20世纪30年代，美国中南部饱受猛烈沙尘暴和干旱之苦。庄稼歉收的俄克拉何马人收拾行李，向西前往加利福尼亚，他们被称为“俄克佬（Okie）”。关于这一时期，流传着一个据说出自俄克拉何马出身的喜剧演员威尔·罗杰斯的笑话：俄克佬离开俄克拉何马去了加利福尼亚，结果两个州的平均智力都提高了。
没有一个人变得更聪明，两边的平均值却一起上升，这话乍听像是文字游戏。可是认真算一算就会发现，这个笑话确实成立。像这样仅仅把一个群体的一部分移到另一个群体，两个群体的平均值就都上升的现象，称为“威尔·罗杰斯现象（Will Rogers Phenomenon）”。
本文将依次介绍威尔·罗杰斯现象这一名称的由来与基本原理、用数字推演的例子、医学统计中出现的癌症分期迁移案例，以及如何不被这种错觉所骗。
只是挪动却升高的平均值：威尔·罗杰斯现象
名称的由来与基本原理
笑话里的逻辑是这样的：离开的人在俄克拉何马属于略低于平均水平的一群，到了加利福尼亚却高于当地平均水平。这样一来，俄克拉何马因为拉低平均值的人离开而平均值上升，加利福尼亚则因为拉高平均值的人到来而平均值上升。
不过，这句话是否真的出自威尔·罗杰斯之口并不清楚。它是在他去世几十年后才被说成是他的话，而只换了地点和人物的类似笑话在那之前就已经流传开来。
这一现象的发生需要一个条件：迁移者的数值要低于其离开的群体的平均值，同时高于其加入的群体的平均值。只要满足这个条件，这个人并不需要是群体中的最后一名或第一名。
用数字推演一下
我们用两组简单的数字来验证一下。A组是1、2、3、4，B组是5、6、7、8、9。
(1) 移动之前
A组的平均值是2.5，B组的平均值是7。全部九个数字的平均值是5。
(2) 移动一个数字
把B组中最小的5移到A组。5小于B组的平均值7，又大于A组的平均值2.5。
(3) 移动之后
A组变成1、2、3、4、5，平均值升到3；B组变成6、7、8、9，平均值升到7.5。然而总平均值仍然是5。
还有差距更极端的情况。在由1、2组成的一组和由99、10,000、20,000组成的一组中，把99移到前一组，前一组的平均值就从1.5升到34，后一组的平均值也从约10,033一下子跃升到15,000。
看起来两组都变好了，但数字本身一个也没有变。总平均值是各组平均值按人数加权合并的结果，所以保持不变，移动的只是分界线而已。
癌症分期迁移：统计制造出的生存率
这个笑话后来作为一个严肃的问题重新出现在医学统计中。1985年，美国耶鲁大学的阿尔文·范斯坦（Alvan Feinstein）研究团队在一篇比较肺癌患者生存率的论文中，用威尔·罗杰斯的名字为这一现象命名。据说起因是一位朋友把这个笑话当作威尔·罗杰斯的话讲给了他听。
研究团队将同一批医院在1953～1964年接受治疗的患者与1977年首次接受治疗的患者进行比较，发现后者在三个主要分期中的6个月生存率都更高。这一结果让人觉得治疗取得了巨大进步。然而，后一批患者接受了在此期间新引入的多种影像检查，许多人被发现了过去看不到的微小转移，因而被重新归入更晚的分期。
被移过去的患者在原来的分期里属于病情较重的一方，在新的分期里却属于病情较轻的一方。结果，两个分期的生存率看起来都提高了。这被称为分期迁移（Stage Migration），它说明即使治疗没有改进，仅仅诊断方法的改变也能让成绩显得更好。事实上，当研究团队改用与检查技术无关的症状标准重新分组时，两个时期患者的生存率相差无几。
其他疾病中也报告过类似情况。2008年发表的一项研究指出，随着利用磁共振成像（MRI）的新诊断标准投入使用，多发性硬化症中也可能出现同样的现象。检查越灵敏，症状轻微的人也越会被归为患者，患者群体的病程就可能显得比实际更好。
不被错觉所骗的方法
威尔·罗杰斯现象不仅出现在医院，在学校、公司、地区统计等凡是把人分成等级或群体的地方都可能发生。仅仅改变分班或调整等级标准，就可能让所有班级、所有等级的平均值看起来都上升了。要避免这种错觉，养成检查以下几点的习惯会有所帮助。
- 总平均值（Overall Average）：不要只看各组的平均值，还要一并确认全部合计的平均值是否真的发生了变化。
- 分类标准（Classification Criteria）：检查所比较的两个时期或两个机构是否按同一标准划分群体。
- 迁移的成员（Migrated Members）：把谁从哪个群体移到了哪个群体单独拿出来，分析其影响。
平均值是一眼就能看清群体概况的便利数字，但分界线画在哪里，它就可能呈现出截然不同的面貌。面对“大家都变好了”的数字时，先问一问谁移到了哪里，这正是拨开数字错觉的统计思维的第一步。
