为什么号称美食的餐馆大多开在小巷深处或偏僻的地方？我们也常听人说，长得帅的明星演技差强人意，而演技好的演员长相却很普通。这样的经历积累多了，人们很容易得出“两种优点很难兼得”的结论。可是，这个结论也许不是世界本身造成的，而是我们看到的样本造成的错觉。这种现象就是“伯克森悖论（Berkson's Paradox）”。
简单来说，伯克森悖论指的是“只观察按某种标准筛选过的群体时，两个互不相关的特征之间会出现虚假负相关的现象”。在统计学中，它也被称为伯克森偏倚（Berkson's Bias）或对撞偏倚（Collider Bias），是由样本选取方式造成的一种选择偏倚。
本文将依次介绍最早发现伯克森悖论的医院故事、虚假关系产生的原理、日常生活中的例子，以及避免这种错觉的方法。
伯克森悖论制造的虚假关系
什么是伯克森悖论？
这一现象最早由美国梅奥诊所（Mayo Clinic）的生物统计学家约瑟夫·伯克森（Joseph Berkson）在1946年发表于学术期刊《生物统计学通报（Biometrics Bulletin）》的论文中系统地指出。他是一位同时学过物理学、医学和统计学的研究者，关注的是仅凭医院数据来判断疾病病因的研究所存在的陷阱。
（1）只在医院里才看得到的关系
伯克森举的例子是糖尿病和胆囊炎。把住院病人集中起来看，没有糖尿病的病人一定是因为别的原因才来医院的，所以他们患有胆囊炎等其他疾病的可能性比一般人更高。结果，在医院里，这两种病看起来像是互相回避。即使在外面的世界里，这两种病毫无关系。
（2）相近的名称
即使是同一种现象，不同领域的叫法也略有不同。
- 伯克森偏倚（Berkson's Bias）：把同一现象当作样本问题来称呼的名称。
- 对撞偏倚（Collider Bias）：用两个原因共同影响的结果变量来筛选样本时产生的扭曲。
- 内生选择偏倚（Endogenous Selection Bias）：主要在社会学和经济学中使用的名称。
虚假负相关产生的原理
关键在于“两者至少具备其一才能进入的门”。即使两个特征相互独立，只要把至少具备其中一种特征的人集中起来，缺少一种特征的人就更有可能具备另一种特征。因此在筛选过的群体中，看起来一方越高，另一方就越低。反过来，即使两个特征实际上是一同变化的关系，在筛选过的群体中，这种关系也可能显得变弱，甚至完全消失。
（1）用1,000张邮票算一算
假设某位收藏家有1,000张邮票，其中300张漂亮，100张稀有，30张既漂亮又稀有。在全部邮票中有10%是稀有的，在漂亮的邮票中也有10%是稀有的，所以漂亮与稀有毫无关系。可是，如果只展出漂亮或稀有的370张邮票，展示柜里那70张不漂亮的邮票就全都是稀有的。只看展示柜的人就会误以为“越不漂亮就越稀有”。
（2）“对撞变量”这个名称的含义
在“被展出”这一结果上，漂亮和稀有这两个原因的箭头撞到了一起。像这样两个原因汇聚的变量叫作对撞变量，一旦用这个变量来筛选样本，原本不存在的关系就产生了。
日常生活中的伯克森悖论
伯克森悖论在医院之外也很常见，因为我们看到的大多数群体，都是已经通过了某种标准的人或事物。
[案例1] 长得好看的人为什么没礼貌？
美国数学家乔丹·艾伦伯格（Jordan Ellenberg）以约会对象为例。如果只和亲切程度与外貌相加的分数超过一定水平的人约会，那么不太亲切的人就必须外貌更出众才能过关。于是在约会过的人当中，就会形成“长得好看的人没礼貌”的印象，但在整个世界里，这两种特征可能毫无关系。
[案例2] 新冠肺炎研究的警告
2020年，研究人员也对新冠肺炎研究中的这一陷阱发出了警告。他们指出，如果只收集接受过检测或住院的人进行分析，影响检测和住院的多种因素就会相互交织，从而可能出现与实际不符的危险因素。这个案例说明，样本是如何收集的会改变结论。
[案例3] 偏僻小巷里的美食店
餐馆要生存下去，味道好和位置好这两点至少要占一样。位置好的餐馆即使味道普通，也能靠来往的客人撑下去，而偏僻小巷里的餐馆只有味道出众才不会关门。所以，如果只看今天仍在营业的餐馆，就会看到“越偏僻越好吃”的关系。这是因为已经关门的餐馆从样本中消失了。
如何避免伯克森悖论
要避免这种错觉，在看结论之前，必须先确认样本是从哪扇门进来的。如果说类似的陷阱幸存者偏差是只看幸存下来的东西的问题，那么伯克森悖论就是错误解读筛选过的事物之间关系的问题。
（1）先问筛网是什么
要弄清这份资料是以什么标准、从哪些人那里收集来的。如果存在住院、录取、知名度这类两种特征共同影响的条件，就应该怀疑是虚假关系。
（2）与未经筛选的群体比较
如果可能，就与一般人群这类没有经过标准筛选的群体的资料进行比较。如果两个群体中呈现的关系不同，那就很可能是选取样本的过程造成的错觉。
伯克森悖论提醒我们，我们看到的世界是已经被筛选过一次的世界。像味道和位置、外貌和性格这样看似此消彼长的关系，打开样本之门重新审视，也许会呈现出完全不同的样子。
比起眼前的关系，先问问这个群体是如何聚集起来的，这正是不被数字欺骗的统计思维的第一步。
