동전을 던졌는데 다섯 번 연속으로 앞면이 나왔다고 가정해 보겠습니다. 여섯 번째에는 어느 쪽에 걸고 싶으신가요? 많은 사람이 ‘이제는 뒷면이 나올 차례’라고 느낍니다. 앞면이 너무 많이 나왔으니 균형을 맞추려면 뒷면이 나와야 할 것 같기 때문입니다.

하지만 동전은 앞에서 무슨 일이 있었는지 기억하지 못합니다. 여섯 번째에도 앞면과 뒷면이 나올 확률은 똑같이 절반입니다. 이처럼 서로 영향을 주지 않는 사건에서 지난 결과가 다음 결과를 바꾼다고 믿는 잘못된 생각을 ‘도박사의 오류(Gambler’s Fallacy)’라고 부릅니다.

본 자료에서는 도박사의 오류가 무엇인지, 우리가 왜 이런 착각에 빠지는지, 일상 속에서는 어떤 모습으로 나타나는지, 그리고 이를 피하는 방법까지 차례로 살펴보겠습니다.

도박사의 오류의 이해

지난 결과가 다음을 바꾼다는 착각

도박사의 오류를 이해하려면 먼저 ‘독립 사건’이라는 개념을 알아야 합니다. 독립 사건은 한 사건의 결과가 다른 사건의 확률에 아무런 영향을 주지 않는 경우를 말합니다. 동전 던지기, 주사위 굴리기, 룰렛 돌리기가 대표적입니다. 주사위를 열 번 굴려 6이 한 번도 나오지 않았더라도, 다음에 6이 나올 확률은 여전히 6분의 1입니다.

물론 동전을 열 번 던져 열 번 모두 앞면이 나올 확률은 1,024분의 1로 매우 낮습니다. 그러나 이것은 아직 아무것도 던지지 않았을 때의 계산입니다. 이미 아홉 번 연속 앞면이 나온 뒤라면, 남은 한 번에 앞면이 나올 확률은 그냥 2분의 1일 뿐입니다. 또 앞면 열 번이라는 결과는 앞뒤가 섞인 다른 어떤 특정한 순서와도 똑같이 1,024분의 1의 확률을 가집니다. 우리 눈에 특별해 보일 뿐, 확률로는 특별하지 않은 셈입니다.

이 오류는 ‘몬테카를로의 오류’라고도 불립니다. 1913년 8월 18일 모나코의 몬테카를로 카지노에서 룰렛 공이 검은색에 26번 연속으로 떨어졌고, 사람들이 이번에는 빨간색이 나올 것이라며 큰돈을 걸었다가 잃었다는 이야기에서 나온 이름입니다. 다만 당시의 1차 기록이 확인되지 않아 실제 사건인지는 분명하지 않으며, 확률을 설명하는 유명한 예로 널리 전해지고 있습니다.

우리는 왜 이런 착각에 빠질까

도박사의 오류에는 몇 가지 심리적 원인이 겹쳐 있습니다.

(1) 작은 수의 법칙
심리학자 아모스 트버스키(Amos Tversky)와 대니얼 카너먼(Daniel Kahneman)은 1971년 사람들이 적은 횟수의 결과에도 전체의 비율이 그대로 나타나야 한다고 믿는 경향이 있다고 밝혔습니다. 큰 수의 법칙은 수많은 시행을 거칠 때에야 평균이 기댓값에 가까워진다는 뜻인데, 이를 몇 번의 시행에도 적용하려는 것입니다.

(2) 무작위에 대한 잘못된 그림
사람들은 무작위라면 앞면과 뒷면이 고르게 섞여 나와야 한다고 생각합니다. 그래서 같은 결과가 이어지면 무언가 어긋났다고 느낍니다. 그러나 실제 무작위 결과에는 연속되는 구간이 생각보다 자주 나타납니다.

(3) 균형을 바라는 마음
지금까지의 손해를 다음 한 번에 되찾을 수 있다고 믿고 싶은 마음도 이 착각을 키웁니다. 특히 돈이 걸린 상황에서는 이런 기대가 더 강해집니다.

일상 속 도박사의 오류

도박사의 오류는 카지노 밖에서도 자주 나타납니다.

• 복권(Lottery): 오랫동안 당첨되지 않은 번호가 곧 나올 것이라고 믿고 그 번호를 고르는 경우가 있습니다. 하지만 추첨마다 모든 번호의 확률은 같습니다.
• 자녀의 성별(Sex of a Child): 딸만 셋을 둔 부모가 이번에는 아들일 확률이 높다고 기대하기도 하지만, 앞선 아이들의 성별은 다음 아이에게 영향을 주지 않습니다.
• 투자(Investment): 주가가 며칠 연속 떨어졌으니 이제 오를 때가 됐다고 판단하는 것도 비슷한 착각에서 나올 수 있습니다.

반대 방향의 착각도 있습니다. 농구에서 슛을 연달아 성공한 선수가 다음 슛도 넣을 것이라고 믿는 ‘뜨거운 손(Hot Hand)’ 현상입니다. 도박사의 오류가 ‘이제는 바뀔 차례’라고 믿는다면, 뜨거운 손은 ‘흐름이 계속될 것’이라고 믿는다는 점에서 서로 반대입니다.

착각을 피하는 방법

도박사의 오류를 피하는 첫걸음은 지금 다루는 사건이 정말 서로 독립적인지 따져 보는 것입니다. 동전이나 주사위처럼 독립적인 사건이라면 과거의 결과는 잊고 매번 같은 확률로 생각해야 합니다.

반대로 모든 일이 독립적인 것은 아닙니다. 카드 게임에서 이미 나온 카드는 남은 카드의 구성을 바꾸므로 다음 확률도 달라집니다. 날씨나 경기 흐름처럼 앞의 상황이 뒤에 실제로 영향을 주는 경우도 있습니다. 따라서 중요한 것은 결과를 무조건 무시하는 것이 아니라, 결과 사이에 실제로 연결이 있는지를 확인하는 태도입니다.

또한 몇 번의 결과만으로 결론을 내리지 말고 충분히 많은 자료를 모아 판단하는 습관이 도움이 됩니다. 손해를 만회하려고 판돈을 키우는 행동은 특히 조심해야 합니다. 미리 쓸 수 있는 금액과 멈출 시점을 정해 두고, 결과가 어떻든 그 기준을 지키는 것이 가장 확실한 방어입니다.

도박사의 오류는 무작위 속에서도 질서를 찾으려는 사람의 자연스러운 마음에서 생깁니다. 하지만 확률은 우리의 기대에 맞추어 움직이지 않습니다. 이 사실을 알면 복권과 투자, 일상의 작은 선택에서도 한결 차분하게 판단할 수 있습니다.

동전은 기억하지 않는다는 사실을 기억하는 것, 그것이 우연 앞에서 내리는 현명한 판단의 첫걸음입니다.