비 오는 날 우산 없이 걸어 본 적이 있나요? 빗방울은 수백 미터, 때로는 수 킬로미터 높이의 구름에서 떨어지지만 우리 머리에 닿을 때는 따끔한 정도에 그칩니다. 공기가 없다면 같은 높이에서 떨어진 물방울은 시속 수백 킬로미터까지 빨라졌을 것입니다. 그렇게 되지 않는 까닭은 떨어지는 물체가 어느 순간부터 더 이상 빨라지지 않기 때문입니다. 이 한계 속도를 ‘종단 속도(Terminal Velocity)’라고 합니다.

종단 속도란 쉽게 말해 ‘떨어지는 물체가 받는 공기 저항이 중력과 같아져 더 이상 빨라지지 않을 때의 속도’를 의미합니다. 영어 ‘terminal’은 ‘끝’이라는 뜻으로, 가속이 끝나는 지점의 속도라는 의미를 담고 있으며 우리말로는 ‘종말 속도’라고도 부릅니다. 공기처럼 저항이 있는 곳에서의 운동은 아이작 뉴턴(Isaac Newton)이 1687년 『프린키피아』 제2권에서 본격적으로 다루었습니다.

본 자료에서는 떨어지는 물체가 왜 계속 빨라지지 않는지, 종단 속도를 정하는 요인은 무엇인지, 스카이다이버와 빗방울은 실제로 얼마나 빠른지, 그리고 이 원리가 어디에 쓰이는지까지 차례로 살펴보겠습니다.

중력과 공기 저항이 맞서는 곳

떨어지는 물체는 왜 계속 빨라지지 않을까?

공기가 없는 곳이라면 떨어지는 물체는 1초마다 초속 약 9.8m씩 빨라집니다. 하지만 실제 하늘에는 공기가 있고, 물체는 떨어지는 동안 쉼 없이 공기 분자와 부딪칩니다.

(1) 빨라질수록 커지는 공기 저항
공기 저항은 속도가 빠를수록 커집니다. 사람이나 빗방울처럼 웬만큼 큰 물체가 빠르게 움직일 때는 속도가 두 배가 되면 저항이 약 네 배로 커집니다. 처음에는 저항이 작아 물체가 거의 자유 낙하처럼 빨라지지만, 속도가 붙을수록 위로 밀어 올리는 힘도 함께 자랍니다.

(2) 두 힘이 같아지는 순간
아래로 끌어당기는 중력은 물체의 무게로 정해져 있어 변하지 않습니다. 공기 저항이 커지다가 마침내 중력과 크기가 같아지면 물체에 작용하는 알짜힘은 0이 됩니다. 뉴턴의 운동 제1법칙에 따라 이때부터 물체는 더 빨라지지도 느려지지도 않고 같은 속도로 떨어집니다.

(3) 멈춘 것이 아니라 일정하게 떨어지는 것
종단 속도에 이르렀다는 것은 물체가 멈췄다는 뜻이 아닙니다. 여전히 빠르게 떨어지고 있지만 가속만 사라진 상태입니다. 그래서 스카이다이버들은 종단 속도에 이르면 떨어진다는 느낌보다 거센 바람 위에 떠 있는 듯한 느낌을 받는다고 말합니다.

종단 속도는 무엇이 정할까?

종단 속도는 물체마다 다릅니다. 공기 저항이 중력을 따라잡는 데 필요한 속도가 물체의 무게와 모양, 그리고 주변 공기에 따라 달라지기 때문입니다.

• 질량(Mass): 무거울수록 중력이 커서 이를 버티려면 더 큰 공기 저항이 필요합니다. 그래서 모양과 크기가 같다면 무거운 물체의 종단 속도가 더 빠릅니다.
• 단면적(Cross-sectional Area): 떨어지는 방향에서 본 물체의 넓이입니다. 넓을수록 많은 공기를 밀어내야 하므로 종단 속도가 느려집니다.
• 항력 계수(Drag Coefficient): 모양에 따라 공기를 얼마나 잘 가르는지를 나타내는 수입니다. 유선형일수록 값이 작고, 낙하산처럼 오목한 모양일수록 값이 큽니다.
• 공기 밀도(Air Density): 공기가 옅은 높은 하늘에서는 저항이 작아 종단 속도가 빨라집니다.

이 관계는 항력 공식으로 정리됩니다. 공기 저항은 공기 밀도, 속도의 제곱, 단면적, 항력 계수를 모두 곱한 값의 절반입니다. 이 값을 무게와 같다고 놓고 풀면 종단 속도는 무게를 나머지 요인들로 나눈 값의 제곱근에 비례합니다. 다른 조건이 같을 때 무게가 네 배가 되면 종단 속도는 두 배가 되는 셈입니다.

스카이다이버와 빗방울은 얼마나 빠를까?

종단 속도는 물체에 따라 놀라울 만큼 차이가 납니다. 같은 하늘에서 떨어져도 사람과 빗방울, 작은 동물은 전혀 다른 속도로 땅에 닿습니다.

(1) 팔다리를 펼친 스카이다이버
배를 땅 쪽으로 향하고 팔다리를 넓게 펼친 자세에서 사람의 종단 속도는 시속 약 200km입니다. 머리를 아래로 향해 몸을 곧게 세우면 단면적이 줄어 시속 250km를 넘기도 합니다. 낙하산을 펼치면 단면적과 항력 계수가 크게 늘어나 시속 20km 안팎까지 느려집니다.

(2) 생각보다 느린 빗방울
1949년 미국의 로스 건(Ross Gunn)과 길버트 킨저(Gilbert Kinzer)가 측정한 값에 따르면 지름 약 5mm인 큰 빗방울도 초속 9m 정도로 떨어지고, 이슬비처럼 작은 물방울은 초속 1m도 되지 않습니다. 우산 없이 비를 맞아도 다치지 않는 이유입니다.

(3) 몸집이 작을수록 안전한 이유
몸집이 작아지면 무게는 길이의 세제곱으로 줄지만 단면적은 제곱으로만 줄어듭니다. 그래서 작은 동물일수록 무게에 비해 공기 저항을 크게 받아 종단 속도가 낮습니다. 영국의 생물학자 J. B. S. 홀데인(J. B. S. Haldane)은 1926년 글 「적당한 크기에 관하여(On Being the Right Size)」에서 생쥐는 깊은 광산 갱도에 떨어져도 가벼운 충격만 받고 걸어 나간다고 설명했습니다.

종단 속도는 어디에 쓰일까?

종단 속도는 위험을 줄이는 장치를 설계할 때도, 눈에 보이지 않는 것을 재는 실험에서도 쓰입니다.

(1) 낙하산과 착륙 장치
낙하산은 종단 속도를 사람이 안전하게 착지할 수 있는 수준까지 낮추는 장치입니다. 화성 탐사선도 대기에 들어선 뒤 낙하산으로 속도를 줄이는데, 화성의 대기는 지구보다 훨씬 옅어 낙하산만으로는 충분히 느려지지 않기 때문에 역추진 로켓을 함께 씁니다.

(2) 성층권에서 뛰어내린 사람
2012년 오스트리아의 펠릭스 바움가르트너(Felix Baumgartner)는 약 39km 높이에서 뛰어내려 최고 시속 1,357.6km에 이르렀습니다. 공기가 아주 옅은 높이에서는 공기 저항이 작아 종단 속도가 음속을 넘을 만큼 빨라지기 때문입니다. 아래로 내려와 공기가 짙어지자 그의 속도는 다시 줄어들었습니다.

(3) 기름방울로 잰 전자의 전하
미국의 물리학자 로버트 밀리컨(Robert Millikan)은 1909년 무렵부터 아주 작은 기름방울이 공기 중에서 떨어지는 종단 속도를 재어 방울의 크기를 계산하고, 전기장으로 방울을 띄우는 데 필요한 힘에서 전자 하나의 전하를 구했습니다. 이 기름방울 실험은 그가 1923년 노벨 물리학상을 받는 데 바탕이 되었습니다.

종단 속도는 떨어지는 모든 물체가 공기와 벌이는 줄다리기의 결과입니다. 빗방울이 부드럽게 내리고, 낙하산이 사람을 지키고, 기름방울이 전자의 비밀을 알려 준 것도 모두 같은 원리에서 나왔습니다. 빨라질수록 공기가 더 세게 밀어낸다는 단순한 생각, 그것이 종단 속도 이해의 첫걸음입니다.