오랫동안 연락이 끊겼던 친구를 떠올린 바로 그날, 그 친구에게서 전화가 걸려 옵니다. 우리는 이런 순간을 두고 운명이나 기적이라고 부르곤 합니다. 그런데 한 수학자는 이런 일이 생각보다 훨씬 자주, 대략 한 달에 한 번꼴로 일어나는 것이 오히려 자연스럽다고 말했습니다. 바로 ‘리틀우드의 법칙(Littlewood’s Law)’입니다.

리틀우드의 법칙이란 쉽게 말해 ‘100만 번에 한 번 일어날 만큼 드문 일도 보통 사람의 삶에서는 한 달에 한 번쯤 겪게 된다’는 경험칙을 의미합니다. 영국의 수학자 존 에덴서 리틀우드(John Edensor Littlewood)의 이름을 땄으며, 기적처럼 보이는 우연을 초자연적인 힘 없이 설명하는 생각으로 자주 인용됩니다.

본 자료에서는 리틀우드의 법칙이 어떻게 만들어졌는지부터 한 달에 한 번이라는 계산의 원리, 생활 속 사례, 그리고 이 법칙이 우리에게 주는 교훈까지 차례로 살펴보겠습니다.

기적을 숫자로 다시 보는 리틀우드의 법칙

리틀우드의 법칙은 어디서 왔을까

이 법칙은 한 사람이 한 번에 완성한 것이 아니라, 두 수학자의 생각이 이어져 만들어졌습니다.

(1) 리틀우드의 관찰
리틀우드는 1953년에 펴낸 책 「수학자의 잡록(A Mathematician’s Miscellany)」의 ‘큰 수’ 이야기에서 사람들은 일어날 법하지 않은 일의 확률을 지나치게 부풀려 생각하는 경향이 있다고 지적했습니다. 그리고 평생을 놓고 보면 100만 분의 1 정도의 우연은 하찮은 수준이라고 덧붙였습니다.

(2) 다이슨의 이름 붙이기
이 생각에 ‘리틀우드의 기적의 법칙(Littlewood’s Law of Miracles)’이라는 이름을 붙여 널리 알린 사람은 물리학자 프리먼 다이슨(Freeman Dyson)입니다. 그는 2004년 초능력과 유사과학을 비판한 책을 소개하는 서평에서 이 법칙을 깔끔하게 정리해 선보였습니다.

(3) 리틀우드는 누구인가
리틀우드(1885~1977)는 케임브리지 대학교 트리니티 칼리지에서 활동한 수학자로, 동료 고드프리 해럴드 하디(Godfrey Harold Hardy)와 함께 해석학과 수론 분야에서 오랫동안 공동 연구를 한 것으로 유명합니다. 확률을 직관이 아니라 숫자로 따져 보는 습관이 이 법칙에도 그대로 담겨 있습니다.

한 달에 한 번 기적이 일어나는 계산

다이슨이 소개한 계산은 놀라울 만큼 단순합니다.

(1) 기적의 정의
먼저 기적을 ‘일어났을 때 특별한 의미를 갖지만, 일어날 확률은 100만 분의 1인 사건’으로 정합니다. 이는 우리가 평소 기적이라는 말에서 떠올리는 느낌과도 잘 맞습니다.

(2) 하루에 겪는 사건의 수
사람은 하루에 약 8시간 정도 깨어서 주변 일에 주의를 기울이고, 그동안 대략 1초에 하나꼴로 무언가를 보고 듣는다고 가정합니다. 그러면 하루에 약 3만 개, 한 달이면 약 100만 개의 사건을 겪게 됩니다.

(3) 결론
100만 개의 사건 가운데 100만 분의 1 확률의 사건이 하나쯤 섞여 있는 것은 이상한 일이 아닙니다. 그러니 평균적으로 한 달에 한 번은 기적 같은 일을 만나는 것이 오히려 당연하다는 결론이 나옵니다.

물론 이 숫자들은 어림셈일 뿐이고, 무엇을 기적으로 볼지는 사람마다 다릅니다. 그래도 드문 일이 차곡차곡 쌓이면 결국 눈앞에 나타난다는 원리를 보여 주기에는 충분합니다.

생활 속 사례로 이해하는 리틀우드의 법칙

이 법칙은 개인의 경험뿐 아니라 많은 사람이 모인 곳에서 더 뚜렷하게 드러납니다.

• 카드 게임의 기적(Bridge Hand): 카드 게임 브리지에서 한 사람이 받은 13장이 모두 같은 무늬일 확률은 수천억 분의 1 수준으로 극히 낮습니다. 하지만 영국에서 200만 명이 일주일에 30판씩 1년 내내 게임을 한다고 가정하면 한 해에 받는 패가 수십억 개에 이르므로, 이런 패도 대략 수십 년에 한 번쯤은 실제로 나올 수 있다고 기대할 수 있습니다.
• 대도시의 우연(Big City Odds): 마술사 펜 질레트(Penn Jillette)는 인구가 약 800만 명인 뉴욕에서는 100만 분의 1 확률의 일이 하루에 여덟 번 일어난다고 말했습니다.
• 꿈과 현실의 일치(Prophetic Dreams): 수많은 사람이 매일 밤 꿈을 꾸므로, 그중 누군가의 꿈이 다음 날 일어난 일과 우연히 맞아떨어지는 것도 충분히 일어날 수 있는 일입니다.

이처럼 시도 횟수가 충분히 많으면 아무리 드문 일도 결국 일어난다는 생각을 ‘아주 큰 수의 법칙(Law of Truly Large Numbers)’이라고 부릅니다. 이 말은 통계학자 퍼시 다이아코니스(Persi Diaconis)와 프레더릭 모스텔러(Frederick Mosteller)가 우연의 일치를 연구하며 남긴 관찰에서 나왔으며, 리틀우드의 법칙은 이를 한 사람의 하루에 적용한 셈입니다.

우연 앞에서 지켜야 할 균형 잡힌 시각

리틀우드의 법칙은 기적이 없다는 주장이라기보다, 우연을 바라보는 태도에 관한 이야기입니다.

(1) 놀라움과 의미는 다르다
신기한 우연은 기억에 오래 남지만, 아무 일도 일어나지 않은 수많은 순간은 금세 잊힙니다. 그래서 우리는 우연이 실제보다 훨씬 드물고 특별하다고 느끼기 쉽습니다.

(2) 섣부른 해석을 경계한다
우연한 일치를 곧바로 예언이나 초능력의 증거로 받아들이면 판단이 흐려질 수 있습니다. 이 법칙은 유사과학이나 근거 없는 주장에 맞설 때 좋은 기준이 됩니다.

(3) 그래도 순간을 즐긴다
그렇다고 반가운 우연을 깎아내릴 필요는 없습니다. 확률로 설명된다는 것을 알면서도 그 순간을 즐기는 것이 가장 건강한 태도입니다.

리틀우드의 법칙은 기적처럼 보이는 일도 큰 수 앞에서는 평범한 사건이 될 수 있다는 사실을 일깨워 줍니다. 놀라운 우연을 만났을 때 한 번쯤 그 뒤에 숨은 숫자를 떠올려 보는 습관은 세상을 더 차분하게 바라보게 해 줍니다.

신기한 우연 앞에서 놀라움과 의미를 구분하는 것, 그것이 확률적 사고의 첫걸음입니다.