किसी सिक्के को एक हज़ार बार उछालने पर कितनी बार चित आएगा, इसका हिसाब लगाना कठिन नहीं है। लेकिन 52 पत्तों से खेले जाने वाले अकेले के ताश के खेल में जीतने की प्रायिकता जैसी समस्याओं में संभावित स्थितियाँ इतनी अधिक होती हैं कि उन्हें सूत्र से हल करना मुश्किल लगता है। ऐसे में गणना छोड़ देने के बजाय, खुद कई बार प्रयोग करके परिणामों को गिनने का एक तरीका है। यही ‘मोंटे कार्लो विधि (Monte Carlo Method)’ है।
सरल शब्दों में, मोंटे कार्लो विधि का अर्थ है ‘यादृच्छिक रूप से बहुत सारे प्रयास दोहराना, फिर उनके परिणामों को जुटाकर औसत निकालना और उससे उत्तर का अनुमान लगाना’। इस विधि का आधार यह विचार है कि सटीक सूत्र न मालूम होने पर भी, पर्याप्त संख्या में संयोगजन्य परिणाम जुटाने से वास्तविक उत्तर के करीब पहुँचा जा सकता है।
इस सामग्री में हम मोंटे कार्लो विधि की उत्पत्ति की पृष्ठभूमि से लेकर उसके काम करने के सिद्धांत, प्रमुख उदाहरण, आज उसके उपयोग के क्षेत्रों और ध्यान रखने योग्य बातों तक को क्रम से समझेंगे।
संयोगों को जुटाकर उत्तर खोजने की गणना विधि
मोंटे कार्लो विधि की उत्पत्ति कैसे हुई?
1946 में पोलैंड के गणितज्ञ स्तानिस्वाव उलाम (Stanisław Ulam) बीमारी से उबरने के दौरान अकेले ताश खेल रहे थे, तभी उनके मन में एक सवाल उठा। सवाल था कि इस खेल में जीतने की प्रायिकता कितनी है। संभावित स्थितियों को गिनकर हिसाब लगाने की कोशिश से थककर उन्होंने सोचा, ‘क्या खुद लगभग सौ बार खेलकर जीतने की संख्या गिन लेना ज़्यादा व्यावहारिक नहीं होगा?’
उलाम ने यह विचार अमेरिका की लॉस एलामोस प्रयोगशाला में अपने साथ काम करने वाले जॉन वॉन न्यूमन (John von Neumann) को बताया। दोनों ने उस समय तक अनसुलझी न्यूट्रॉन विसरण की समस्या पर यह विधि लागू करने का निर्णय लिया। शोध गोपनीय था, इसलिए एक कूटनाम की ज़रूरत थी। उनके सहकर्मी निकोलस मेट्रोपोलिस (Nicholas Metropolis) ने इसका नाम मोनाको के मोंटे कार्लो कैसीनो से लिया, जहाँ उलाम के चाचा रिश्तेदारों से पैसे उधार लेकर जुआ खेलने जाते थे। 1948 के वसंत में शुरुआती इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर एनिएक (ENIAC) से पहली बार स्वचालित गणना की गई।
मोंटे कार्लो विधि के काम करने के 4 चरण
अलग-अलग तरीकों के विवरण भिन्न होते हैं, लेकिन मोंटे कार्लो विधि सामान्यतः एक ही क्रम का पालन करती है।
(1) संभावित दायरा तय करें
सबसे पहले उत्तर खोजने के लिए यह तय किया जाता है कि इनपुट मान किस दायरे में हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, इस चरण में बिक्री की मात्रा, कच्चे माल की कीमत और मौसम जैसे परिणाम को प्रभावित करने वाले चर तथा उनके दायरे तय किए जाते हैं।
(2) यादृच्छिक रूप से मान चुनें
तय दायरे के भीतर प्रायिकता के अनुसार इनपुट मान यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। आजकल कंप्यूटर से उत्पन्न यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग होता है, लेकिन यदि चयन में समरूपता न हो तो परिणाम बहुत गलत हो सकते हैं।
(3) हर बार गणना करें
चुने गए मान डालकर निर्धारित तरीके से परिणाम की गणना की जाती है। यह प्रक्रिया हज़ारों, लाखों बार दोहराई जाती है।
(4) परिणामों को जुटाएँ
सभी परिणामों को जुटाकर उनका औसत या वितरण निकाला जाता है। बड़ी संख्याओं के नियम के अनुसार, प्रयासों की संख्या बढ़ने पर औसत वास्तविक मान के करीब पहुँचता है। इसका बड़ा लाभ यह है कि केवल एक औसत प्राप्त करने के साथ-साथ यह भी देखा जा सकता है कि परिणाम कैसे फैले हुए हैं, जैसे ‘नुकसान होने की प्रायिकता कितने प्रतिशत है’।
सरल उदाहरणों से मोंटे कार्लो विधि को समझना
मोंटे कार्लो विधि को सबसे आसानी से समझाने वाला उदाहरण पाई का मान निकालना है।
[उदाहरण 1] बिंदु बिखेरकर पाई का मान निकालना
1 भुजा वाले वर्ग के भीतर 1 त्रिज्या का एक चतुर्थांश वृत्त बनाते हैं। दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात पाई को 4 से भाग देने पर मिलने वाला मान है। अब वर्ग में समान रूप से यादृच्छिक बिंदु बिखेरते हैं और चतुर्थांश वृत्त के भीतर आए बिंदुओं का अनुपात निकालते हैं। इस अनुपात को 4 से गुणा करने पर पाई के करीब एक मान मिलता है और जितने अधिक बिंदु बिखेरे जाते हैं, यह उतना ही 3.14 के करीब पहुँचता जाता है। लगभग 100 बिंदु होने पर 3.0 या 3.3 जैसे उतार-चढ़ाव वाले मान मिलना आम है, लेकिन बिंदुओं की संख्या कई लाख से अधिक होने पर दशमलव के दूसरे स्थान तक सही मान मिलने की संभावना बढ़ जाती है। इस तरह जटिल गणना के बिना केवल बिंदु गिनकर पाई का मान निकाला जाता है।
[उदाहरण 2] सुई गिराने का प्रयोग
ऐसा ही विचार बहुत पहले भी सामने आया था। 18वीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिविद बुफ़ों (Comte de Buffon) ने समानांतर रेखाओं वाले फ़र्श पर सुई गिराने पर उसके किसी रेखा को काटने की प्रायिकता की गणना की थी। इस प्रायिकता में पाई शामिल है, इसलिए सुई को अनगिनत बार गिराकर और रेखा को काटने की संख्या गिनकर पाई का अनुमान लगाया जा सकता है। ‘बुफ़ों की सुई (Buffon's Needle)’ की इस समस्या को मोंटे कार्लो विधि का एक प्रारंभिक रूप माना जाता है।
मोंटे कार्लो विधि के उपयोग और सीमाएँ
मोंटे कार्लो विधि विशेष रूप से उन समस्याओं में प्रभावी होती है जिनमें बहुत सारे चर और बड़ी अनिश्चितता होती है। चर की संख्या दर्जनों या सैकड़ों हो जाने पर हर संभव स्थिति का अलग-अलग हिसाब लगाना जल्दी ही असंभव हो जाता है, लेकिन यादृच्छिक चयन का तरीका चरों की संख्या चाहे जितनी हो, उसी तरह इस्तेमाल किया जा सकता है।
- वित्त (Finance): शेयर की कीमतों और ब्याज दरों के बदलने के अनगिनत संभावित रास्ते बनाकर निवेश के जोखिम और ऑप्शन की कीमतों का आकलन किया जाता है।
- मौसम पूर्वानुमान (Weather Forecasting): यह एन्सेम्बल पूर्वानुमान का आधार बनता है, जिसमें शुरुआती स्थितियों को थोड़ा-थोड़ा बदलकर कई पूर्वानुमान एक साथ चलाए जाते हैं।
- कंप्यूटर ग्राफ़िक्स (Computer Graphics): प्रकाश के रास्तों का यादृच्छिक रूप से अनुगमन करके तस्वीर जैसे दृश्य बनाए जाते हैं।
- गो खेल की कृत्रिम बुद्धिमत्ता (Game AI): मोंटे कार्लो ट्री सर्च के ज़रिए अनगिनत आभासी बाज़ियाँ खेलकर अच्छी चाल चुनी जाती है।
- समुद्री खोज और बचाव (Search and Rescue): अमेरिकी तटरक्षक बल हवा और समुद्री धाराओं को ध्यान में रखते हुए लापता जहाज़ के हज़ारों संभावित स्थान बनाता है और खोज का क्षेत्र तय करता है।
हालाँकि, इसकी सीमाएँ भी स्पष्ट हैं। त्रुटि प्रयासों की संख्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपात में घटती है, इसलिए त्रुटि को आधा करने के लिए प्रयासों की संख्या चार गुनी करनी पड़ती है। यदि एक बार की गणना ही बहुत जटिल हो, तो इसमें बेहद अधिक समय लग सकता है। साथ ही, यदि इनपुट मानों का दायरा या प्रायिकता गलत तय की जाए, तो चाहे जितनी बार दोहराएँ, परिणाम केवल गलत उत्तर के करीब ही पहुँचेंगे।
मोंटे कार्लो विधि दिखाती है कि जब सही उत्तर एक ही बार में निकालना संभव न हो, तब पर्याप्त संयोगजन्य परिणाम जुटाकर एक भरोसेमंद उत्तर के करीब पहुँचा जा सकता है। ताश के खेल से उठी एक छोटी-सी जिज्ञासा ने परमाणु भौतिकी, वित्त और कृत्रिम बुद्धिमत्ता तक को बदल दिया।
सटीक सूत्र न होने पर रुकने के बजाय खुद अनगिनत संभावनाओं को परखना, अनिश्चित दुनिया में बेहतर निर्णय लेने की समझ की ओर पहला कदम है।
