और विशेष हैं।
(2) जल्दबाज़ी में अर्थ निकालने से सावधान रहें
यदि संयोगवश हुए मेल को तुरंत भविष्यवाणी या अलौकिक क्षमता का प्रमाण मान लिया जाए, तो हमारा विवेक धुँधला पड़ सकता है। छद्मविज्ञान या निराधार दावों का सामना करते समय यह नियम एक उपयोगी कसौटी बनता है।
(3) फिर भी उस क्षण का आनंद लें
इसका अर्थ यह नहीं कि सुखद संयोगों का महत्त्व घटाना ज़रूरी है। यह जानते हुए भी कि उन्हें प्रायिकता से समझाया जा सकता है, उस क्षण का आनंद लेना सबसे स्वस्थ रवैया है।
लिटिलवुड का नियम हमें याद दिलाता है कि चमत्कार जैसी दिखने वाली घटनाएँ भी बड़ी संख्याओं के सामने साधारण घटनाएँ बन सकती हैं। किसी आश्चर्यजनक संयोग का सामना होने पर उसके पीछे छिपी संख्याओं के बारे में एक बार सोचने की आदत हमें दुनिया को अधिक शांत मन से देखने में मदद करती है।
अनोखे संयोगों के सामने आश्चर्य और अर्थ के बीच अंतर करना ही प्रायिकता के आधार पर सोचने की पहली सीढ़ी है।
