शिकागो में पियानो की ट्यूनिंग करने वाले कितने लोग होंगे? यदि टेलीफोन निर्देशिका देखे बिना और इंटरनेट पर खोजे बिना इस सवाल का जवाब देने को कहा जाए, तो अधिकांश लोग असमंजस में पड़ जाते हैं। लेकिन पहले से ज्ञात सामान्य जानकारी की कुछ कड़ियाँ जोड़कर आश्चर्यजनक रूप से उपयोगी संख्या तक पहुँचा जा सकता है।
इस तरीके को फर्मी अनुमान (Fermi Estimation) कहते हैं। यह सोचने की ऐसी विधि है जिसमें किसी अज्ञात सटीक मान वाली समस्या को ज्ञात संख्याओं के आधार पर छोटे हिस्सों में बाँटा जाता है, हर हिस्से का मोटा अनुमान लगाया जाता है और फिर उन्हें गुणा करके परिमाण का स्तर आँका जाता है। भौतिक विज्ञानी एनरिको फर्मी इस विधि का अक्सर उपयोग करने के लिए प्रसिद्ध हैं। ऐसी समस्या को फर्मी समस्या (Fermi Problem) भी कहते हैं।
इस सामग्री में हम क्रम से देखेंगे कि फर्मी अनुमान सोचने का कैसा ढाँचा है, इसके प्रसिद्ध उदाहरण पियानो ट्यूनर की समस्या को कैसे हल किया जाता है, मोटा अनुमान लगाने पर भी परिणाम बहुत दूर क्यों नहीं जाता, और स्वयं फर्मी से जुड़ा प्रसंग तथा रोजमर्रा के जीवन में इसके उपयोग क्या हैं।
अज्ञात संख्याओं तक पहुँचने के लिए अनुमानित गणना की कला
अनुमान से उत्तर खोजने का वैचारिक ढाँचा
फर्मी अनुमान का लक्ष्य दशमलव तक सटीक मान निकालना नहीं, बल्कि यह जानना है कि उसका परिमाण लगभग कितना है। इसे अक्सर परिमाण का क्रम, यानी 10 गुने के स्तर पर आकार का सही अनुमान लगाने के रूप में समझाया जाता है।
(1) समस्या को हिस्सों में बाँटना
जिस मान को सीधे नहीं जाना जा सकता, उसे कुछ ज्ञात मानों के गुणा और भाग में बदलें। मुख्य बात यह है कि समस्या को जनसंख्या, परिवारों की संख्या या एक दिन में होने वाले काम जैसी संख्याओं तक लाया जाए, जिनका सहज अंदाजा हो।
(2) अनुमानित मान तय करना
हर छोटे हिस्से के लिए एक संभावित संख्या रखें। जैसे एक परिवार में चार सदस्य मानना या हर पाँच घरों में से एक घर चुनना। ऐसी पूर्णांक संख्याएँ चुनना बेहतर है जिनसे गणना आसान हो।
(3) गुणा करके परिमाण आँकना
हिस्सों को जोड़कर गणना करें और परिणाम निकालें। उस मान को सटीक उत्तर के बजाय ‘लगभग इतना’ बताने वाले आधार के रूप में स्वीकार करें।
(4) मान्यताओं को स्पष्ट करना
इसका बड़ा लाभ यह है कि गणना में इस्तेमाल की गई सभी मान्यताएँ स्पष्ट दिखाई देती हैं। परिणाम असामान्य लगे, तो तुरंत पहचाना जा सकता है कि किस हिस्से पर संदेह है।
यह विधि मन में ही गणना पूरी करने की तरकीब से अधिक, एक अस्पष्ट सवाल को गणना योग्य सवाल में बदलने का अभ्यास है। हल करने की प्रक्रिया को शब्दों में समझाया जा सकता है, इसलिए दूसरों के साथ मान्यताओं की तुलना करके चर्चा करने में भी यह उपयोगी है।
शिकागो में पियानो ट्यूनर कितने होंगे?
कहा जाता है कि फर्मी ने शिकागो विश्वविद्यालय में छात्रों से यह सवाल पूछा था। इसे अक्सर फर्मी अनुमान के प्रमुख उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। समझाने वाले के अनुसार संख्याएँ थोड़ी अलग हो सकती हैं, लेकिन प्रक्रिया इस प्रकार है।
- जनसंख्या (Population): शिकागो की जनसंख्या लगभग 300 × दस हज़ार लोग मानते हैं।
- परिवारों की संख्या (Households): एक परिवार में चार सदस्य मानें, तो लगभग 75 × दस हज़ार परिवार होंगे।
- पियानो की संख्या (Pianos): यदि हर पाँच घरों में से एक में पियानो हो, तो लगभग 15 × दस हज़ार पियानो होंगे।
- एक ट्यूनर का काम (Workload): प्रतिदिन चार पियानो, सप्ताह में 5 दिन और वर्ष में 50 सप्ताह काम करने पर एक ट्यूनर साल में लगभग 1,000 पियानो की ट्यूनिंग करता है।
यदि मान लें कि हर पियानो की साल में एक बार ट्यूनिंग होती है, तो 15 × दस हज़ार पियानो को एक व्यक्ति द्वारा सँभाले जाने वाले 1,000 पियानो से भाग देने पर लगभग 150 लोगों का उत्तर मिलता है। अलग-अलग व्याख्याओं में यह मान 100 से कुछ अधिक लोगों से लेकर लगभग 150 लोगों तक बदलता है, लेकिन इतना स्पष्ट हो जाता है कि यह संख्या 15 या 1,500 नहीं है।
यहाँ 150 की संख्या से अधिक महत्वपूर्ण यह है कि उसे बनाने वाली पाँचों मान्यताएँ स्पष्ट हैं। उदाहरण के लिए, यदि यह मान लिया जाए कि पियानो की ट्यूनिंग दो साल में केवल एक बार होती है, तो उत्तर तुरंत आधा हो जाता है।
मोटा अनुमान भी बहुत दूर क्यों नहीं जाता
हर अनुमानित मान गलत होने पर भी परिणाम अक्सर उपयोगी होता है। ऐसा इसलिए होता है कि कुछ हिस्सों का अनुमान वास्तविकता से अधिक और कुछ का कम लगाया जाता है, जिससे उनकी त्रुटियाँ एक-दूसरे को निरस्त कर देती हैं।
(1) त्रुटियों का परस्पर निरस्तीकरण
यदि हमेशा एक ही दिशा में झुकने की आदत न हो, तो अधिक और कम आँकने के मिले-जुले प्रभाव से गुणनफल की त्रुटि अपेक्षा से कम हो जाती है।
(2) चरणों की संख्या का प्रभाव
यदि मान लें कि हर चरण का अनुमान लगभग दो गुना तक चूक सकता है और नौ चरण पूरे किए जाएँ, तो अपेक्षित त्रुटि लगभग आठ गुने के भीतर रहती है। यह उस सबसे खराब स्थिति के 512 गुने से बहुत अलग है, जिसमें हर बार एक ही दिशा में दो गुने की चूक हो।
(3) गलत होने पर भी उपयोगिता
यदि अनुमानित मान और वास्तविक मान में बड़ा अंतर हो, तो वही अंतर एक सुराग बन जाता है। जाँच की जा सकती है कि गणना में गलती हुई है या कोई कारक छूट गया है; उदाहरण के लिए, क्या उस शहर में संगीत विद्यालय अधिक होने के कारण पियानो असामान्य रूप से ज्यादा हैं।
(4) सीमाएँ
यदि इस्तेमाल की गई मान्यताएँ निराधार हों या कोई एक हिस्सा बहुत गलत हो, तो परिणाम भी गलत होगा। इसलिए इस विधि का उपयोग सटीक उत्तर निकालने के बजाय शुरुआती आकलन करने के साधन के रूप में किया जाता है।
विस्फोट के बीच कागज के टुकड़े से रोजमर्रा के सवालों तक
फर्मी अनुमान को प्रसिद्ध बनाने में अमेरिका के न्यू मेक्सिको राज्य में वर्ष 1945 के 7वें महीने की 16 तारीख को हुए ट्रिनिटी परमाणु परीक्षण के प्रसंग की भी भूमिका रही। विस्फोट की वायु-तरंग पहुँचने से ठीक पहले फर्मी ने लगभग 6 फुट (लगभग 1.8 मीटर) की ऊँचाई से कागज के छोटे टुकड़े गिराए। उस समय हवा लगभग नहीं चल रही थी, इसलिए कागज को लगभग 2.5 मीटर खिसकते देखकर उन्होंने विस्फोट की शक्ति लगभग 1 × दस हज़ार टन TNT आँकी।
बाद के मापों से प्राप्त मान लगभग 18.6 किलोटन से 21 किलोटन के बीच था, और उनका अनुमान वास्तविक मान के लगभग आधे के बराबर था। यानी उन्होंने मापन उपकरणों के बिना कागज के कुछ टुकड़ों से परिमाण के क्रम का सही अनुमान लगा लिया था।
- व्यावसायिक आकलन (Business Check): दुकान खोलने से पहले प्रतिदिन आने वाले ग्राहकों की संख्या का अनुमान लगाने से मोटे तौर पर समझा जा सकता है कि कारोबार चल पाएगा या नहीं।
- अभियांत्रिकी और विज्ञान (Engineering and Science): सटीक गणना शुरू करने से पहले उत्तर के परिमाण का अनुमान लगा लेने से गणना की गलतियाँ पकड़ना आसान होता है।
- साक्षात्कार और शिक्षा (Interview and Education): इसका उपयोग ऐसे सवालों के रूप में किया जाता है जो दिखाते हैं कि किसी निश्चित उत्तर से रहित प्रश्न के सामने व्यक्ति अपने विचारों को कैसे व्यवस्थित करता है।
- दैनिक जीवन (Daily Life): अपने मोहल्ले में कितने कैफे होंगे, जैसे सवालों से अभ्यास शुरू किया जा सकता है।
अज्ञात संख्या देखकर हार मानने के बजाय ज्ञात बातों की कड़ियाँ जोड़ने का रवैया हर उस मौके पर मदद करता है जब सटीक जानकारी के बिना भी निर्णय लेना पड़ता है। पूर्ण उत्तर की प्रतीक्षा करने के बजाय किसी उपयोगी अनुमान के आधार पर पहले दिशा तय कर लेने से बाद में जाँच करना और कमियाँ दूर करना भी कहीं आसान हो जाता है।
अज्ञात संख्या सामने आने पर असमंजस में पड़ने के बजाय ज्ञात मानों को एक-एक करके जोड़ना ही फर्मी अनुमान का पहला कदम है।
